第七章 第一节 基本立体图形及表面积与体积（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

该高中数学讲义聚焦立体几何高考核心考点，涵盖柱锥台球及组合体的结构特征、表面积与体积计算、直观图画法，按多面体到旋转体、结构特征到度量计算的逻辑架构知识，通过表格梳理、方法指导、真题改编训练等环节，帮助学生构建空间几何知识体系，突破直观图转化、表面积体积综合计算等难点。 资料以培养空间观念和几何直观为核心，创新采用“结构特征辨析-直观图转化-展开图化归”三阶教学法，如在正三棱锥侧面最短路径问题中，引导学生展开侧面转化为平面几何问题，提升推理能力。设置基础判断、能力提升、真题应用分层练习，配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生空间几何问题的解题效率和应考能力。

第七章　立体几何与空间向量 第一节　基本立体图形及表面积与体积 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.（1）平行　全等　平行　相似　平行　相等　一点　（2）垂直　相等　一点　矩形　等腰三角形　等腰梯形 2.（2）①45°　135°　②不变　一半 3.2πrl　πrl　π（r＋r'）l 4.Sh　（S上＋S下＋）h　πR3 对点自测诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 2.C　3.D　4.1∶47　5.2 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 AD　若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确. 【例2】 　解析：法一 实际图形和直观图如图1和图2所示.因为OE＝＝1，由斜二测画法可知O'E'＝，E'F＝，D'C'＝1，A'B'＝3，则直观图A'B'C'D'的面积S'＝×＝. 法二 因为OE＝＝1，S原图形＝×1＝2，故S直观图＝×2＝. 【例3】 C　将三棱锥S-ABC沿侧棱BS展开，其侧面展开图如图所示.一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB'，根据余弦定理得BB'＝＝2. 跟踪训练 1.CD　当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥，故A不正确；当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为圆或矩形，否则为椭圆或椭圆的一部分，故B不正确；长方体是直平行六面体，故C正确；如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形，故D正确. 2.B　根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA＝2，OD＝4，AB＝CD＝2，则AD＝＝2，故原平面图形的周长为2＋2＋2＋2＝4＋4. 3.2　解析：圆柱的侧面展开图及M，N的位置（N为EE'的四等分点）如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径.EN＝×16＝4，EM＝2，∴MN＝＝＝2. 考点2 【例4】 B　由题知，圆柱的上底面面积为4π cm2，圆柱的侧面积为4π×5＝20π（cm2），圆台的下底面面积为25π cm2，圆台的母线长为＝5（cm），所以圆台的侧面积为π（2＋5）×5＝35π（cm2），则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π＋35π＝84π（cm2）. 跟踪训练 A　因为CC1⊥平面ABC，AC，CB⊂平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，又AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，所以＝＝×（1＋2）×1＝，在梯形A1ABB1中，易知A1B1＝，AB＝2，AA1＝BB1＝，所以＝（＋2）×＝，所以这个三棱台的侧面积S侧＝＋＋＝＋＋＝. 考点3 【例5】 （1）　（2）1　（3）4 解析：（1）法一 如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以＝×（22＋12＋）×＝. 法二 如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形成正四棱锥P-ABCD，因为AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，所以PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，所以PO＝＝，所以正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高为，所以＝×（22＋12＋）×＝. （2）如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得＝2×2－2××2×1－×1×1＝，又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高，且D1A1＝2，所以＝＝··D1A1＝××2＝1. （3）法一（分割法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.由题意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝（×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝（×2×1）×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝2＋2＝4. 法二（补形法） 因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积为该正方体体积的一半.又正方体的体积V＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG＝×8＝4. 跟踪训练 1.A　由题可知圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，高h＝＝＝，∴圆锥的体积为V＝πR2h＝π.故选A. 2.B　将含液体部分的几何体补成如图所示的圆柱，过M作底面的平行平面，与过N的母线交于点S，连接MS，由题意知∠MNS＝30°，则MS＝6×＝2，故圆柱的底面半径为，则容器内液体的体积为×（10＋16）×π×（）2＝13×π×3＝39π.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一节　基本立体图形及表面积与体积 课标要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图. 1.基本立体图形 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相　　　且　　　　 多边形 互相　　　且　　　　 侧棱 互相　　　且　　　　 相交于一点，但不一定相等 延长线交于　　　 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 提醒 常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且 相等，于底面 长度　　　　且相交于一点 长度相等且延长线交于　 轴截面 全等的 　　 全等的 　　 全等的 　　 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.立体图形的直观图 （1）画法：常用斜二测画法； （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为　　　　（或　　　　），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　　　　，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的　　　　. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝ 　　　 S圆锥侧＝ 　　　 S圆台侧＝ 　　　 4.空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝　　　 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝　　　 球 S＝4πR2 V＝　　　 提醒 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. 1.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系：（1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图. 2.与体积有关的几个结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差； （2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等（祖暅原理）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.（　　） （2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（　　） （3）菱形的直观图仍是菱形.（　　） （4）圆锥的任意一个轴截面都是全等的等腰三角形.（　　） 2.（人A必修二P106习题8题改编）如图，长方体ABCD-A'B'C'D'被截去体积较小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是（　　） A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 3.（人A必修二P111习题1题改编）下列说法正确的是（　　） A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 4.（人A必修二P119习题2题改编）如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为　　　　. 5.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为　　　　 cm. 基本立体图形 （定向精析突破） 考向1　结构特征 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 辨别空间几何体的两种方法 考向2　直观图 已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 　　在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置.平行于x轴的线段的平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段的平行性不变，长度减半. 考向3　展开图 如图，在正三棱锥S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（　　） A.2　　　B.3　　　C.2　　　D.3 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 1.多面体表面展开图由剪开的位置不同可以有不同的形状，但图形面积相等.借助展开图可以求几何体的表面积及表面上两点间的距离，还可将部分空间问题转化为平面问题. 2.旋转体表面展开图一般沿母线剪开，多面体表面展开图一般沿某些棱展开，注意球无法展开成平面图形. 1.〔多选〕下面关于空间几何体的叙述正确的是（　　） A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 C.长方体是直平行六面体 D.存在每个面都是直角三角形的四面体 2.如图，一个水平放置的平面图形由斜二侧画法得到的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（　　） A.4＋4 B.4＋4 C.8 D.8 3.某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中ME垂直于底面，OE⊥ON，如图所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为　　　　. 空间几何体的表（侧）面积 （师生共研过关） （人A必修二P120习题6题改编）如图所示为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一个圆台和一个圆柱组成的，其中O为圆台下底面圆心，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上、下底面圆的半径为2 cm，O1O2＝5 cm，OO1＝4 cm，圆台下底面圆半径为5 cm，则该组合体的表面积为（　　） A.42π cm2 B.84π cm2 C.36π cm2 D.64π cm2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解题技法 求解几何体表面积的类型及方法 （1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； （2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系； （3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 如图所示，已知三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，则这个三棱台的侧面积为（　　） A. B. C. D.3＋2 空间几何体的体积 （师生共研过关） （1）（2023·新高考Ⅰ卷14题）在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　　　； （2）棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1-D1MN的体积为　　　　； （3）如图所示，已知多面体ABC-DEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 求空间几何体的体积的三种方法 1.（2025·八省联考）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（　　） A.π　　　B.π　　　C.2π　　　D.3π 2.如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是10和16，则容器内液体的体积是（　　） A.36π B.39π C.42π D.45π 提示：完成课后作业　第七章　第一节 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $