精品解析：江苏省南通市通州区等2地2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

20252026学年（上）初二期中学业水平质量监测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点和点关于y轴对称，则的值是（ ） A. 1 B. C. 7 D. 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 6. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 7. 如图，在中，，，，则是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6 9. 在平面直角坐标系中，，，，，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或2 10. 如图，点D，E分别是的边上的点，，与交于点，若为的中点，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，第11－12题每小题3分，第13－16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：_______． 12. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 13. 一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是__________cm． 14. 已知，则的值为_______． 15. 如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为__________． 16. 在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，点满足，． （1）若且点B在第一象限，则点B的坐标为__________； （2）若点B在y轴右侧，则线段的最小值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 20. 如图，，，的垂直平分线交于点D．求的度数． 21. 已知． （1）_________，_________（用含的式子表示）； （2）求的值． 22. 求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 23. 已知是等边三角形． （1）用直尺和圆规作的角平分线，，与交于点O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）过点C画直线，垂足为C，交射线于点； （3）求证是等边三角形． 24. 【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小越大． ①，，，； ②，，，． 【验证】（1）设两个数分别为和，其中a为定值，．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题： ①用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积； ②求的最大值． 25. 如图，是等腰直角三角形，，点E是边上一点，过点B作于点D，交延长线于点F． （1）求证； （2）连接，求的度数； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20252026学年（上）初二期中学业水平质量监测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，需逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：∵选项A：，∴A错误； ∵选项B：，∴B错误； ∵选项C：，∴C错误； ∵选项D：，∴D正确． 故选：D． 3. 已知点和点关于y轴对称，则的值是（ ） A. 1 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的两个点的特征，根据平面直角坐标系中的点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可得到结果． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴，且， ∴． 故选：C． 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．根据全等的性质得到，然后根据等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 5. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在的垂线上取两点C、D，使，再作出的垂线，可以证明，得，因此，测得的长，就得出的长，判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 根据对顶角相等得，再根据可判定两个三角形全等． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 6. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 7. 如图，在中，，，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及角度的和差关系．设，根据得出，再根据得出，，同理由得到，，最后得出关于的和差关系，列出方程求得α的值即为的度数． 【详解】解：设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得，即． 故选：C． 8. 已知，，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，多项式乘多项式．直接展开表达式 ，并代入已知条件和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， 故选：B 9. 在平面直角坐标系中，，，，，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】考查一元二次方程的解法、解的范围验证．解题关键：正确求解方程后，结合题干给定的筛选有效解；易错点：忽略解的范围限制，漏判部分解的有效性． 首先按常规方法（如因式分解、公式法）求解原一元二次方程，得到解和；其次对照题干条件，验证两个解均在范围内；最后确定两个解均有效，最终对应答案C． 【详解】∵，，，且， ∴由距离公式： ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得， ∴或． 经检验，两者均满足条件． 故答案为1或． 故选：C． 10. 如图，点D，E分别是的边上的点，，与交于点，若为的中点，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理， 先作，可得，，再根据，可得，，然后代入比例式可得答案． 【详解】解：过点E作，交于点G， ∴，． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，第11－12题每小题3分，第13－16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故填：． 【点睛】本题考查了单项式的乘法，单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 12. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 因为已知等腰三角形的两边长，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为 3 和6，分两种情况： 当 3 为底时，其它两边都为6，而、6、6可以构成三角形，周长为； 当 3 为腰时，其它两边为 3 和，所以不能构成三角形，故舍去， 所以等腰三角形的两边长分别为 3 和6，其周长为 15． 故答案为：15． 13. 一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是__________cm． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用， 设原正方形边长为，根据面积增加量列方程，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：设原正方形边长为，则原面积为，新边长为，根据题意，， 即， 解得． 所以正方形的边长是． 故答案为：3． 14. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式． 将化为，然后代入已知条件计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 如图，是边长为2的等边三角形，点是延长线上一点，在右侧作等边，连接，若，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】考查等边三角形的性质、全等三角形的判定（）与性质．解题关键是利用等边三角形的边、角条件，通过“角的和差”构造全等三角形的对应角，进而证明全等实现线段转化；易错点是混淆全等三角形的对应边、对应角，或遗漏角的和差推导步骤． 先根据等边三角形的性质，得到、及；再通过角的和差关系，推出，满足全等条件；然后证明，利用全等对应边相等得；最后结合的线段和关系，代入已知长度计算出． 【详解】已知和均为等边三角形，因此： ，； ． 由，可得： ． 在和中： ， ． ． 又；，且，因此： 结合，得． 故答案为：5． 16. 在平面直角坐标系中，点，点是轴上一点，点满足，． （1）若且点B在第一象限，则点B的坐标为__________； （2）若点B在y轴右侧，则线段的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质． （1）作轴于点，作于点，证明，据此求解即可； （2）判断点B在直线上运动，当垂直于直线时，线段有最小值为5． 【详解】解：（1）作轴于点，作于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为； 故答案为：； （2）同（1）点B的横坐标为5， ∴点B在直线上运动， 当垂直于直线时，线段有最小值，最小值为5， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （）先进行积的乘方运算，然后进行单项式的除法即可得到结果； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开计算，再合并同类项即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】考查完全平方公式、平方差公式的展开及代数式化简求值．解题关键是准确运用公式展开整式，化简后再代入数值计算；易错点是公式展开时符号错误（如平方差公式中漏写负号），或代入数值时符号、分数运算出错． 首先先利用完全平方公式展开，利用平方差公式展开；其次去括号后合并同类项，将原式化简为最简形式；最后把、代入化简结果，按先乘除后加减的顺序计算出最终值． 【详解】原式 将，代入化简结果： 原式 19. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】略 20. 如图，，，的垂直平分线交于点D．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线性质的应用及等腰三角形的性质，先利用等腰三角形的性质求的度数，再根据线段垂直平分线的性质求的度数，最后通过角的和差关系求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 21. 已知． （1）_________，_________（用含的式子表示）； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法法则和完全平方公式的变形应用． （1）左边多项式展开后，根据等式两边同类项系数相等，直接比较x的一次项系数和常数项，得到和的表达式； （2）利用完全平方公式，将（1）中得到的和代入计算，化简后得出结果． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴， 则， 即的值为4． 22. 求证：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先写出已知、求证，根据角平分线的定义得到∠POE=∠POF，由垂直的定义得∠PEO=∠PFO=90°，易证得△PEO≌△PFO，根据三角形全等的性质即可得到PE=PF． 【详解】已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． 求证：PE=PF 证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠POE=∠POF， ∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ∴∠PEO=∠PFO=90°， 又∵OP=OP， ∴△PEO≌△PFO， ∴PE=PF 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质． 23. 已知是等边三角形． （1）用直尺和圆规作的角平分线，，与交于点O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）过点C画直线，垂足为C，交射线于点； （3）求证是等边三角形． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-复杂作图及等边三角形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）分别以点B，C为圆心，任意长为半径画弧，交，和上，再分别以上述交点为圆心，任意长度为半径画弧，此时形成弧的交点，过B作射线交于点E，过C作射线交于点D，与交于点O，角平分线，即为所求； （2）延长，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点，再以这两点为圆心，大于该圆心至点C的的长度为半径画弧，此时两弧交于一点，连接点C到该点并延长至交于点F，即为所求； （3）先利用等边三角形的性质得，再根据角平分线定义得到，则根据三角形外角性质可计算出，紧接着利用互余计算出，然后根据等边三角形的判定方法可判断是等边三角形． 【小问1详解】 解：如图所示为所求：角平分线，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示为所求： 【小问3详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 24. 【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小越大． ①，，，； ②，，，． 【验证】（1）设两个数分别为和，其中a为定值，．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题： ①用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积； ②求的最大值． 【答案】（1）见详解；（2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，不等式的应用及实际问题与数学建模的思想． （1）设两数为和为定值的对称形式、，用整式乘法展开乘积，分析参数b对乘积的影响：b越大，乘积越小，b越小，乘积越大，得出规律：两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大； （2）①长方形周长固定，长+宽为定值，应用规律：长=宽（差为0）时面积最大，计算可得出最大面积；②将目标式子调整为两数乘积，通过乘以系数使两数和为定值，找到两数和为定值时的相等情况（差为0），解得变量值，最终通过计算得出最大值． 【详解】解：（1）设两个数分别为和，其中a为定值，， ∴两数之和（定值），两数之积， 当时，随b增大而增大， ∴随b增大而减小， ∴b越小乘积越大； 当时，乘积最大（两数相等）， 即两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大． （2）①∵长方形的周长为20m， ∴长+宽，此时为定值， 根据规律，当长和宽相等时，此时差的绝对值为0，面积最大， ∴长=宽，此时最大面积为：； ②设两数为，， ∴，此时为定值， 根据规律可得，当时，最大， 由得，，解得， 此时， ∴，即， ∴的最大值为． 25. 如图，是等腰直角三角形，，点E是边上一点，过点B作于点D，交延长线于点F． （1）求证； （2）连接，求的度数； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质， 对于（1），直接根据“角边角”证明； 对于（2），在上取点G，使，作，先根据“角角边”证明，再根据“斜边直角边”证明，即可得出答案； 对于（3），在上取一点I，使，先证明，可得，进而得出，再根据三角形外角的性质得，再直角三角形的两个锐角互余得，则此题可解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，在上取点G，使，过点C作， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，在上取一点I，使， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， 解得． 在中，， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $