第二章 第一节 函数的概念及其表示（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第一节　函数的概念及其表示 课标要求 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 1.函数的概念及其表示 （1）函数的概念 （2）函数的表示法：表示函数的常用方法有　　　　、图象法和列表法； （3）同一个函数：如果两个函数的　　　　相同，并且　　　　　　完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 提醒 若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2. 2.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的　　　　取值区间，有着不同的　　　　　，这样的函数叫做分段函数. 提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 3.复合函数 对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的　　　　　　，记作y＝f（g（x））. 提醒 函数f（g（x））的定义域是x的取值范围，而不是g（x）的取值范围. 1.直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数.（　　） （2）对于函数f：A→B，其值域是集合B.（　　） （3）函数f（x）＝的定义域为R.（　　） （4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数.（　　） 2.（人A必修一P66例3改编）下列各组函数是同一个函数的为（　　） A.f（x）＝x－1，g（x）＝ B.f（x）＝，g（x）＝x C.f（x）＝，g（x）＝x D.f（x）＝x2－2x－1，g（s）＝s2－2s－1 3.（人A必修一P101复习参考题7题改编）已知函数f（x）＝则f（f（））＝（　　） A.62　　　　　　　　 B.63 C.64 D.65 4.（苏教必修一P106例3改编）已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为（　　） A.{－1，1，3，5，7} B.（－1，7） C.[1，7] D.{1，3，5，7} 5.函数f（）＝，则函数f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝（x≠0） C.f（x）＝（x≠0，－1） D.f（x）＝（x≠－1） 函数的定义域 （师生共研过关） （1）（人A必修一P65例2改编）函数f（x）＝＋（x－1）0的定义域为（　　） A.（，＋∞） B.［，1）∪（1，＋∞） C.（，1）∪（1，＋∞） D.［，＋∞） （2）已知函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，则函数g（x）＝的定义域是（　　） A.（－∞，－2）∪（－2，3] B.（－∞，－2）∪（－2，1] C.［－，－2）∪（－2，0] D.［－，－2］ 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解题技法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求复合函数定义域的方法 如果函数f（x）＝ln（－2x＋a）的定义域为（－∞，1），那么实数a＝（　　） A.－2　　　B.－1　　　C.1　　　D.2 函数的解析式 （师生共研过关） 求下列函数的解析式： （1）已知f（1－sin x）＝cos2x，求f（x）的解析式； （2）已知f＝x2＋，求f（x）的解析式； （3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式； （4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式. 解题技法 求函数解析式的4种方法 1.已知f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，则f（x）＝　　　. 2.已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（x）＝　　　　. 3.定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝　　　　. 分段函数 （定向精析突破） 考向1　分段函数求值 （1）（2025·益阳一模）已知f（x）＝则f（f（－3））＝　　　　. （2）若f（x）＝则f（f（1））＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 分段函数求值的策略 　　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值. 考向2　与分段函数有关方程、不等式的求解 已知函数f（x）＝则f（f（－1））＝　　　　；若f（a）＝－1，则a＝　　　；不等式f（x）≤2的解集为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 与分段函数有关的方程、不等式的求解思路 　　解与分段函数有关的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解. 1.已知函数f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝（　　） A.－3　　　B.－1　　　C.1　　　D.3 2.（2024·上海春招9题）已知函数f（x）＝x2，g（x）＝若g（x）满足g（x）≤2－x，则x的取值范围为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　第一节 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第二章函数的概念与性质 第一节函数的概念及其表示 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.(1)非空唯一确定(2)解析法 (3)定义域对应关系 2.不同对应关系 3.复合函数 对点自测诊断 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 2.D3.B4.A5.C 【考点·分类突破】 考点1 +1 【例1】(1)C(2)C解析：(1)要使函数∫(x)=x2+(x-1)0有意义，则 3x-2>0, x-1≠0，解得x>号且x≠1，因此，函数f()的定义域为（导，1DU(1,十®）. 故选C (-8≤2x+1≤1， (2)()的定义域为[-8,1，{x+2≠0， 解得-号≤x≤0，且x≠-2. ∴g(x)的定义域为[-号，-2)U(-2,0]. 跟踪训练 D因为-2x十a>0,所以x<号，所以号=1，所以a=2. 考点2 【例2】解：(1)（换元法）设1-sinx=t,te[0,2], 则sinx=1一t, .'f(1-sinx)=cos2x=1-sin2x, f(t)=1-(1-t)2=2t-2,t∈[0,2]. 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (2)(配凑法)(x+袁)=x2+京=(x+袁)2-2，f(x)=x2-2,x∈(-∞， -2]U[2,+∞). (3)(待定系数法)f(x)是一次函数，可设f(x)=十b(a≠0)， .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax+(5a+b)=2x+17, 独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 2受，com 您身边的互联网+教辅专家 （a=2, ∴{5a+b=17,解得{b=7. f(x)=2x+7. (4)（解方程组法)：2f(x)+f(-x)=3x, ① ∴.将x用-x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x,② 由①②解得f(x)=3x. 跟踪训练 1.2-5x+9解析：法-（换元法）令2+1=t(1∈R),则x=号，所以f()=4 (号)2-6·号+5=P-5+9(t∈R),所以f(x)=x2-5x+9. 法二（配凑法）因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x十4=(2x+1)2-5(2x +1)+9,所以f(x)=x2-5x+9. 2.2x2-x十1解析：设f(x)=ax2+bx十c（a≠0)，因为f(2x)+f(x-1)=10x2-7x +5,所以4ax2+2bx+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=5ax2+(3b-2a)x+a-b+2c=10x2-7x 15a=10, 1a=2, +5,所以 3b-2a=-7, 所以 a-b+2c=5, b=-1,所以∫x)=22-x+1. c=1, 3.-x(x+1) 解析：因为-1≤x≤0，所以0≤x+1≤1，所以∫(x)=扩(x+1)=专(x +1)[1-(x+1)]=-x(x+1).故当-1≤x≤0时，f(x)=-x(x+1). 考点3 【例3】 )号 (2)0解析：(1)根据已知f(-3)=-(-3)-1=青，所以f(f （-》)f)=sm- -2 x-2x>0, (2)因为f()={fx+3),x≤0，所以f(1)=-1,f(-1)=f(-1+3)=f(2) =0,所以f(f(1))=0. 【例4】-32[1-V5,0)U[号，+∞) 解析：由题意得f(-1)=1+2=3,所以f(f(-1))=∫(3)=-3.当a<0时，f(a) =a2-2a=-1,得a=1（舍去)，当a≥0时，f(a)=-2a+3=-1,得a=2,所以若1 (a)=-1,则a=2.当x<0时，由f(x)≤2，得1-V3≤x<0,当x≥0时，由∫(x) ≤2，得x≥寺，故不等式f(x)≤2的解集为[1-3,0)U[片，+∞). 跟踪训练 1.A因为f(1)=21=2,所以f(a)+2=0,所以f(a)=-2,当a≤0时，f(a)=a 十1=-2，解得a=-3;当a>0时，f(a)=2=-2,无解.综上，a=-3. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 （x2x20, 2.（-,1】解析：由已知得8（x)={-x2x<0,当x≥0时，2≤2-x,解得-2≤x ≤1，因此0≤x≤1；当x<0时，一x2≤2-x,不等式恒成立，因此x<0.综上，x的取值范 围为x≤1. ·独家授权侵权必究·