第七章 第六节 空间向量的概念及运算（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第六节　空间向量的概念及运算 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.同一个平面　不共线　xa＋yb＋zc　1 2.（1）①｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　（2）a1b1＋a2b2＋a3b3　a1b1＋a2b2＋a3b3 对点自测诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）√ 2.C　3.（0，0，－3）　4.（8，1，16）　8　5. 【考点·分类突破】 考点1 1.（0，6，－20）　解析：∵b＝x－2a，∴x＝4a＋2b＝4（2，3，－4）＋2（－4，－3，－2）＝（0，6，－20）. 2.　解析：＝＋＋＝＋＋＝＋x＋y，故x＝，y＝1，所以x＋y＝. 3.　＋＋ 解析：－－＝－（＋）＝－＝＋＝；因为＝＝（＋），所以＝＋＝（＋）＋＝＋＋. 考点2 【例1】 解：（1）由题知＋＋＝3， 所以－＝（－）＋（－）， 即＝＋＝－－，所以，，共面. （2）法一 由（1）知，，，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内. 法二 因为＝（＋＋）＝＋＋， 又因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面， 从而点M在平面ABC内. 跟踪训练 1.B　＝6－4＋λ，即－＝6－4＋λ，整理得＝6－3＋λ，由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. 2.－3　解析：∵＝（3，－1，1），＝（m＋1，n－2，－2），且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），∴解得∴m＋n＝－3. 考点3 【例2】 解：（1）设＝a，＝b，＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. 因为＝＋＋＝a＋b＋c， 所以｜｜＝｜a＋b＋c｜＝ ＝ ＝＝，所以线段AC1的长为. （2）因为＝a＋b＋c，＝b－c， 所以·＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4＝－2， ｜｜＝｜b－c｜＝ ＝＝＝， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. （3）证明：因为＝c，＝b－a， 所以·＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即⊥， 所以AA1⊥BD. 跟踪训练 解：（1）因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在棱的中点，＝a，＝b，＝c， 所以＝＝（－）＝（b－a）， ＝＝c， 所以＝＋＋＝－（b－a）－a＋c＝（c－a－b）， 所以｜｜2＝（c－a－b）2＝（c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）＝（1＋1＋1－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°）＝， 故｜｜＝. （2）在正四面体ABCD中， ＝（c－a－b），｜｜＝. 同理，＝（b＋c－a），｜｜＝. 所以cos＜，＞＝ ＝＝[（c－a）2－b2]＝（c2＋a2－2c·a－b2）＝（1＋1－2×1×1×cos 60°－1）＝0， 所以与的夹角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六节　空间向量的概念及运算 课标要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 1.空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于　　　　　　的向量 共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 共面向 量定理 如果两个向量a，b　　　　，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝　　　　. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝　　　 2.空间向量的数量积及坐标运算 （1）两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝　　　　　　　； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝. （2）空间向量运算的坐标表示 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3） 数量积 a·b＝　　　　　　 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0） 垂直 a⊥b⇔　　　　　　＝0（a≠0，b≠0） 夹角公式 cos＜a，b＞＝ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间中任意两个非零向量a，b共面.（　　） （2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.（　　） （3）对于向量a，b，若a·b＝0，则一定有a＝0或b＝0.（　　） （4）空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是（0，b，c），b，c∈R.（　　） 2.（人A选一P15习题3题改编）如图，在三棱锥O-ABC中，＝，＝，若＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a－b－c B.a－b－c C.a－b－c D.a－b－c 3.已知点M在z轴上，且点M到点A（1，0，2）与到点B（1，－3，1）的距离相等，则点M的坐标是　　　　. 4.已知a＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），则3a－b＝　　　　，a·b＝　　　　. 5.在△ABC中，已知＝（2，4，0），＝（－1，3，0），则∠ABC＝　　　　. 空间向量的线性运算 （基础自学过关） 1.已知a＝（2，3，－4），b＝（－4，－3，－2），b＝x－2a，则x＝　　　　. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且＝＋x＋y，则实数x＋y＝　　　　. 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点，化简－－＝　　　；用，，表示，则＝　　　　. 练后悟通 空间向量线性运算中的三个关键点 共线、共面向量定理的应用 （师生共研过关） 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝（＋＋）. （1）判断，，三个向量是否共面； （2）判断点M是否在平面ABC内. 解题技法 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O，＝x＋（1－x） 对空间任一点O，＝x＋y＋（1－x－y） 1.已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ＝（　　） A.2　　　B.－2　　　C.1　　　D.－1 2.若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三点共线，则m＋n＝　　　　. 空间向量数量积的应用 （师生共研过关） （人A选一P13例2、例3改编）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. （1）求线段AC1的长； （2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； （3）求证：AA1⊥BD. 解题技法 空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题. 如图，正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中其所在的中点，设＝a，＝b，＝c，试采用向量法解决下列问题： （1）求的模长； （2）求与的夹角. 提示：完成课后作业　第七章　第六节 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $