第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 课标要求 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和定理，了解空间两条直线位置关系的判定. 3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 1.四个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的　　　，有且只有一个平面； （2）基本事实2：如果一条直线上的　　　　在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有　　　　公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线　　　　. 提醒 三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面. 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线 与直 线 平行 a∥b 　　 个 相交 1个 异面 a，b是异 面直线 　　 个 直线 与平 面 相交 1个 平行 a∥α 0个 在平 面内 　　 个 平面 与平 面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 　　 个 3.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　　　　　　. 4.异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）； （2）范围：　　　　　. 1.基本事实1的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 2.唯一性定理 （1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直； （3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直； （4）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 3.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.（　　） （2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.（　　） （3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（　　） （4）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.（　　） 2.下列说法正确的是（　　） A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面 3.设直线a，b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（　　） A.平行 B.相交 C.是异面直线 D.可能相交，也可能是异面直线 4.（人A必修二P131练习3题改编）下列说法正确的是（　　） A.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α B.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 D.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 5.（人A必修二P147例1改编）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是　　　　. 基本事实的应用 （师生共研过关） 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证： （1）E，C，D1，F四点共面； （2）CE，D1F，DA三线共点； （3）B，M，D1三点共线. 解题技法 共面、共线、共点问题的证明方法 1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是（　　） A.直线AC　　　　　　 B.直线AB C.直线CD D.直线BC 2.在三棱锥A-BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则（　　） A.点P一定在直线BD上 B.点P一定在直线AC上 C.EH∥FG D.EH与FG必相交 空间两直线的位置关系的判断 （师生共研过关） （1）如图，N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　） A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 （2）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则（　　） A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 空间两直线位置关系的判定方法 1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　） A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交 2.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（　　） A.AE＝CF，AC与EF是共面直线 B.AE≠CF，AC与EF是共面直线 C.AE＝CF，AC与EF是异面直线 D.AE≠CF，AC与EF是异面直线 异面直线所成的角 （师生共研过关） 如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 用平移法求异面直线所成角的步骤 提醒 在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，则AA1＝　　　　. 提示：完成课后作业　第七章　第三节 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.（1）三个点　（2）两个点　（3）一个 （4）平行 2.0　a∩b＝A　0　a∩α＝A　a⊂α　无数　无数　 3.相等或互补 4.（2）（0°，90°] 对点自测诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）× 2.C　3.D　4.D　5. 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 证明：（1）如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C， ∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面. （2）∵EF∥CD1，EF＜CD1， ∴CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD， 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA， ∴CE，D1F，DA三线共点. （3）连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，故BD1与A1C相交， 则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1三点共线， ∵BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O， 即O与M重合，故B，M，D1三点共线. 跟踪训练 1.C　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD. 2.B　如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，故A错误，B正确；易知直线EH，FG共面，则直线EH，FG平行或相交，故C、D错误. 考点2 【例2】 （1）B　（2）D 解析：（1）如图，取CD的中点F，连接EF，EB，BD，FN.因为△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.设CD＝2，则EF＝.因为N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2，NF＝1，BC⊥CD，因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC.在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2，所以在等腰三角形BDE中，BM＝，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直线. （2）在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A、B错误，m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误. 跟踪训练 1.D　法一（反证法） 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交. 法二（模型法） 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确. 2.D　如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，母线AB＝2，BC＝2，E是的中点，则BE＝，因为F是AB的中点，则BF＝1，AE＝＝＝，CF＝＝＝，所以AE≠CF，在△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，所以OF∥AC，所以AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直线，则O，F，A，C，E在同一平面上，显然矛盾，故AC与EF是异面直线，故选D. 考点3 【例3】 D　如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点，设正方形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD（或其补角）.在△EAD中，cos ∠EAD＝＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为. 跟踪训练 3　解析：如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，则∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角.设AA1＝t，∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝，A1B＝BC1＝. ∴cos ∠A1BC1＝＝＝.解得t＝3，则AA1＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $