第二章 第四节 函数的对称性及应用（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第四节　函数的对称性及应用 课标要求 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论. 2.会利用对称公式解决问题. 1.函数的对称性 （1）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于　　　对称； （2）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于　　　对称； （3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于　　　　对称. 2.函数自身的对称性 （1）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线　　　　　对称.特别地，当a＝b时，即f（a＋x）＝f（a－x）或f（x）＝f（2a－x）或f（－x）＝f（2a＋x）时，则y＝f（x）的图象关于直线　　　　对称； （2）若函数y＝f（x）满足f（x）＋f（2a－x）＝2b，则y＝f（x）的图象关于点　　　　对称.特别地，当b＝0时，即f（a＋x）＋f（a－x）＝0或f（x）＋f（2a－x）＝0或f（－x）＋f（2a＋x）＝0时，则y＝f（x）的图象关于点　　　　对称. 1.若函数f（x＋a）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称. 2.若函数f（x＋a）是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若函数y＝f（x）是奇函数，则函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称.（　　） （2）函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称.（　　） （3）若函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称.（　　） 2.函数f（x）＝图象的对称中心为（　　） A.（0，0）　 B.（0，1）　 C.（1，0）　 D.（1，1） 3.设函数y＝f（x）定义在R上，则函数y＝f（x－1）与函数y＝f（1－x）的图象关于（　　） A.直线x＝0对称 B.直线y＝0对称 C.直线x＝1对称 D.直线y＝1对称 4.若偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f（x）＝2x－1，则f（－1）＝　　　　. 5.已知函数y＝f（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－x）的图象必过点　　　　. 函数图象自身的轴对称与中心对称的判断 （师生共研过关） （1）（2025·新疆二模）若函数f（x）＝的图象关于点（1，2）对称，则a＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 （2）〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，对任意x都有f（2＋x）＝f（2－x），且f（－x）＝f（x），则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的图象关于直线x＝2对称 B.f（x）的图象关于点（2，0）对称 C.4为f（x）的周期 D.y＝f（x＋4）为偶函数 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 对称轴、对称中心的判断 　　设P0（x0，y0）为y＝f（x）图象上任意一点：（1）若y＝f（x）的图象关于点（a，b）中心对称⇔点P1（2a－x0，2b－y0）在y＝f（x）的图象上； （2）若y＝f（x）的图象关于直线x＝m对称⇔点P2（2m－x0，y0）在y＝f（x）的图象上. 1.（2024·丽水期末）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于（1，0）中心对称，f（2x＋2）是偶函数，则（　　） A.f（0）＝0 B.f（）＝0 C.f（2）＝0 D.f（3）＝0 2.（2025·八省联考）已知曲线C：y＝x3－，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 两个函数图象间的对称 （师生共研过关） 已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象（　　） A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点（3，0）对称 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解题技法 破解两个函数图象间的对称的方法 （1）利用函数y＝f（a＋x）与函数y＝f（b－x）的图象关于直线x＝对称，即可求出对称轴； （2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在题中的应用. 1.与f（x）＝ex关于直线x＝1对称的函数是　　　　. 2.已知函数y＝f（x）－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f（x）共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则（xi＋yi）＝　　　　. 函数对称性的综合应用 （定向精析突破） 考向1　函数的单调性与对称性 （2025·宜宾一模）已知函数f（x）在[2，＋∞）上单调递减且对任意x∈R满足f（1＋x）＝f（3－x），则不等式f（2x－3）＞f（5）的解集是（　　） A.（－∞，1）∪（4，＋∞）　　B.（－∞，4） C.（1，＋∞） D.（1，4） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 　　解决函数对称性与单调性相结合问题的关键是利用对称性判断函数在区间上的单调性.在轴对称函数中，函数在关于对称轴对称的两个单调区间上单调性相反；在中心对称函数中，函数在关于对称中心对称的两个单调区间上单调性相同. 考向2　函数的对称性与周期性 设函数f（x）的定义域为R，f（x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2＋b.若f（0）＋f（3）＝6，则f＝（　　） A.－ B.－ C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 应用对称性与周期性综合解题的技巧 　　函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 1.（2025·渭南第一次质量检测）已知函数f（x）对任意x∈R满足f（1－x）＝f（1＋x），f（x＋2）＝－f（x），且f（0）＝0，则f（26）＝（　　） A. B.0 C. D.1 2.〔多选〕已知定义域为R的函数f（x）在（－1，0]上单调递增，f（1＋x）＝f（1－x），且图象关于（2，0）对称，则（　　） A.f（0）＝f（－2） B.f（x）的周期T＝2 C.f（x）在（2，3）上单调递减 D.f（x）满足f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027） 提示：完成课后作业　第二章　第四节 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四节　函数的对称性及应用 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.（1）x轴　（2）y轴　（3）原点 2.（1）x＝　x＝a　（2）（a，b）　（a，0） 对点自测诊断 1.（1）√　（2）×　（3）√ 2.B　3.C　4.5　5.（－1，2）　 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 （1）D　（2）ACD　解析：（1）f（x）＝＝a＋的图象关于点（1，2）对称，则a＝2.故选D. （2）∵f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（－x）＝f（x＋4），又f（－x）＝f（x），∴f（x＋4）＝f（x），∴4为f（x）的周期，故C正确；∵4为f（x）的周期且f（x）为偶函数，故y＝f（x＋4）为偶函数，故D正确.故选A、C、D. 跟踪训练 1.D　f（x）的图象关于（1，0）中心对称，则f（x）＝－f（－x＋2）①；f（2x＋2）是偶函数，则f（2x＋2）＝f（－2x＋2），则f（x）的图象关于x＝2轴对称，则f（x）＝f（－x＋4）②；令x＝1代入①得，f（1）＝－f（1），解得f（1）＝0，代入②得到f（1）＝f（3）＝0.故选D. 2.2　解析：由于（x，y）和（－x，－y）都符合y＝x3－，x≠0，所以曲线C的图象关于原点对称，当x＞0时，函数y＝x3－单调递增，由此画出曲线C的大致图象如图所示，两条直线l1，l2均过坐标原点O，所以M，N两点关于原点对称，P，Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设M，N，P，Q位置如图，可知｜OP｜＝｜OQ｜，｜OM｜＝｜ON｜，∠POM＝∠QON，所以△OPM≌△OQN，所以S△OQN＝S△OPM＝，而△OQM和△OQN等底等高，面积相同，所以S△OQM＝，所以S△MNQ＝2. 考点2 【例2】 A　设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称. 跟踪训练 1.y＝e2－x　解析：设函数f（x）＝ex的图象上的任意一点（x0，y0）关于直线x＝1对称的点的坐标为（x，y），所以即因为点（x0，y0）在函数f（x）＝ex的图象上，所以y0＝，即y＝e2－x. 2.6　解析：∵y＝f（x）－1为奇函数，∴y＝f（x）的图象关于点（0，1）对称.又y＝1＋的图象关于点（0，1）对称，∴x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋y2＋…＋y6＝3×2＝6，∴（xi＋yi）＝（x1＋x2＋…＋x6）＋（y1＋y2＋…＋y6）＝6. 考点3 【例3】 D　因为f（1＋x）＝f（3－x），所以f（x）的对称轴为x＝2，f（x）在[2，＋∞）上单调递减，则f（x）在（－∞，2）上单调递增，又因为f（2x－3）＞f（5），由对称性可得｜2x－3－2｜＜｜5－2｜，所以｜2x－5｜＜3，－3＜2x－5＜3，1＜x＜4，故选D. 【例4】 D　由于f（x＋1）为奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，即有f（x）＋f（2－x）＝0，所以f（1）＋f（2－1）＝0，得f（1）＝0，即a＋b＝0，①.由于f（x＋2）为偶函数，所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，即有f（x）－f（4－x）＝0，所以f（0）＋f（3）＝－f（2）＋f（1）＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6，②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1，2]时，f（x）＝－2x2＋2.根据函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，且关于点（1，0）对称，可得函数f（x）的周期为4，所以f＝f＝－f＝2×－2＝. 跟踪训练 1.B　f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，由f（1－x）＝f（1＋x），知f（0）＝f（2），则f（26）＝f（4×6＋2）＝f（2）＝f（0）＝0. 2.AC　由f（1＋x）＝f（1－x），可得f（x）图象的对称轴方程为x＝1，所以f（0）＝f（2），又由f（1＋x）＝f（1－x），可知f（2＋x）＝f（－x）.因为函数f（x）的图象关于（2，0）对称，即f（2＋x）＝－f（2－x），故f（4＋x）＝－f（－x），所以－f（2＋x）＝f（4＋x），即－f（x）＝f（2＋x），所以f（x）＝f（x＋4），所以f（x）的周期为4，所以f（－2）＝f（2），所以f（0）＝f（－2），故A正确，B错误.因为f（x）在（－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f（x）在（3，4]上单调递增，又f（x）的图象关于（2，0）对称，所以f（x）在[0，1）上单调递增，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）在（1，2]上单调递减，则函数f（x）在（2，3）上单调递减，故C正确.根据f（x）的周期为4，可得f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（2），f（2 027）＝f（3），因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（2）＝f（0）且f（3）＝f（－1），即f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（0），f（2 027）＝f（－1），由C选项的分析可知，函数f（x）在[0，1）上单调递增，在（－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f（－1）＝f（1）＝0，则f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027）不成立，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $