第七章 第二节 球的切、接问题（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第二节　球的切、接问题 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 （1）D　（2）A 解析：（1）在△BAC中，∠BAC＝45°，AB＝2，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 45°＝8＋16－2×2×4×＝8，则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，又△PAC为直角三角形，所以PC是三棱锥P-ABC外接球直径，设O是PC的中点，即为球心，又AC＝4，PA＝2，所以PC＝＝＝2，所以外接球半径为，所以所求外接球的表面积S＝4π×（）2＝20π.故选D. （2）由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 跟踪训练 912π　解析：由题意，设球心为O，模型内层圆柱底面的圆心为O1，模型外层圆柱底面的圆心为O2，点A，B分别在圆O1，O2上，如图，连接AO，BO，AO1，BO2，OO1，则O2在OO1上，因为AO＝BO＝10 cm，AO1＝6 cm，BO2＝8 cm，在Rt△AO1O中，由勾股定理得OO1＝＝8（cm），在Rt△BO2O中，由勾股定理得OO2＝＝6（cm），所以内层圆柱的高h1＝16 cm，外层圆柱的高h2＝12 cm，所以此模型的体积V＝π×82×12＋π×62×（16－12）＝912π（cm3）. 【例2】 （11＋2）π　解析：由题中数据可知A1E2＝1＋（－1）2＝4－2，则AA1＝＝＋1，因为十面体ABCD-EFGH是由长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面绕着其中心旋转45°得到，所以长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球就是十面体ABCD-EFGH的外接球.设十面体ABCD-EFGH外接球的半径为R，（2R）2＝22＋22＋（＋1）2，则R2＝，故十面体ABCD-EFGH外接球的表面积是4πR2＝（11＋2）π. 跟踪训练 1.A　AB＝＝，设PB＝h，则由PA＝2PB，可得＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P-ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径为R，则2R＝＝2，R＝1，所以其外接球的体积V＝R3＝.故选A. 2.　解析：根据题意可将三棱锥A-BCD放置于长方体中，如图，∵三棱锥A-BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个，∴长方体的外接球就是三棱锥A-BCD的外接球，∵AB＝CD＝1，AD＝BC＝，且三组对棱两两相等，∴设AC＝BD＝x，得长方体的体对角线长为＝，可得外接球的直径2R＝，∴半径R＝.∵三棱锥A-BCD的外接球表面积为，∴4πR2＝，解得R＝，即＝，解得x＝（舍负），因此AC＝BD＝. 【例3】 B　如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD，设球的半径为R，则＝，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因为CD⊥AB，AB为球的直径，所以△ACD∽△CBD，所以＝，所以CD＝＝，因此这两个圆锥的体积之和为π×CD2·（AD＋BD）＝π×3×4＝4π. 跟踪训练 D　如图，连接B1N，由题意易知MN∥A1B1，MN＝A1B1，故四边形A1B1NM为平行四边形.连接B1C，BC1，交于点H，取B1C1的中点K，连接NK，则NK过点H，在Rt△B1KN中，B1K＝1，NK＝2，B1N＝，易知点K到B1N的距离为，又H为NK的中点，故点H到B1N的距离为，因此球心O到平面A1MN的距离为，由题易知球O的半径R＝，故平面A1MN截球O得到的截面圆的半径r＝＝，故截面圆的面积S＝πr2＝，故选D. 考点2 【例4】 π　解析：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为π. 跟踪训练 1.C　设球的半径为R，由R3＝，得R＝1.因为球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2，正三棱柱的底面三角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a，则a×sin×＝1，所以a＝2，所以这个正三棱柱的体积V＝×（2）2×2＝6.故选C. 2.D　三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为2的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A.如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于点B.则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO1中，由（R－）2＝22＋（）2可得R＝＋. 考点3 【例5】 C　法一（特殊法） 不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为a，底面正方形外接圆的半径为r，则r＝a，四棱锥的高h＝，所以四棱锥的体积V＝a2＝≤＝＝，当且仅当＝1－，即a2＝时等号成立，此时四棱锥的高h＝＝＝，故选C. 法二（导数法） 设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接圆的半径为r，四棱锥的高为h，则r2＋h2＝1，r＝，正方形的边长为r＝ ，所以四棱锥的体积V＝Sh＝（1－h2）h＝（－h3＋h）.令f（h）＝－h3＋h（0＜h＜1），则f'（h）＝－3h2＋1，令f'（h）＝－3h2＋1＝0，得h＝，所以f（h）在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，f（h）取得最大值，所以当四棱锥的体积最大时，其高为，故选C. 法三（转化法） 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大，设圆锥的高为h（0＜h＜1），底面半径为r，则r2＋h2＝1，r＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝π（1－h2）h，则V'＝π（1－3h2），令V'＝π（1－3h2）＝0，得h＝，所以V＝π（1－h2）h在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，四棱锥的体积最大，故选C. 跟踪训练 [2，2] 解析：当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，设正方体的外接球直径为2R，则2R＝AC1＝＝4，即R＝2.分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG＝4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，球的半径最小，即R'＝2.综上，球O半径的取值范围为[2，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节　球的切、接问题 重点解读 　　球的切、接问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等. 　八种常见球的切、接模型 1.正方体与球 （1）内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a； （2）棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长a； （3）外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长a. 2.长方体的外接球 外接球直径2R＝体对角线长（a，b，c分别为长方体的长、宽、高）. 3.正四面体的外接球 如图，设正四面体ABCD的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为a，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R＝a·＝a，即正四面体外接球半径为R＝a. 4.对棱相等的三棱锥的外接球 四面体ABCD中，AB＝CD＝m，AC＝BD＝n，AD＝BC＝t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体求解这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加可得a2＋b2＋c2＝，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2＋b2＋c2＝4R2，所以R＝. 5.直棱柱（圆柱）的外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）. （1）确定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圆圆心连线段O1O2的中点处； （2）求外接球半径R，设三棱柱下底面外接圆半径为r，三棱柱的高为h，由图可知OO1⊥平面ABC.在Rt△AO1O中，OA＝R，AO1＝r，OO1＝，所以R＝. 6.正棱锥的外接球与内切球 （1）内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h（等体积法），r是内切球半径，h为正棱锥的高； （2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R2＝（h－R）2＋r2（正棱锥外接球半径为R，高为h）. 7.球内接圆锥 如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来计算R.如图2，当PC＞CB时，球心在圆锥内部；如图3，当PC＜CB时，球心在圆锥外部. 由图2、图3可知，OC＝h－R或R－h，故（h－R）2＋r2＝R2，所以R＝. 8.球内接圆台 R2＝＋（）2，其中r1，r2，h分别为圆台的上底面半径、下底面半径、高. 求解与几何体的外接球有关问题 （定向精析突破） 考向1　定义法 （1）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（　　） A.14π B.16π C.18π D.20π （2）（2022·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π B.128π C.144π D.192π 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 　　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可. 某建筑的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个实心模型，已知模型内层底面直径为12 cm，外层底面直径为16 cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20 cm的球面上，则此模型的体积为　　　　 cm3. 考向2　补形法 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD-EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝，则十面体ABCD-EFGH外接球的表面积是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 补形法的解题策略 （1）侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； （2）若直棱柱的底面有外接圆，可以补成圆柱求解. 1.已知在三棱锥P-ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其外接球体积为（　　） A. B.4π C. D.4π 2.已知三棱锥A-BCD，三组对棱两两相等，且AB＝CD＝1，AD＝BC＝，若三棱锥A-BCD的外接球表面积为，则AC＝　　　　. 考向3　截面法 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（　　） A.3π B.4π C.9π D.12π 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 与球截面有关的解题策略 （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度作出截面，实现空间问题平面化的目的. （2025·南昌四校联考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，M，N分别为AD，BC的中点，该正方体的外接球为球O，则平面A1MN截球O得到的截面圆的面积为（　　） A. B. C. D. 求解与几何体的内切球有关的问题 （师生共研过关） 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 1.多面体内切球的球心与半径的确定 （1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等； （2）正多面体的内切球和外接球的球心重合； （3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合； （4）体积分割是求内切球半径的通用做法. 2.正四面体的内切球的半径r＝a，其半径是外接球半径的三分之一（a为该正四面体的棱长）. 1.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为，那么这个正三棱柱的体积是（　　） A.12 B.2 C.6 D.48 2.半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（　　） A.1＋ B.＋ C.＋ D.＋ 求解与球切、接有关的最值问题 （师生共研过关） 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（　　） A. B. C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 处理与球切、接有关最值问题的解题策略 （1）几何法：利用几何体中的特殊点、特殊面构造内含待求目标值的特殊几何体求解； （2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如三角函数等）及导数法等. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是　　　　. 提示：完成课后作业　第七章　第二节 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $