第七章 第七节 用空间向量研究线、面位置关系及距离（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第七节　用空间向量研究线、面位置关系及距离 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 2.u1·u2 3.（2） 对点自测诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.D　3.C　4.D　5.AB∥α或AB⊂α 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）. 由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）. （1）向量＝（0，1，1），＝（2，0，0）， 故·＝0，所以BE⊥DC. （2）因为AB⊥AD， 又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，　 所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 所以向量＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量，而·＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0， 所以BE⊥AB， 又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD. （3）由（2）知平面PAD的法向量为＝（1，0，0），向量＝（0，2，－2），＝（2，0，0）， 设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则即 不妨令y＝1，可得n＝（0，1，1）为平面PCD的一个法向量. 且n·＝（0，1，1）·（1，0，0）＝0，所以n⊥. 所以平面PCD⊥平面PAD. 跟踪训练 证明：由二面角A1-AB-C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面ABC. 又∵AB＝AC，BC＝AB，∴AB2＋AC2＝BC2， ∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB， ∴AB，AC，AA1两两互相垂直. 以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB＝2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2），B1（0，2，2）. （1）＝（0，2，0），＝（0，0，－2），＝（2，0，0）， 设平面AA1C的一个法向量为n＝（x，y，z），则即即取y＝1，则n＝（0，1，0）. ∴＝2n，即∥n，∴A1B1⊥平面AA1C. （2）易知＝（0，2，2），＝（1，1，0），＝（2，0，－2），设平面A1C1C的一个法向量为m＝（x1，y1，z1）， 则即取x1＝1， 则y1＝－1，z1＝1，即m＝（1，－1，1）. ∴·m＝0×1＋2×（－1）＋2×1＝0，∴⊥m.又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C. 考点2 【例2】 解：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD， 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，取OD的中点F，连接CF， 因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD， 过点O作OM∥CF交BC于点M，则OM⊥OD， 所以OM，OD，OA两两垂直， 以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B（0，－1，0），C（，，0），E（0，，）， 法一 则＝（，，0），＝（0，，）， 所以点E到直线BC的距离 d＝＝＝. 法二 则＝（，，0），＝（0，，）， 所以｜cos＜，＞｜＝＝＝，则sin＜，＞＝， 所以点E到直线BC的距离为｜｜·sin＜，＞＝×＝. 【例3】 解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，，0），F（，1，0）. ∴＝（1，，－1），＝（－，，0），＝（0，0，1）. 设平面PEF的法向量为n＝（x，y，z）， 则有⇒⇒令x＝1，则n＝（1，1，）， ∴点D到平面PEF的距离 d＝＝＝. （2）∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF∥AC，又EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF， ∴AC∥平面PEF，故直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离. ∵＝（0，，0），平面PEF的一个法向量为n＝（1，1，）， ∴点A到平面PEF的距离 d1＝＝＝. ∴直线AC到平面PEF的距离为. 跟踪训练 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，2，0）， C（0，4，0），C1（0，4，4），A1（0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）. （1）＝（0，4，2），＝（2，2，0），则｜｜＝2，｜｜＝4，·＝8. 设点N到直线AB的距离为d1， 则d1＝＝＝4. （2）设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由n⊥，n⊥，得 令z＝2，则y＝－1，x＝，即n＝（，－1，2）. 易知＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2，则d2＝｜｜＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七节　用空间向量研究线、面位置关系及距离 课标要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系. 3.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的一些简单定理. 4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题. 5.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1.直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量； （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 l1⊥l2 u1⊥u2⇔　　　　　＝0 直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n＝0 l⊥α u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 3.空间距离 （1）点到直线的距离： 设＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝； （2）点到平面的距离： 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝＝　　　　　； （3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线的方向向量是唯一确定的.（　　） （2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.（　　） （3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.（　　） （4）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量的长度.（　　） 2.（人A选一P31练习2题改编）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（　　） A.x＝6，y＝15　　　 　B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝ 3.（人A选一P28例1改编）已知平面α内有两点M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 4.（人A选一P34例6（1）改编）在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为（　　） A.3 B. C. D. 5.平面α的法向量为n＝（1，－1，2），＝（2，0，－1），那么直线AB与平面α的位置关系是　　　　. 用空间向量证明线面位置关系 （师生共研过关） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明： （1）BE⊥DC； （2）BE∥平面PAD； （3）平面PCD⊥平面PAD. 解题技法 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求证： （1）A1B1⊥平面AA1C； （2）AB1∥平面A1C1C. 用空间向量求空间距离 （定向精析突破） 考向1　点线距 如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.当AO＝1时，求点E到直线BC的距离. 考向2　点面距 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； （2）求直线AC到平面PEF的距离. 解题技法 1.利用向量求点到直线的距离 设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝. 2.利用向量法求点B到平面α的距离的步骤 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点. （1）求点N到直线AB的距离； （2）求点C1到平面ABN的距离. 提示：完成课后作业　第七章　第七节 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $