第一章 第二节 常用逻辑用语（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第二节　常用逻辑用语 课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p　　q p　　q p　　q 条件 关系 p是q的　　　　条件，q是p的　　　　条件 p不是q的　　　条件，q不是p的　　　条件 p是q的　　　　　条件，简称　　　条件 提醒 （1）A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA；（2）A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB. 2.全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　　　　的命题，叫做全称量词命题 含有　　　　的命题，叫做存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为“　　　　” “存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为“　　　　　” 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 提醒 对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 1.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件. 2.p是q的充分不必要条件，等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. 3.用集合间的包含关系判断充分、必要条件：设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}. （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 4.命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全称量词命题一定含有全称量词.（　　） （2）“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（　　） （3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（　　） （4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　　） 2.（人A必修一P27例1、P28例2改编）下列命题中的假命题是（　　） A.∀x∈R，2x－1＞0 B.∀x∈N*，（x－1）2＞0 C.∃x0∈R，lg x0＜1 D.∃x0∈R，tan x0＝2 3.（人A必修一P21例3（3）改编）“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.（苏教必修一P47本章测试10题改编）若命题“∀x∈R，x2－x＋a≠0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.a≥ B.a≤ C.a＞ D.a＜ 5.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，则m的取值范围是　　　　. 充分条件、必要条件的判定 （基础自学过关） 1.（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.（2025·青岛一模）已知直线a，b和平面α，a⊄α，b⊂α，则“a∥α”是“a∥b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 练后悟通 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 充分、必要条件的探究与应用 （师生共研过关） （2024·南昌三模）已知p：“x＞2”，q：“x2－x－a＞0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A.［－，2］ B.（－∞，2] C.（－，＋∞） D.[2，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解； （2）注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 1.一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是a∈（　　） A.（－∞，0） B.（0，＋∞） C.（－∞，2） D.（－∞，－1） 2.若关于x的不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是　　　　. 全称量词与存在量词 （定向精析突破） 考向1　含量词命题的否定及真假判定 1.已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　） A.􀱑p：∀x∉R，x≠－1或x≠2 B.􀱑p：∀x∈R，x≠－1且x≠2 C.􀱑p：∀x∈R，x＝－1且x＝2 D.􀱑p：∃x∉R，x＝－1或x＝2 2.（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 3.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件 练后悟通 1.含量词命题真假的判断方法 判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p（x）”是真命题，只要在集合M内找到一个x，使p（x）成立即可. 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）改写量词，即确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； （2）否定结论，即对原命题的结论进行否定. 考向2　含量词命题的应用 已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0） B.（0，） C.（，＋∞） D.（1，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 　已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若命题p和􀱑q都是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]∪{1} B.（－∞，－］ C.（－∞，1] D.［－，1］ 提示：完成课后作业　第一章　第二节 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节　常用逻辑用语 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.⇒　 /⇒　⇔　充分　必要　充分　必要　充分必要　充要 2.全称量词　存在量词　∀x∈M，p（x）　∃x∈M，p（x） 对点自测诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√ 2.B　3.B　4.B　5.（3，＋∞） 【考点·分类突破】 考点1 1.C　由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C. 2.B　不等式x2－5x＜0的解集为A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集为B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B. 3.B　当a∥α时，a与b平行或异面，当a∥b时，a⊄α，b⊂α，则a∥α，所以“a∥α”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B. 考点2 【例1】 B　若p是q的充分不必要条件，故x2－x－a＞0在x＞2时恒成立，故得a＜x2－x，令f（x）＝x2－x，由二次函数性质得f（x）在（2，＋∞）时单调递增，则f（x）＞f（2）＝2，可得a∈（－∞，2]，故选B. 跟踪训练 1.C　由题意，记方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，因为一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根，所以解得a＜0，根据选项可得a＜2是a＜0的必要不充分条件. 2.[3，＋∞）　解析：｜x－1｜＜a⇒1－a＜x＜1＋a，因为不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，所以（0，4）⊆（1－a，1＋a），所以解得a≥3. 考点3 1.B　注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“∀x∈R，x≠－1且x≠2”. 2.B　法一 因为∀x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命题p为假命题，所以􀱑p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x（x2－1）＝0，即x（x＋1）（x－1）＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以􀱑q为假命题，所以􀱑p和q都是真命题，故选B. 法二（特殊值法） 在命题p中，当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，所以命题p为假命题，􀱑p为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，􀱑q为假命题，所以􀱑p和q都是真命题，故选B. 3.AB　对于A，“菱形是正方形”即是“所有的菱形是正方形”是全称量词命题，A正确；对于B，∀x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是∃x，y∈R，x2＋y2＜0，B正确；对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，C错误；对于D，由A＝B可得sin A＝sin B，又sin＝sin，A＝，B＝，A≠B，故A＝B是sin A＝sin B的充分不必要条件，D错误.故选A、B. 【例2】 C　因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞. 跟踪训练 A　当p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0为真命题时，a≤x2在[1，2]上恒成立，因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，所以a≤1；命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0的否定􀱑q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0为真命题时，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1.因为命题p和􀱑q都是真命题，所以a＝1或a≤－2. 学科网（北京）股份有限公司 $