精品解析：山东省济南市莱芜区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题

莱芜区2025-2026学年度第一学期期中考试八年级数学试题 本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，可化简，不属于最简二次根式； B．被开方数3是质数，不含有能开得尽方的因式，属于最简二次根式； C．，被开方数含分母，不属于最简二次根式； D．被开方数含分母，不属于最简二次根式； 故选：B． 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形对角相等作答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则． 故选：C． 3. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 4. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：A． 5. 如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（ ） A. 8米 B. 20米 C. 25米 D. 32米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故选：D． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 7. 实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根. 先根据数轴得到，，则，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知道，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 8. 如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质. 根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可证得结论． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长为， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：C． 9. 如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，已知，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理． 根据四边形是矩形，得，而沿着过点A的直线折叠，使点D落在边上，落点为E，有，，在中，，可得，设，则，在中可得，即可解得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿着过点A的直线折叠，使点D落在边上，落点为E， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为16，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值16；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定①正确； 连接，由四边形是矩形，得，再证，得，则，即可判定②正确； 证明，，从而得，即可判定③正确； 根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定④错误． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值， 故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义得到，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 12. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再由这个多边形的外角和为以及题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为6， 故答案为：6． 13. 已知，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 14. 图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由菱形的性质可知是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ∴是的中点， 在中，， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ． ，分别为、的中点， 是的中位线， ． 当时，，最小，即得到最小值，如图： ， ， ， ． ， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂． 先计算二次根式的乘除，并计算零指数幂，再化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图所示，在中，，，垂足分别为，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂线的定义，全等三角形的判定与性质．由四边形是平行四边形，得到，继而证明，利用，易证得，然后由全等三角形的性质，证得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形的对角线、相交于点， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的判定即可判定四边形是矩形． 【详解】略 19. 已知，． （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）6 （2）24 【解析】 【分析】本题考查的是平方差公式、完全平方公式和二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）将a和b的值代入并结合平方差公式进行计算即可； （2）先运用完全平方公式变形，再将a、b和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：由题意得， ． 20. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的判定． 根据点、分别是、的中点，得到，，，从而证得，得到，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， ，是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 21. 已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】（1）这个多边形的边数为7． （2）截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，外角和定理列出方程，求解即可； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1，三种情况，依据多边形的内角和公式求解即可． 【小问1详解】 设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． 【小问2详解】 剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 22. 观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： （1）__________； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：原式 ． 23. 如图，是的角平分线，过点作，交于点，作，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判断和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定证明，即可得证； （2）过点作，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，再根据菱形的性质可得，根据即可得解． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ． 24. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， ， 即， ， ， 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）_____，_____； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）分母有理化即可求解； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：； ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴． 25. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）观察猜想 如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系为：_____； ②、、之间的数量关系为：_____；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点在线段的延长线上时，、、之间有怎样的数量关系？并写出证明过程； （3）拓展延伸 如图3，当点在线段的延长线上时，延长交于点；连接，若已知，，，求的长． 【答案】（1）①垂直；② （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，证出，由全等三角形的性质和余角的关系进而得到结论；②由全等三角形的性质得到，进而得出结论； （2）推出，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论． （3）过作于，于，证，得出为等腰直角三角形，，证，推出，，推出，，推出，再由勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：①（或填“垂直”） ∵正方形中，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； ②． 由①得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：． 在正方形中，，， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， 【小问3详解】 解：过点作于点，于点， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在正方形中，，， ， ， 在与中 ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ，， ，， ， 又， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理得． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识；本题综合性强，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱芜区2025-2026学年度第一学期期中考试八年级数学试题 本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效． 本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 选择题部分共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 一个正六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 4. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，、两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，并且测出的长为16米，则、间的距离为（ ） A. 8米 B. 20米 C. 25米 D. 32米 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为12，则的周长为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 28 9. 如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，已知，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 10. 如图，正方形的边长为16，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值16；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 非选择题部分共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是______． 12. 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，边数为_________． 13. 已知，则______________． 14. 图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为_____． 15. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 如图所示，在中，，，垂足分别为，，求证：． 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 19. 已知，． （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 20. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 21. 已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． （1）求这个多边形的边数． （2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 22. 观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： （1）__________； （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； （3）利用上述规律计算：． 23. 如图，是的角平分线，过点作，交于点，作，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求四边形的面积． 24. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， ， 即， ， ， 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）_____，_____； （2）化简：； （3）若，求的值． 25. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）观察猜想 如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系为：_____； ②、、之间的数量关系为：_____；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点在线段的延长线上时，、、之间有怎样的数量关系？并写出证明过程； （3）拓展延伸 如图3，当点在线段的延长线上时，延长交于点；连接，若已知，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $