第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第三节　函数的奇偶性与周期性 课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有　　　　∈D 且f（－x）＝　　　，那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝　　　，那么函数f（x）就叫做奇函数 图象 特征 关于　　　　对称 关于　　　　对称 提醒 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称. 2.函数的周期性 （1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且　　　　　　　　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个　　　　的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 1.函数奇偶性常用结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数.（　　） （2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　　） （3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（　　） 2.（人A必修一P84例6改编）下列函数是奇函数的是（　　） A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝ln ｜x｜ D.y＝2－x 3.（苏教必修一P127习题5题改编）已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　） A.－ B. C. D.－ 4.（人A必修一P203练习4题改编）已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋4，则f（2 026）＝　　　　. 5.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－3）＝　　　　. 函数奇偶性的判断 （师生共研过关） 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝＋； （2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜； （3）f（x）＝； （4）f（x）＝ 解题技法 函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 （2）图象法 （3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函数f（x）是奇函数. 1.（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 2.设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在（，＋∞）上单调递增 B.是奇函数，且在（－，）上单调递减 C.是偶函数，且在（－∞，－）上单调递增 D.是奇函数，且在（－∞，－）上单调递减 函数奇偶性的应用 （定向精析突破） 考向1　利用函数奇偶性求值（解析式） （1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－）＋f（4）＝（　　） A.－＋2 B.1 C.＋2 D.3 （2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x－2x＋a，则a＝　　　　；当x＜0时，f（x）＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 函数奇偶性的应用类型及解题策略 （1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式（组），从而得到f（x）的解析式； （2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； （3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解. 考向2　利用函数奇偶性解不等式 （2025·朔州高三阶段练习）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋2）.若f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，则m的取值范围为（　　） A.（－∞，0） B.（0，＋∞） C.（－∞，1） D.（1，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解题技法 利用函数的奇偶性解不等式的解题策略 　　利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f（x）＝f（｜x｜），将问题转化到区间[0，＋∞）上求解. 1.（2024·开封第二次质量检测）若函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝（　　） A.0 B.－1 C.1 D.±1 2.已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等式xf（x－2）＞0的解集为（　　） A.（1，3） B.（3，＋∞） C.（－3，－1）∪（3，＋∞） D.（0，1）∪（3，＋∞） 函数的周期性 （师生共研过关） （1）已知定义在R上的函数f（x）满足对任意x都有f（x＋2）＝，且f（2）＝2，则f（2 026）＝　　　　； （2）已知偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝cos x，则x∈[2 025，2 026]时，f（x）＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 函数周期性的判定与应用 （1）判定：判断函数为周期函数只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题； （2）应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期. 1.定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，则下列是周期函数的是（　　） A.y＝f（x）－x B.y＝f（x）＋x C.y＝f（x）－2x D.y＝f（x）＋2x 2.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有　　　　个. 提示：完成课后作业　第二章　第三节 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三节　函数的奇偶性与周期性 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.－x　f（x）　－f（x）　y轴　原点 2.（1）f（x＋T）＝f（x）　（2）最小 对点自测诊断 1.（1）×　（2）×　（3）√ 2.A　3.B　4.5　5.－7 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 解：（1）f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称. 又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0， 所以f（x）既是奇函数又是偶函数. （2）f（x）的定义域为R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜＝｜x－1｜－｜x＋1｜＝－f（x）， 所以函数f（x）为奇函数. （3）由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2＞0， 所以f（x）＝，定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称. 又f（－x）＝＝－＝－f（x）， 所以函数f（x）是奇函数. （4）法一（图象法） 画出函数f（x）＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数. 法二（定义法） 易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数. 法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数. 跟踪训练 1.B　法一 对于A，f（－x）＝＝≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－x）＝＝＝－＝－f（x），故f（x）是奇函数.故选B. 法二（特殊值法） 对于A，f（1）＝＝，f（－1）＝＝，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（π）＝＝，f（－π）＝＝，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B. 法三（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B. 2.D　f（x）的定义域为{x｜x≠±}，f（－x）＝ln｜－2x＋1｜－ln｜－2x－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），则f（x）为奇函数.当x∈（－，）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x）单调递增；当x∈（－∞，－）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（－2x＋1）＝ln（）＝ln（1＋）单调递减.故选D. 考点2 【例2】 （1）C　（2）－1　－2－x－2x＋1　解析：（1）因为函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，所以f（－）＝f（）＝2sin＝.又因为当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，所以f（4）＝log24＝2，所以f（－）＋f（4）＝＋2. （2）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f（x）＝2x－2x－1，设x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）为奇函数，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1. 【例3】 D　当x≥0时，f（x）的对称轴为x＝－1，故f（x）在[0，＋∞）上单调递增.函数在x＝0处连续，又f（x）是定义域为R的奇函数，故f（x）在R上是增函数.因为f（－x）＝－f（x），由f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，可得f（3＋m）＞f（7－3m），又因为f（x）在R上是增函数，所以3＋m＞7－3m，解得m＞1.故选D. 跟踪训练 1.C　法一（定义法） 因为函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C. 法二（特殊值法） 因为函数f（x）是奇函数，所以f（－1）＝－f（1），即－a2－1＝－（1＋a），解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C. 2.D　偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0，1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）. 考点3 【例4】 （1）2　（2）－cos x　解析：（1）因为f（x＋2）＝，所以f（x＋4）＝＝＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f（2 026）＝f（4×506＋2）＝f（2）＝2. （2）因为f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期为2.设x∈[2 025，2 026]，则x－2 026∈[－1，0]，因此2 026－x∈[0，1]，因为当x∈[0，1]时，f（x）＝cos x，所以f（2 026－x）＝cos［（2 026－x）］＝cos（1 013π－x）＝－cosx，又因为函数f（x）的周期为2，且为偶函数，所以f（2 026－x）＝f（－x）＝f（x），故当x∈[2 025，2 026]时，f（x）＝－cos x. 跟踪训练 1.D　依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是周期为1的周期函数. 2.5　解析：当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f（4）＝f（2）＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点. 学科网（北京）股份有限公司 $