第七章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

该高中数学讲义聚焦直线与平面垂直、平面与平面垂直等高考核心考点，依据课标要求构建“定义-判定-性质-应用”的知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生突破线面角、二面角等难点，体现复习的系统性与针对性。 该资料采用“梳理-辨析-应用”三阶教学法，结合改编真题和分层练习，如在面面垂直证明中引导学生用判定定理转化线面垂直，培养数学思维与空间观念。设置师生共研例题和即时反馈练习，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第五节　直线、平面垂直的判定与性质 课标要求 1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明. 2.能用基本事实、定理和已获得的结论证明有关空间基本图形垂直关系的简单命题. 1.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的　　　　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. （2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条　　　直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线　　　 ⇒a∥b （3）直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的　　　　所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是　　　　，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是　　　　； ②范围：[0°，90°]. 2.平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的　　　　　所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作　　　　的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角； ③范围：[0°，180°]. （2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是　　　　　，就说这两个平面互相垂直. （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的　　　　，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的　　　，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 3.空间距离 （1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离； （2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离； （3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.垂直于同一条直线的两个平面平行. 3.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. 4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 5.三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，则l⊥PC. 6.三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥PC，则l⊥CO. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（　　） （2）垂直于同一个平面的两平面平行.（　　） （3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.（　　） （4）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（　　） 2.（人A必修二P162习题1（2）题改编）已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.（人A必修二P158例8改编）如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（　　） A.平面ABC⊥平面BCD B.平面BCD⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面BCD⊥平面ABD 4.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β C.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β D.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 5.（人A必修二P152例4改编）在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是　　　　. 线面垂直的判定与性质 （师生共研过关） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明： （1）CD⊥AE； （2）PD⊥平面ABE. 解题技法 1.证明直线和平面垂直的常用方法 （1）判定定理； （2）直线垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）； （3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）； （4）面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α）. 2.判定定理证明线面垂直的步骤 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 平面与平面垂直的判定与性质 （师生共研过关） 在如图所示的多面体中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，∠CDF＝∠DFE＝90°，EF＝2CD＝2，DF＝1.证明：平面ACF⊥平面BCE. 解题技法 证明面面垂直的2种方法 （1）定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题； （2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把证明面面垂直问题转化成证明线面垂直问题. 如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点. （1）证明：平面BED⊥平面ACD； （2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积. 平行与垂直的综合问题 （师生共研过关） 如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形，E，F分别为AD，SB的中点. （1）求证：AF∥平面SEC； （2）求证：平面ASB⊥平面SBC. 解题技法 立体几何中平行、垂直关系的两种转化 如图所示，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°. （1）求证：EF⊥平面BCE； （2）设线段CD，AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE. 提示：完成课后作业　第七章　第五节 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五节　直线、平面垂直的判定与性质 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.（1）任意一条　（2）相交　m，n⊂α　m∩n＝P　l⊥m　l⊥n　平行　a⊥α　b⊥α　（3）①射影　90°　0° 2.（1）①两个半平面　②垂直于棱　（2）直二面角　（3）垂线　交线 对点自测诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 2.B　3.B　4.CD　5.60° 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 证明：（1）在四棱锥P-ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD， 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，AC，PA⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. （2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. 又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE. 跟踪训练 证明：因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， 所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN. 考点2 【例2】 证明：在△CEF中，FC＝＝，CE＝＝，EF＝2， ∴EF2＝FC2＋CE2，∴CF⊥CE. ∵平面ABEF⊥平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE＝EF，AF⊥EF，AF⊂平面ABEF， ∴AF⊥平面CDFE，而CE⊂平面CDFE， ∴AF⊥CE， 又AF∩CF＝F，AF，CF⊂平面ACF，∴CE⊥平面ACF， 而CE⊂平面BCE，故平面ACF⊥平面BCE. 跟踪训练 解：（1）证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB， 所以△ADB≌△CDB， 所以BA＝BC， 又E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE， 因为BE∩DE＝E，且BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED， 又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. （2）由（1）可知BA＝BC，因为∠ACB＝60°，AB＝2，所以AC＝2，则BE＝，DE＝1， 又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，所以DE⊥EB. 连接EF（图略），易知当△AFC的面积最小时，EF取最小值， 在Rt△BED中，EF的最小值为E到BD的距离，故当△AFC的面积最小时，EF＝＝. 由射影定理知EF2＝DF·FB，又DF＋FB＝BD＝2，所以DF＝，FB＝. 法一 因为DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC， 则F到平面ABC的距离d＝×DE＝. 故VF-ABC＝S△ABC×d＝××4×＝. 法二 由（1）知BD⊥AC，又BD⊥EF，AC∩EF＝E，AC，EF⊂平面ACF，所以BD⊥平面ACF， 所以BF即为B到平面ACF的距离， 故VF-ABC＝VB-AFC＝S△AFC×BF＝××AC×EF×BF＝. 考点3 【例3】 证明：（1）取SC的中点G，连接FG，EG（图略）， ∵F，G分别是SB，SC的中点， ∴FG∥BC，FG＝BC. ∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点， ∴AE∥BC，AE＝BC. ∴FG∥AE，FG＝AE， ∴四边形AFGE是平行四边形， ∴AF∥EG， 又AF⊄平面SEC，EG⊂平面SEC， ∴AF∥平面SEC. （2）∵△SAD是正三角形，E是AD的中点， ∴SE⊥AD. ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点， ∴AD⊥CE， 又SE∩CE＝E，SE，CE⊂平面SEC， ∴AD⊥平面SEC，又EG⊂平面SEC， ∴AD⊥EG， 又四边形AFGE是平行四边形， ∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG. ∵SA＝AB，F是SB的中点， ∴AF⊥SB， 又FG∩SB＝F，FG，SB⊂平面SBC， ∴AF⊥平面SBC， 又AF⊂平面ASB， ∴平面ASB⊥平面SBC. 跟踪训练 证明：（1）∵平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB， ∴BC⊥平面ABEF，∴BC⊥EF. ∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，∴∠AEB＝45°， 又∵∠AEF＝45°，∴∠FEB＝90°，即EF⊥BE. ∵BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，∴EF⊥平面BCE. （2）取BE的中点N，连接CN，MN，如图所示， 则MN􀰿AB􀰿PC， ∴四边形PMNC为平行四边形， ∴PM∥CN. ∵CN⊂平面BCE，PM⊄平面BCE， ∴PM∥平面BCE. 学科网（北京）股份有限公司 $