第二章 第二节 函数的单调性与最值（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

第二节　函数的单调性与最值 课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义. 3.掌握函数单调性的简单应用. 1.函数的单调性 （1）单调性的定义 定 义 要求 x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　　　x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求 f（x1）与 f（x2） 都有　　　　 都有　　　　 结论 函数f（x）在区间I上　　　　　；若函数f（x）在定义域D上单调递增时，则称f（x）为增函数 函数f（x）在区间I上　　　；若函数f（x）在定义域D上单调递减时，则称f（x）为减函数 图象描述 自左向右看图象是　　　 自左向右看图象是　　　 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上　　　　　　或　　　　　　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　　　　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒 （1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有　　　　； ②∃x0∈D，使得　　　 ①∀x∈D，都有　　　　； ②∃x0∈D，使得　　　 结论 M是函数y＝f（x）的　　　　值 M是函数y＝f（x）的　　　　值 提醒 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 1.函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则： （1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在I上单调递增； （2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在I上单调递减. 2.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. 3.对于复合函数y＝f（g（x）），若u＝g（x）在（a，b）上是单调函数，并且y＝f（u）在（g（a），g（b））或（g（b），g（a））上也是单调函数，则y＝f（g（x））在（a，b）上的单调性为“同增异减”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝在定义域内单调递减.（　　） （2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（　　） （3）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞）.（　　） （4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（　　） 2.下列函数中是增函数的为（　　） A.f（x）＝－x B.f（x）＝ C.f（x）＝x2 D.f（x）＝ 3.（人A必修一P81例5改编）函数y＝在区间[3，5]上的最小值为a，最大值为b，则a－b＝　　　　. 4.（人A必修一P86习题7（1）题改编）函数y＝的单调递减区间是　　　　. 5.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，b∈[0，＋∞），总有＞0，则满足f（2x－3）＜f（1）的实数x的取值范围是　　　　. 函数的单调性 （定向精析突破） 考向1　函数单调性的判断或证明 试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性. 解题技法 定义法证明或判断函数单调性的步骤 提醒　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等. 考向2　求函数的单调区间 求函数f（x）＝｜4－x｜·（x－1）的单调区间. 解题技法 确定函数的单调区间的方法 1.已知函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，则函数g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间为（　　） A.（－2，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，2） D.（－∞，－2） 2.已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性，并证明. 函数单调性的应用 （定向精析突破） 考向1　比较函数值的大小 已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f（－），b＝f（2），c＝f（e）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 利用单调性比较函数值大小的方法 　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小. 考向2　解不等式 已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 考向3　求参数的值（范围） 已知函数f（x）＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解题技法 利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 1.已知函数f（x）＝（t＞0）是区间（0，＋∞）上的增函数，则实数t的取值范围是（　　） A.{1} B.（0，＋∞） C.（1，＋∞） D.[1，＋∞） 2.设函数f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，a∈R，则（　　） A.f（a）＞f（2a） B.f（a2）＜f（a） C.f（a2＋a）＜f（2a） D.f（a2＋1）＜f（a） 函数的值域（最值） （师生共研过关） 求下列函数的最值： （1）f（x）＝，x∈[1，4]； （2）f（x）＝2x2－. 解题技法 求函数最值（值域）的五种常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求出最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 1.已知函数f（x）＝（a＞0）在区间[2，6]上的最大值为5，则a＝（　　） A.2 B.3 C.15 D.3或15 2.函数f（x）＝的最大值为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　第二节 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二节　函数的单调性与最值 【知识·逐点夯实】 知识梳理夯基 1.（1）∀　f（x1）＜f（x2）　f（x1）＞f（x2）　单调递增　单调递减　上升的　下降的　（2）单调递增　单调递减　区间I 2.f（x）≤M　f（x0）＝M　f（x）≥M　f（x0）＝M　最大　最小 对点自测诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 2.D　3.－2　　4.（－∞，－2]　5.（1，2） 【考点·分类突破】 考点1 【例1】 解：设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a·＝a（1＋）， 则f（x1）－f（x2）＝a（1＋）－a（1＋）＝. 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2）， 函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增. 【例2】 解：f（x）＝｜4－x｜·（x－1）＝ 作出函数y＝f（x）的图象如图所示， 根据图象可知其单调递增区间为（－∞，），（4，＋∞），单调递减区间为（，4）. 跟踪训练 1.C　由函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，可知a＜0，所以函数g（x）＝a（x2－4x＋3）图象开口向下，对称轴为直线x＝2，因此g（x）在（－∞，2）上单调递增，故选C. 2.解：函数f（x）＝在（－1，1）上为增函数. 证明如下：设－1＜x1＜x2＜1， 则f（x1）－f（x2）＝－ ＝， 又－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0， 则有f（x1）－f（x2）＜0， 故f（x）在（－1，1）上为增函数. 考点2 【例3】 D　∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－）＝f（）.又∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减.∵2＜＜e，∴f（2）＞f（）＞f（e），∴b＞a＞c. 【例4】 （－，－2）∪（2，）　解析：因为函数f（x）＝ln x＋2x在定义域（0，＋∞）上为增函数，且f（1）＝ln 1＋2＝2，所以由f（a2－4）＜2得，f（a2－4）＜f（1），所以0＜a2－4＜1，解得－＜a＜－2或2＜a＜. 【例5】 （1，3]　解析：由分段函数解析式知：f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，在[－1，1]上单调递增，由f（x）在[－1，a－2]上单调递增，得－1＜a－2≤1，即a∈（1，3]. 跟踪训练 1.D　∵f（x）＝（t＞0）是区间（0，＋∞）上的增函数，∴∴t≥1. 2.D　∵a2＋1－a＝（a－）2＋＞0，∴a2＋1＞a，又∵f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，∴f（a2＋1）＜f（a），故选D. 考点3 【例6】 解：（1）∵f（x）＝＝＝2－，x∈[1，4]，∴f（x）在[1，4]上单调递增，∴函数的最小值为f（1）＝，最大值为f（4）＝. （2）令＝t，t≥1，则x2＝t2－1， ∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）. ∵y＝2t2－t－2（t≥1）的图象的对称轴为直线t＝，∴当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的，∴ymin＝2×12－1－2＝－1，∴函数f（x）的最小值为－1，无最大值. 跟踪训练 1.B　f（x）＝＝＝2＋.因为a＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[2，6]上的最大值为f（2）＝2＋＝2＋a＝5，解得a＝3. 2.2　解析：作出函数f（x）＝的图象（如图所示），由函数图象可知，f（x）max＝f（0）＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $