内容正文:
2.5有理数的乘法与除法
(30分提至70分使用)
义
览
概
讲
课
索
探
新
1.有理数的乘法法则
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:任何数同0相乘,都得0;
法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
(1)乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。
(2)注意:
①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
(1)乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).
(3)乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。
5.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
型
习
练
题
有理数的乘法运算
1.下列算式中,积为负数的是( )
A. B.
C. D.
2.绝对值不大于4的整数的积是( )
A.16 B.0 C.5 D.
3.若3,x,的积是一个负数,则x的值可以是( )
A.6 B. C. D.0
4.若,,,则下列结论正确的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
5.在,,,,这五个数中,任取三个数相乘,所得的积最大是( )
A. B. C. D.
有理数乘法运算律
6.下列式子中,与的结果相同的是( )
A. B.
C. D.
7.式子中,运用的运算律是( ).
A.乘法交换律及结合律 B.乘法交换律及分配律
C.加法结合律及分配律 D.乘法结合律及分配律
8.计算:的值为( )
A. B. C. D.
9.运用运算律计算,变形正确的是( )
A. B. C. D.
10.对算式“”进行简便计算,在计算过程中使用的运算律表述正确的是( )
解:
①
②
A.①乘法分配律②加法交换律 B.①②都是加法结合律
C.①乘法结合律②加法交换律 D.①乘法交换律②加法结合律
倒数
11.的倒数是( )
A. B. C. D.
12.的倒数是( )
A.2028 B. C. D.
13.有理数2025的倒数是( )
A. B. C. D.
14.已知有理数a在数轴上对应的点在原点左侧,且,则a的相反数的倒数为( )
A.4 B.-4 C. D.
15.下列各组数中,互为倒数的是( )
A.与3 B.3与 C.与 D.与
有理数的除法
16.下列各式中,计算结果等于的是( )
A. B. C. D.
17.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
18.计算:( )
A.3 B. C. D.12
19.一个数除以,商一定( )被除数
A.大于 B.小于 C.不小于 D.不大于
20.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
有理数四则混合运算
21.计算
(1)
(2)
(3)
22.简便计算:
23.计算:
24.计算:.
25.计算:
(1);
(2).
有理数四则混合运算的实际应用
26.朱家角古镇汤圆店,每只汤圆售价为4元.在国庆期间举行了“国泰民安”活动.
活动一:满6只汤圆即赠1只汤圆.
活动二:“乐游上海”电商补贴,消费者可先团购多张20.6元无门槛优惠券,结算时每张可减免元,优惠券使用数量不可高于消费人数.
小明一家五口慕名而来,一共品鉴了25只汤圆.他在结账时参与哪种活动更加优惠?共需要付款多少元?(结账时仅可选择一种活动且一次性结算)
27.某市有关部门对“十一”黄金周期间七天本市某5A景区客流量变化情况进行了不完全统计,数据如下(用正数表示客流量比前一天增加,用负数表示客流量比前一天减少.另外,9月有30天):
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
变化(万人)
请解答下列问题:
(1)如果该景区9月30日这一天的客流量为a万人,则在这7天中,第 日人数最少;用代数式表示第3日的人数是 万人;最多的客流量比最少的客流量多 万人;
(2)如果9月30日的客流量为2.3万人,据统计平均每人每天消费190元,请问该景区在“十一”黄金周期间七天的总收入为多少万元?
28.某食品厂生产一种袋装食品,标准质量为100克/袋,从中抽取20袋检测质量是否符合标准,检测结果如下(用正号表示超过标准质量,用负号表示低于标准质量):
与标准质量的差值(单位:克)
0
1
2
袋数
1
2
3
4
6
4
(1)在抽取的20袋食品中,最重的一袋比最轻的一袋重多少克?
(2)这次抽取的20袋食品的实际总质量是多少克?
29.某品牌电动汽车的满电续航里程为,下表记录了该电车满电情况下连续七天的行驶里程(每天以为标准,超过部分记为“”,不足部分记为“”,单位:).
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
根据表中数据,解答下列问题:
(1)该电车第______天行驶里程最多,第______天行驶里程最少;
(2)若该电动汽车每行驶耗电千瓦时,每千瓦时电费元(家充),求这台电动汽车行驶七天需要多少电费?
(3)当剩余续航里程不足时,车辆会发出充电提示.这台电车在七天行驶结束时______(填“会”或“不会”)收到充电提示.
30.外卖员小李在厦门某区从事外卖配送工作.为了统计月收入,小李记录了这个月(按30天计算)中每天配送量与基准40单的差值,规定超过40单的部分记为“”,不足40单的部分记为“”.这个月情况见表:
与基准差值(单)
天数
5
6
4
5
7
3
(1)请解释表格中第一行的“”表示的具体意义是______;
(2)小李这个月平均每天送餐多少单?
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$
2.5有理数的乘法与除法
(30分提至70分使用)
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1.有理数的乘法法则
法则一:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三)
法则二:任何数同0相乘,都得0;
法则三:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
法则四:几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
(1)乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a·(a≠0),就是说a和互为倒数,即a是的倒数,是a的倒数。
(2)注意:
①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质);
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
(1)乘法交换律:一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。即ab=ba
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。即(ab)c=a(bc).
(3)乘法分配律:一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,在把积相加。即a(b+c)=ab+ac
4.有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数。
(2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。
5.有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。
型
习
练
题
有理数的乘法运算
1.下列算式中,积为负数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法运算.根据有理数乘法法则,几个非零数相乘,负因数的个数为奇数时积为负,为偶数时积为正;任何数与0相乘得0,据此判断各选项,即可作答.
【详解】解:A、,不是负数,故该选项不符合题意;
B、,负因数个数为2(偶数),积不是负数,故该选项不符合题意;
C、,负因数个数为2(偶数),积不是负数,故该选项不符合题意;
D、,负因数个数为3(奇数),积是负数,故该选项符合题意;
故选:D.
2.绝对值不大于4的整数的积是( )
A.16 B.0 C.5 D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值的应用,有理数的乘法,
先确定绝对值不大于4的整数,再根据有理数乘法法则计算即可.
【详解】解:∵绝对值不大于4的整数有,
∴.
故选:B.
3.若3,x,的积是一个负数,则x的值可以是( )
A.6 B. C. D.0
【答案】A
【分析】本题考查“有理数乘法的运算法则”,熟练掌握“奇数个负数相乘,积为负数”的运算法则是解题关键.
由积是一个负数,可知这三个数中有1个负数,或3个负数,又已经有这一个负数和3这一个正数,根据三个数乘积为负数的条件,可知x必须为正数.
【详解】根据有理数乘法的运算法则,三个数的积为负数时,这三个数中一定有一个负数或三个负数,
已知三个数中已经有这一个负数和3这一个正数,
所以一定为一个正数.
其中A选项6为正数;B选项和C选项均为负数;D选项为0.
故选A.
4.若,,,则下列结论正确的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的乘法,由可知与异号;结合,可得:且;再由,结合、,可得:.
【详解】解:,
与异号,
又,
,,
,且、,
,
,,.
故选:A.
5.在,,,,这五个数中,任取三个数相乘,所得的积最大是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查的是有理数的乘法,有理数的大小比较,熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键.根据几个不等于0的数相乘,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正;所以根据题中的五个数,要找出三个数相乘,所得的积最大,需考虑选两个负数且绝对值较大的,再选正数里面绝对值较大的,进一步可得答案.
【详解】解:∵ 数字为,,,,,任取三个数相乘,所得的积最大,
∴选两个负数且绝对值较大的,再选正数里面绝对值较大的,
∴积最大为.
故选:C.
有理数乘法运算律
6.下列式子中,与的结果相同的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了有理数乘法分配律,利用乘法分配律进行计算,即可解答.
【详解】解:,
则与的结果相同的是.
故选:D.
7.式子中,运用的运算律是( ).
A.乘法交换律及结合律 B.乘法交换律及分配律
C.加法结合律及分配律 D.乘法结合律及分配律
【答案】A
【分析】本题主要考查了乘法运算律的应用,区分交换律(改变顺序)和结合律(改变分组)是关键;等式右边通过改变因数的顺序和分组方式进行计算,使用了乘法的交换律和结合律,没有涉及分配律.
【详解】解:∵ 原式 中,将 与 3 交换位置,使 2 和 相邻,再分组为 ,
∴ 使用了乘法交换律和乘法结合律,
故选:A.
8.计算:的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律的应用,熟练掌握乘法分配律是解题的关键.
利用乘法分配律将36分别与括号内的数相乘,再进行加减运算即可.
【详解】解:
,
故选:.
9.运用运算律计算,变形正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查乘法分配律的灵活运用,通过凑整简化计算.
将99拆分为,利用乘法分配律进行变形计算.
【详解】解:,
,
故选:D.
10.对算式“”进行简便计算,在计算过程中使用的运算律表述正确的是( )
解:
①
②
A.①乘法分配律②加法交换律 B.①②都是加法结合律
C.①乘法结合律②加法交换律 D.①乘法交换律②加法结合律
【答案】A
【分析】本题考查了有理数乘法运算律,有理数加法运算律,解题关键是掌握上述知识点并能运用求解.
在计算过程中,步骤①将展开为,使用了分配律;步骤②将重新排列为,改变了加数的顺序,使用了加法交换律.
【详解】解:∵步骤①中:
,
这符合分配律:(此处为减法形式).
∴①使用了分配律.
∵步骤②中:
,
这改变了加数的顺序,但未改变分组,
符合加法交换律:.
∴②使用了加法交换律.
故选:A.
倒数
11.的倒数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查倒数,根据倒数的定义,分数的倒数是将分子和分母互换位置.
【详解】解:∵ 一个数的倒数是指与它相乘等于1的数,
∴ 的倒数为,
故选:A.
12.的倒数是( )
A.2028 B. C. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查了倒数的定义,解题的关键是掌握倒数的定义.
根据倒数的定义求解即可.
【详解】解:的倒数是,
故选:B.
13.有理数2025的倒数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了倒数,根据倒数的定义,一个非零有理数的倒数是指与其相乘等于1的数.
【详解】解:2025的倒数是.
故选:A.
14.已知有理数a在数轴上对应的点在原点左侧,且,则a的相反数的倒数为( )
A.4 B.-4 C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的概念,注意数轴上的位置表示数的正负.由题意可知a为负数,且绝对值为4,故;再求其相反数的倒数即可.
【详解】解:∵ a在数轴上对应的点在原点左侧,
∴ .
又∵ ,
∴ .
∴ a的相反数为.
∴ 4的倒数为.
因此,a的相反数的倒数为.
故选:C
15.下列各组数中,互为倒数的是( )
A.与3 B.3与 C.与 D.与
【答案】D
【分析】本题主要考查了倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.注意0没有倒数.直接计算各选项乘积是否为1即可判断.
【详解】解:∵ 互为倒数的定义是两数乘积为1,
对于A:,不符合题意;
对于B:,不符合题意;
对于C:,不符合题意;
对于D:,符合题意;
故选:D.
有理数的除法
16.下列各式中,计算结果等于的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加、减、乘、除运算及带分数与假分数的转换,解题的关键是先将目标结果化为假分数,再准确计算各选项结果并进行对比.
先把转化为,再分别计算每个选项的运算结果,判断是否与目标结果一致.
【详解】解:目标结果
A、,此选项不符合题意;
B、,此选项符合题意;
C、,此选项不符合题意;
D、,此选项不符合题意;
故选:B.
17.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查有理数的四则运算,解题的关键是掌握有理数加、减、乘、除的运算法则.
分别对每个选项按照有理数四则运算法则进行计算,然后判断其正确性.
【详解】解:A、, A错误;
B、, B错误;
C、, C错误;
D、, D正确.
故选:D.
18.计算:( )
A.3 B. C. D.12
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的除法法则.
根据有理数的除法法则计算即可.
【详解】解:,
故选:B.
19.一个数除以,商一定( )被除数
A.大于 B.小于 C.不小于 D.不大于
【答案】D
【分析】本题考查了分数除法的意义,根据分数除法的规律来分析是解题的关键.在除法运算中,一个数(0 除外)除以一个大于 1 的数,商就小于被除数;除以一个等于 1 的数,商等于被除数;除以一个小于 1 的数(0 除外),商大于被除数.据此规律回答即可.
【详解】解:根据除法的运算规律:
在除法运算中,一个数(0 除外)除以一个大于 1 的数,商就小于被除数;除以一个等于 1 的数,商等于被除数;除以一个小于 1 的数(0 除外),商大于被除数.
,
一个数除以,商一定不大于被除数,
故选:D.
20.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查分数的除法运算,核心是掌握除以一个分数等于乘以它的倒数的规则.
利用分数的除法运算法则进行判断即可.
【详解】,A选项是正确的,符合题意;
,B选项是错误的,不符合题意;
,C选项是错误的,不符合题意;
,D选项是错误的,不符合题意;
故选:A.
有理数四则混合运算
21.计算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算,加法运算律以及乘法运算律,掌握相关运算法则是解题关键.
(1)根据加法结合律简便计算即可;
(2)根据有理数乘除混合运算法则计算即可;
(3)根据乘法分配律简便计算即可.
【详解】(1)解:
;
(2)解:
;
(3)解:
.
22.简便计算:
【答案】
【分析】本题考查了有理数四则混合运算,通过观察,发现各项有因数,逆用乘法分配律,提取公因数,即可简化计算.
【详解】解:
.
23.计算:
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算.
先将除法转化为乘法,并根据乘法分配律变形,再计算乘法,最后计算加减即可.
【详解】解:
.
24.计算:.
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算,利用乘法分配律计算即可求解,掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键.
【详解】解:原式
.
25.计算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查有理数的混合运算,解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则.
(1)根据加减混合运算顺序和运算法则计算即可;
(2)先计算乘除,再计算减法即可.
【详解】(1)解:
;
(2)解:
.
有理数四则混合运算的实际应用
26.朱家角古镇汤圆店,每只汤圆售价为4元.在国庆期间举行了“国泰民安”活动.
活动一:满6只汤圆即赠1只汤圆.
活动二:“乐游上海”电商补贴,消费者可先团购多张20.6元无门槛优惠券,结算时每张可减免元,优惠券使用数量不可高于消费人数.
小明一家五口慕名而来,一共品鉴了25只汤圆.他在结账时参与哪种活动更加优惠?共需要付款多少元?(结账时仅可选择一种活动且一次性结算)
【答案】参与活动一更加优惠,共需要付款88元.
【分析】本题考查了商品优惠问题,有理数的混合运算,比较两种活动的付款金额:活动一通过计算点单数量得到实际付款;活动二通过选择最优优惠券数量使总支付最小,但活动一付款更少.
【详解】解:正常总价:元.
活动一:品鉴25只汤圆,可以点3次6只汤圆,共获赠3只汤圆,一共得21只汤圆,另外四只单点或加入其他点单即可,付款金额:(元).
活动二:每张优惠券购买价20.6元,结算时每张减免元 ,优惠券使用数量.
正常总价元.故最多使用4张优惠券,
故总支付 (元).
∵元 元,故活动一更优惠.
答:参与活动一更加优惠,共需要付款88元.
27.某市有关部门对“十一”黄金周期间七天本市某5A景区客流量变化情况进行了不完全统计,数据如下(用正数表示客流量比前一天增加,用负数表示客流量比前一天减少.另外,9月有30天):
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
变化(万人)
请解答下列问题:
(1)如果该景区9月30日这一天的客流量为a万人,则在这7天中,第 日人数最少;用代数式表示第3日的人数是 万人;最多的客流量比最少的客流量多 万人;
(2)如果9月30日的客流量为2.3万人,据统计平均每人每天消费190元,请问该景区在“十一”黄金周期间七天的总收入为多少万元?
