第八章 第十节 圆锥曲线中的定点、定值问题（复习讲义）-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习学用word

该高中数学高考复习资料聚焦圆锥曲线中的定点、定值问题核心考点，按直接推理法、先找后证法、参数法、从特殊到一般法的逻辑架构梳理知识，通过考点解读、方法归纳、真题精讲、分层训练的教学流程，帮助学生构建解题思路，突破高考高频难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用“方法归类+真题溯源”教学策略，如先找后证法中引导学生从特殊位置探测定点再严谨证明，培养逻辑推理能力。设置师生共研、分层练习环节，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第十节　圆锥曲线中的定点、定值问题 【考点·分类突破】 技法1 【例1】 解：（1）设P（x，y），易得x≠±2，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为，则·＝－， 整理得＋＝1，则曲线E方程为＋＝1（x≠±2）. （2）证明：由题意可设直线AB的方程为y＝k（x－1）（k≠0），M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）， 因为M分别是AB的中点，所以x1＝，y1＝，kOM＝＝，k＝， 因为A，B在椭圆＋＝1上， 所以 由①－②，得 ＋＝0， 即＝－，于是有·＝－， 所以kOM·kAB＝－⇒·k＝－， 解得 所以M（，）. 因为k≠0，将上式M点坐标中的k换成－， 同理可得N（，）. （ⅰ）当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率kMN＝＝， 其方程为y－＝（x－），化简得y＝（x－）， 所以直线MN过定点（ ，0）. （ⅱ）当直线MN垂直于x轴时，＝，此时，k＝±1，直线MN也过定点（，0）. 综上所述，直线MN过定点（，0）. 跟踪训练 解：（1）由题意得，点A的纵坐标为2， 代入x2＋y2＝5中，解得x＝1（x＝－1舍去）， ∴A（1，2）， 代入y2＝2px中，得4＝2p，解得p＝2，∴抛物线C：y2＝4x，∴P（－1，0），∴｜PA｜＝＝2， 则以线段PA为直径的圆的方程为x2＋（y－1）2＝2. （2）根据题意作图，如图，显然直线MN与x轴不平行，设直线MN的方程为x＝my＋n， 由消去x得关于y的二次方程y2－4my－4n＝0，Δ＝16m2＋16n＞0. 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n. ∵MB⊥BN，且M，N是抛物线上异于B的不同两点，∴x1，x2≠1，kMB·kNB＝－1 易知B（1，－2），则kMB＝＝＝，同理得kNB＝，∴·＝－1， ∴（y1－2）（y2－2）＋16＝0，即y1y2－2（y1＋y2）＋20＝0，∴－4n－8m＋20＝0，即n＝－2m＋5， ∴x＝my＋n＝my－2m＋5＝m（y－2）＋5，∴直线MN过定点（5，2）. 技法2 【例2】 解：（1） 由题意，e＝＝，e2＝＝，所以a＝b，c＝b. 又＝，a＞b≥1，所以b＝1，a2＝2，故椭圆C的方程为＋x2＝1. （2）当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为（x－）2＋y2＝， 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.可得两圆交点为Q（－1，0）. 由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（－1，0）. 下证Q（－1，0）符合题意. 设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y＝k（x－）， 代入＋x2＝1，并整理得（k2＋2）x2－k2x＋k2－2＝0，Δ＝k2＋16＞0恒成立. 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝， x1x2＝， 所以·＝（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2＝x1x2＋x1＋x2＋1＋k2（x1－）（x2－）＝（1＋k2）x1x2＋（1－k2）（x1＋x2）＋1＋k2＝（1＋k2）＋（1－k2）＋1＋k2＝0， 故⊥，即Q（－1，0）在以AB为直径的圆上. 综上，以AB为直径的圆恒过定点（－1，0）. 跟踪训练 解：（1）因为｜MF1｜－｜MF2｜＝±2，所以｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2＜2＝｜F1F2｜，　 由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中c＝，a＝1， 所以b＝＝，又焦点在x轴上， 所以曲线C的方程为x2－＝1. （2）证明：若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为y＝±（x－1）， 联立x2－＝1求解可得x＝－3，直线PQ过点（－3，0）. 当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 代入x2－＝1，整理得（k2－2）x2＋2kmx＋m2＋2＝0，易知Δ＞0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 因为AP⊥AQ，所以·＝（x1－1，y1）·（x2－1，y2）＝（x1－1）（x2－1）＋y1y2 ＝（k2＋1）x1x2＋（km－1）（x1＋x2）＋m2＋1 ＝＋＋m2＋1＝0， 整理得3k2＋2km－m2＝（3k－m）（k＋m）＝0， 解得m＝3k或m＝－k， 因为点P和Q都异于点A，所以m＝－k不满足题意， 故m＝3k，代入y＝kx＋m，得y＝k（x＋3），过定点（－3，0）. 综上，直线PQ过定点（－3，0）. 技法3 【例3】 解：（1）依题意可知e＝＝，由于k1＝1，则直线MN的方程为x－y－1＝0， 因为点A1到直线MN的距离为.所以 ＝，解得a＝2， 所以c＝，则b＝＝1，所以椭圆E的标准方程＋y2＝1. （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（－x1，－y1），直线MN的方程为x＝my＋1.此时k1＝. 联立直线与椭圆方程消去x得（m2＋4）y2＋2my－3＝0， 则有y1＋y2＝，y1y2＝. 不妨设Q（x0，y0），因为A2，N，Q三点共线，则＝，所以＝，因为A1，P，Q三点共线，则＝则有＝， 所以＝＝＝m－，＝＝＝m－， ＝2m－（＋）＝2m－＝， 所以＝，所以k2＝，所以k2＝k1，所以＝. 跟踪训练 解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为c，且椭圆C的右焦点为（c，0）， 由题意得解得c＝1，a2＝3，b2＝2，所以C的方程为＋＝1. （2）证明：设l的方程为x＝m（y＋2）＋2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），则直线PA的方程为x＝y＋3， 由可得[2（x1－3）2＋3]y2＋12（x1－3）y1y＋12＝0， 结合＋＝1，可得（2－x1）y2＋（x1－3）y1y＋＝0， 可得y1·y3＝，解得y3＝， 代入x＝·y＋3， 解得x3＝·＋3＝＋2， 同理可得y4＝，x4＝＋2， 故kMN＝＝ ＝ ＝ ＝＝2. 