第一章 第一节 集合（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第一节　集合 课标要求 1.了解集合的含义，了解空集与全集的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集. 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. 1.元素与集合 （1）集合元素的特性：确定性、　　　　、无序性； （2）集合的表示方法：　　　　、　　　　、图示法； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为　　　；不属于，记为　　　　； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　　　　集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示　　　　集，Q表示　　　　集，R表示实数集. 提醒 （1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　　　　　　元素都是集合B中的元素 　（或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A 　（或B⫌A） 集合相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A＝B 提醒 （1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集；（2）A⊆B包含两层含义：A⫋B或A＝B；（3）若A⊆B，要分A＝⌀或A≠⌀两种情况讨论，不要忽略A＝⌀的情况. 3.集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝ 　　　　 A∩B＝ 　　　　 ∁UA＝ 　　　　 1.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 2.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 3.等价关系：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一个集合都至少有两个子集.（　　） （2）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝{0，1}.（　　） （3）集合{x｜x＝x3}用列举法表示为{－1，1}.（　　） （4）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　） （5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（　　） 2.（人A必修一P14习题4题改编）设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T＝（　　） A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4} C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1} 3.（人A必修一P35复习参考题8题改编）若集合M＝{（x，y）｜y＝1}，集合N＝{（x，y）｜x＝0}，则M∩N＝（　　） A.{0，1} B.{（0，1）} C.{（1，0）} D.{（0，1），（1，0）} 4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x＝　　　　. 5.（苏教必修一P12习题7题改编）已知集合A＝{x｜0＜x＜a}，B＝{x｜1＜x≤2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是　　　　. 集合的基本概念 （基础自学过关） 1.已知集合A＝{x｜2x－a＞0}，且1∉A，2∈A，则（　　） A.a＞1 B.a≤2 C.2＜a≤4 D.2≤a＜4 2.已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2≤，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　） A.4 B.5 C.8 D.9 3.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 025＋b2 026＝　　　　. 4.若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是　　　　. 练后悟通 解决与集合中的元素有关问题的一般思路 集合间的基本关系 （师生共研过关） （1）（人A必修一P9练习3（2）题改编）已知集合M＝{x｜x＝k＋，k∈Z}，N＝{x｜x＝＋1，k∈Z}，则（　　） A.M⊆N B.N⊆M C.M＝N D.M∩N＝⌀ （2）已知集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}，B＝{x｜（x＋2）（x－3）＜0}，且A⊆B，则（　　） A.－1≤a≤2 B.－1＜a＜2 C.－2≤a≤1 D.－2＜a＜1 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 1.判断集合间关系的常用方法 2.求参数的方法 将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解. 提醒 当B为A的子集时，易漏掉B＝⌀的情况. 1.设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的关系可表示为（　　） 2.（2025·南宁第一次适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B的一个子集.试写出这样的一个集合C＝　　　　. 集合的基本运算 （定向精析突破） 考向1　集合的运算 （1）（2024·新高考Ⅰ卷1题）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（　　） A.{－1，0} B.{2，3} C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2} （2）（2025·贵阳摸底）已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1≤x≤3}，B＝{y｜y＝2x，x∈R}，则图中阴影部分所对应的集合为（　　） A.{x｜x＜－1} B.{x｜x≤－1} C.{x｜x≤0或x＞3} D.{x｜0＜x≤3} 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 集合基本运算的方法技巧 考向2　利用集合的运算求参数 已知集合A＝{x∈Z｜x2＜3}，B＝{x｜a＜x＜a＋}，若A∩B有2个元素，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0）∪（1，＋∞）　B.（－，0） C.（－，－1）∪（－，0） D.（－，－1） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 考向3　集合的新定义问题 〔多选〕对任意A，B⊆R，记A⊕B＝{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}.下列命题中，为真命题的是（　　） A.若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝⌀ B.若A，B⊆R且A⊕B＝⌀，则A＝B C.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D.存在A，B⊆R，使得A⊕B＝（∁RA）⊕（∁RB）　 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 　　解答集合新定义问题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的新定义，依照新定义中某些限定条件，联系所学过的知识找出解题的突破口. 1.（2024·上饶一模）设全集U＝R，集合A＝{x｜3x＞9}，B＝{x｜－2≤x≤4}，则（∁UA）∩B＝（　　） A.[－1，0） B.（0，5） C.[0，5] D.[－2，2] 2.已知集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x－4）＞0}.若A∪B＝R，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，1） B.（1，3） C.[1，3] D.[3，＋∞） 3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，则A*B＝　　　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　第一节 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习讲义部分 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第一节　集合 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.（1）互异性　（2）列举法　描述法　（3）∈　∉　（4）正整数　整数　有理数 2.任意一个　A⊆B　A⫋B 3.{x｜x∈A，或x∈B}　{x｜x∈A，且x∈B}　{x｜x∈U，且x∉A} 对点自测诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）×　（5）× 2.C　3.B　4.1或4　5.（2，＋∞） 【考点·分类突破】 考点1 1.D　∵1∉A，∴2×1－a≤0，解得a≥2，又∵2∈A，∴2×2－a＞0，解得a＜4，∴2≤a＜4.故选D. 2.B　因为x2＋y2≤，x∈Z，所以x可取－1，0，1.当x＝－1时，得y＝0；当x＝0时，得y＝－1，0或1；当x＝1时，得y＝0.所以A＝{（－1，0），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，0）}，共有5个元素. 3.0　解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 026＝－1＋1＝0. 4.{1，－1}　解析：若集合{x｜x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有两个相等的实数根，即Δ＝（2k）2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}. 考点2 【例1】 （1）A　（2）C　解析：（1）M＝{x｜x＝k＋，k∈Z}＝{x｜x＝，k∈Z}，N＝{x｜x＝＋1，k∈Z}＝{x｜x＝，k∈Z}，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M⊆N.故选A. （2）由（x＋2）（x－3）＜0，解得－2＜x＜3，所以B＝{x｜－2＜x＜3}，集合A＝{x｜a＜x＜a＋2}≠⌀.因为A⊆B，所以解得－2≤a≤1. 跟踪训练 1.A　因为N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故选A. 2.{4，7}（答案不唯一）　解析：逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}. 考点3 【例2】 （1）A　（2）A　解析：（1）法一 因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A. 法二 将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A. （2）因为B＝{y｜y＝2x，x∈R}，所以B＝（0，＋∞）.而题图中白色部分表示A∪B＝[－1，＋∞），故阴影部分所对应的集合为∁R（A∪B）＝（－∞，－1）.故选A. 【例3】 C　A＝{x∈Z｜x2＜3}＝{－1，0，1}，B＝{x｜a＜x＜a＋}，若A∩B有2个元素，则或解得－＜a＜－1或－＜a＜0，所以实数a的取值范围是（－，－1）∪（－，0）.故选C. 【例4】 ABD　对于A选项，因为A⊕B＝B，所以B＝{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝⌀，故A为真命题；对于B选项，因为A⊕B＝⌀，所以⌀＝{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}，所以A∪B与A∩B是相同的，所以A＝B，故B为真命题；对于C选项，因为A⊕B⊆A，所以{x｜x∈A∪B，且x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，故C为假命题；对于D选项，若A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则A∪B＝R，A∩B＝{x｜1＜x＜2}，所以A⊕B＝{x｜x≤1或x≥2}，∁RA＝{x｜x≥2}，∁RB＝{x｜x≤1}，所以（∁RA）∪（∁RB）＝{x｜x≤1或x≥2}，（∁RA）∩（∁RB）＝⌀，所以（∁RA）⊕（∁RB）＝{x｜x≤1或x≥2}，因此A⊕B＝（∁RA）⊕（∁RB），故D为真命题.故选A、B、D. 跟踪训练 1.D　A＝{x｜3x＞9}＝{x｜x＞2}，故∁UA＝{x｜x≤2}，所以（∁UA）∩B＝{x｜－2≤x≤2}＝[－2，2]. 2.B　因为集合A＝{x｜a－2＜x＜a＋3}，B＝{x｜（x－1）（x－4）＞0}＝{x｜x＜1或x＞4}，且A∪B＝R，所以解得1＜a＜3，即a的取值范围是（1，3），故选B. 3.{x｜－3≤x＜0或x＞3}　解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}. 学科网（北京）股份有限公司 $