【答案】(1),,
(2)万元
【分析】本题考查了正负数的意义以及意义有理数混合运算的实际应用,读懂题意,分别得出这7天的游客人数是解本题的关键.
(1)分别求出这7天变化的客流量,再进行作答即可;
(2)求出总的客流量,再乘每人每天消费190元,进行计算即可.
【详解】(1)解:以9月30日客流量为基准,每日客流量的累计变化量为:
1日:(万人);
2日:(万人);
3日:(万人);
4日:(万人);
5日:(万人);
6日:(万人);
7日:(万人);
故这7天中,10月7日人数最少;
第3日的人数是万人;
最多的客流量比最少的客流量多(万人)
故答案为:,,;
(2)解:七天客流量一共是(万人),
(万元),
答:该景区在“十一”黄金周期间七天的总收入为万元.
28.某食品厂生产一种袋装食品,标准质量为100克/袋,从中抽取20袋检测质量是否符合标准,检测结果如下(用正号表示超过标准质量,用负号表示低于标准质量):
与标准质量的差值(单位:克)
0
1
2
袋数
1
2
3
4
6
4
(1)在抽取的20袋食品中,最重的一袋比最轻的一袋重多少克?
(2)这次抽取的20袋食品的实际总质量是多少克?
【答案】(1)6
(2)1999
【分析】本题考查正数和负数的实际应用,及有理数运算的实际应用,结合已知条件列得正确的算式是解题的关键.
(1)根据正数和负数的实际意义列式计算即可;
(2)根据标准质量为100克/袋,结合表格中的数据列式,求出结果即可.
【详解】(1)解:(克),
答:在抽取的20袋食品中,最重的一袋比最轻的一袋重6克;
(2)解:
(克),
答:这20袋食品的总质量为1999克.
29.某品牌电动汽车的满电续航里程为,下表记录了该电车满电情况下连续七天的行驶里程(每天以为标准,超过部分记为“”,不足部分记为“”,单位:).
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
根据表中数据,解答下列问题:
(1)该电车第______天行驶里程最多,第______天行驶里程最少;
(2)若该电动汽车每行驶耗电千瓦时,每千瓦时电费元(家充),求这台电动汽车行驶七天需要多少电费?
(3)当剩余续航里程不足时,车辆会发出充电提示.这台电车在七天行驶结束时______(填“会”或“不会”)收到充电提示.
【答案】(1)三,七;
(2)元;
(3)会
【分析】本题考查了正负数的应用,有理数的混合运算.
(1)根据正负数的实际意义作答即可;
(2)求出总里程,乘以耗电,再乘以电费即可;
(3)求出剩余电量所占百分比,进而判断即可.
【详解】(1)解:由表格可知,该电车第三天行驶里程最多,第七天行驶里程最少;
故答案为:三,七;
(2)解:总里程:
,
(元);
(3)解:,
即这台电车在七天行驶结束时会收到充电提示.
故答案为:会.
30.外卖员小李在厦门某区从事外卖配送工作.为了统计月收入,小李记录了这个月(按30天计算)中每天配送量与基准40单的差值,规定超过40单的部分记为“”,不足40单的部分记为“”.这个月情况见表:
与基准差值(单)
天数
5
6
4
5
7
3
(1)请解释表格中第一行的“”表示的具体意义是______;
(2)小李这个月平均每天送餐多少单?
【答案】(1)某天配送量比40单少2单
(2)41
【分析】本题考查正负数,读懂题意,正确的列出算式是解题的关键.
(1)根据规定超过40单的部分记为“”,不足40单的部分记为“”,解答即可;
(2)求出表格中所有数据的平均数再加上40即可.
【详解】(1)解:第一行的“”表示某天配送量比40单少2单,
故答案为:某天配送量比40单少2单;
(2)解:
.
答:小李这个月平均每天送餐41单.
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