故直线MN的斜率是定值，且定值为2. 技法4 【例4】 解：（1）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0，0）. ∵＝， ∴（x－x0，y）＝（0，y0），∴x0＝x，y0＝. 又点M在椭圆上，∴＋＝1， 即＋＝1. ∴点P的轨迹E的方程为＋＝1. （2）证明：由（1）知F为椭圆＋＝1的右焦点， 当直线l1与x轴重合时， ｜AB｜＝6，｜CD｜＝＝， ∴＋＝. 当直线l1与x轴垂直时，｜AB｜＝，｜CD｜＝6， ∴＋＝. 当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k（x－1）（k≠0）， 则直线l2的方程为y＝－（x－1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立消去y，得（8＋9k2）x2－18k2x＋9k2－72＝0， 则Δ＝（－18k2）2－4（8＋9k2）（9k2－72）＝2 304（k2＋1）＞0，x1＋x2＝，x1x2＝， ∴｜AB｜＝ ·＝. 同理可得｜CD｜＝. ∴＋＝＋＝. 综上可得＋为定值. 跟踪训练 解：（1）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0， 则动点P（x0，y0）到两条渐近线l1，l2的距离之积为·＝＝， 则＝，又2c＝2，即c2＝a2＋b2＝5， 解得a＝2，b＝1，则双曲线的方程为－y2＝1. （2）证明：当直线l的斜率不存在时，可得直线方程为x＝2，易知△OMN的面积为2， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， 与双曲线的方程x2－4y2＝4联立，可得（4k2－1）x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， 直线与双曲线的右支相切，可得Δ＝（8km）2－4（4k2－1）·（4m2＋4）＝0，可得4k2＝m2＋1， 设直线l与x轴交于D，则D（－，0）， S△MON＝S△MOD＋S△NOD＝｜OD｜｜yM－yN｜＝｜－｜·｜k｜·｜xM－xN｜， 又双曲线的渐近线方程为y＝±x， 联立可得M（，）， 同理可得N（－，）， 则S△MON＝｜｜·｜k｜·｜＋｜＝｜｜·｜k｜·｜｜＝＝2. 即△MON面积为定值2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十节　圆锥曲线中的定点、定值问题 重点解读 1.处理圆锥曲线中定点问题的方法：（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋m，然后利用条件建立关于k，m的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 2.处理圆锥曲线中定值问题的方法：（1）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值；（2）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. 直接推理法求定点 （师生共研过关） （2025·上饶一模）已知点A（－2，0），B（2，0），动点P满足直线PA与PB的斜率之积为－，记动点P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）过点F（1，0）与曲线E相交的两条线段AB和CD相互垂直（斜率存在，且A，B，C，D在曲线E上），M、N分别是AB和CD的中点.求证：直线MN过定点. 解题技法 直接推理法求定点的一般步骤 （2025·宿州灵璧中学开学考试）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与x2＋y2＝5交于A，B两点，其中点A在第一象限，且｜AB｜＝4，抛物线C的准线l与x轴交于点P. （1）求以线段PA为直径的圆的方程； （2）若M，N在抛物线C上，且MB⊥BN，探究直线MN是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 先找后证法求定点 （师生共研过关） 已知椭圆C：＋＝1（a＞b≥1）的离心率为，上焦点到直线bx＋2ay－＝0的距离为. （1）求椭圆C的方程； （2）过点P（，0）的直线l交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由. 解题技法 先找后证法求定点的一般思路 （1）先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时； （2）以曲线上的点为参数，设点P（x1，y1），利用点在曲线f（x，y）＝0上，即f（x1，y1）＝0消参. 平面直角坐标系xOy中，点F1（－，0），F2（，0），点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝±2，点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点. 参数法求定值 （师生共研过关） （2024·南昌一模）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右两顶点分别为A1，A2，过点C（1，0）作斜率为k1（k1≠0）的动直线与椭圆E相交于M，N两点.当k1＝1时，点A1到直线MN的距离为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）设点M关于原点的对称点为P，设直线A1P与直线A2N相交于点Q，设直线OQ的斜率为k2，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由. 解题技法 参数法解决圆锥曲线中定值问题的一般步骤 （2024·赣州模拟）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点（1，），椭圆C的右焦点与点Q（2，－2）所在直线的斜率为－2. （1）求椭圆C的方程； （2）若过Q的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P（3，0）.直线PA，PB分别交椭圆C于点M，N，求证：直线MN的斜率为定值. 从特殊到一般求定值 （师生共研过关） 设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝. （1）求点P的轨迹E的方程； （2）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值. 解题技法 从特殊到一般求定值的常用处理技巧 （1）研究特殊情形，如直线斜率不存在等，得到所要探求的定值； （2）探究一般情形； （3）综合上面两种情形下结论. 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线C右支上一动点P（x0，y0）到两条渐近线l1，l2的距离之积为. （1）求双曲线C的方程； （2）设直线l是曲线C在点P（x0，y0）处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M，N两点，O为坐标原点，证明：△MON面积为定值，并求出该定值. 提示：完成课后作业　第八章　第十节 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $