第十八章 分式（4核心+12题型+7难点+复习讲义）数学新教材人教版八年级上册

第十八章 分式 复习要点 1. 理解分式的概念，能准确区分分式与整式（分母是否含字母），掌握分式有意义（分母≠0）、无意义（分母=0）、值为0（分子=0且分母≠0）的条件。 2. 掌握分式的基本性质（分子分母同乘或除以同一非零整式，值不变），能依据该性质正确进行约分（化为最简分式）与通分（确定最简公分母）。 3. 掌握分式的乘除、乘方与加减运算法则，理解分式运算与分数运算的类比关系，能按“先乘方、再乘除、后加减”的顺序进行混合运算。 4. 掌握分式方程的解法（去分母化整式方程→解整式方程→检验），理解验根的必要性（排除增根），能列分式方程解决实际问题并检验解的合理性。 复习重难点 重点：分式的基本性质及其在约分、通分中的应用，分式的混合运算，以及分式方程的解法与验根。 难点：分式值为0与有意义的条件综合应用（含参数问题），异分母分式通分时符号处理，以及分式方程增根的成因理解与验根。 知识点 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 4．分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 5.约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 6.通分 （1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． （2）通分的关键是确定最简公分母． ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数． ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 8.最简公分母 （1）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 要点速测 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在式子，，，中，分式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：，分母含字母，是分式； ，分母为常数，不含字母，不是分式； ，分母含字母，是分式； ，分母为常数和，不含字母，不是分式； 综上，分式一共有个． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】本题考查分式值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化规律，根据相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需满足分子为零且分母不为零，对于， 解得，当时，分母，分式无意义， 只能为，故A错误； B．分式的基本性质要求分子分母同乘同一个不为零的整式， 当时，，等式不成立，选项未说明，故B错误； C．当都扩大3倍后，新分式为， 分式值变为原来的3倍，故C错误； D．分子与分母没有公因式，在实数范围内不可分解， 该分式是最简分式，故D正确； 故选：D． 知识点 分式的运算 1．分式的加减法 （1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． （2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 2．分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 3．分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 4．分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 要点速测 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）分式的计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对分母因式分解，通分计算括号内的减法，将除法转化为乘法后约分得到结果； （2）先通分计算括号内的异分母减法，因式分解后将除法转化为乘法，约分得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（26-27九年级上·四川资阳·开学考试）先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 【答案】，选择代入，值为 【分析】先根据分式运算法则、完全平方公式和平方差公式化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的的值，代入计算得到结果． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，得，，， ∴只能选取， 将代入得，原式． 知识点 整数指数幂 1.负指数幂：（a≠0，p是正整数） 2.科学记数法：我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，. 要点速测 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）我国研究团队获得目前最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白三维解析结构，局部分辨率高达0.000000018厘米，将0.000000018用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示的形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：原数中，第一个不为零的数字为，因此． 6．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）计算： 【答案】2 【详解】原式． 知识点 分式方程 1．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 2．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．换元法解分式方程 （1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． （2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 5．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 6．分式方程的应用 （1）列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． （2）要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 要点速测 7．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 【答案】或 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母， 去分母，得，整理得：， 情况1：若整式方程无解， ∵当一次项系数为时，整式方程无解， ∴，解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， ∵原分式方程的增根满足，即， ∴把代入，得， 解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 8．（2026八年级上·山东·专题练习）解方程： (1)； (2)5． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： ， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的增根， 所以原分式方程无解； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 9．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“金榜手环”．若购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元，购买本“状元书历”和个“金榜手环”需花费元． (1)请问每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“金榜手环”的售价降低元．经测算，学校花元购进“状元书历”的数量比花元购进“金榜手环”的数量还少个，求出的值． 【答案】(1) 每本“状元书历”售价元，每个“金榜手环”售价元． (2) 的值为． 【分析】（1）设出未知数，列二元一次方程组解决问题； （2）找到等量关系，列分式方程解决问题． 【详解】（1）解：设每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为元和元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为元和元． （2）根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：的值为． 题型1 分式、最简分式、最简公分母 ▌例1 （25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义． 根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是整式，它不是分式； 中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 是整式，它不是分式； 分母含字母，它是分式； 分母含字母，它是分式， ∴属于分式的有、、，共3个， 故选：B． 解题要点 1. 分式与最简分式：分式形如 A/B（B≠0），A、B为整式。最简分式要求分子分母无公因式（已约分彻底）。判断时先分解因式，再约去公因式。 2. 最简公分母：取各分母系数最小公倍数，各字母（或因式）取最高次幂，不同因式全部保留，乘积即为最简公分母。通分时各分母同乘相应因式化为公分母。注意分母不为0。 ▌迁移练1-1 （25-26八年级上·湖北荆州·期末），，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简公分母，根据求最简公分母的方法，先确定各分母系数的最小公倍数，再确定各字母因式的最高次幂，两者的积即为最简公分母． 【详解】解：，，的最简公分母是． 故选：B． ▌迁移练1-2 （25-26八年级上·湖北孝感·期末）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，掌握相关知识点是解题的关键．根据分子与分母是否存在非零公因式，判断是否可约分，即可求解． 【详解】解：A、的分子9与分母无公因式，是最简分式，故选项A符合题目要求； B、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项B不符合题目要求； C、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项C不符合题目要求； D、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项D不符合题目要求． 故选：A． ▌迁移练1-3 （25-26八年级上·山东济宁·期末）在，，，，中，分式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查分式的判断，解题的关键是掌握：如果、为整式，且中含有字母，那么式子是分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：在，，，，中， 其中，是分式， ∴分式的个数是． 故选：B． 题型2 分式的有无意义的条件 ▌例2 （25-26八年级上·湖南株洲·期末）若分式的值存在，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义，分式的值存在要求分母不为0，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵分式的值存在， ∴分母不能为0，即， 解得． 解题要点 1. 有意义的条件：分式 A/B 有意义的条件是分母B≠0。解题时令分母等于0，解出的值即为使分式无意义的x值，其余值均有意义。 2. 值为零的条件：分式值为0需同时满足分子A=0且分母B≠0。两者缺一不可，常用来求含参问题中字母的值，务必检验分母是否为零，防止增根。 ▌迁移练2-1 （25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【详解】解：∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选：B． ▌迁移练2-2 （25-26九年级上·广东惠州·期末）若代数式有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数、分式分母不为0的性质，列不等式组求解m的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴需满足， 解，得， 解，得， ∴的取值范围是且， 故选：C． ▌迁移练2-3 （25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）及分式有意义的条件（分母不为0），逐一判断各选项在为任意实数时是否有意义． 【详解】解：对选项A：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项B：分母，当时式子无意义，虽分子中，但为任意实数包含，不符合题意 对选项C：要使有意义，需，即，当时无意义，不符合题意 对选项D：∵为任意实数，，∴，被开方数始终为正，∴在实数范围内一定有意义，符合题意 故选：D． 题型3 分式的值为0的条件 ▌例3 （25-26八年级上·河北衡水·期末）若分式的值为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查分式的值为的条件，掌握分式值为的两个条件是解题关键． 若分式的值为，则分子为且分母不为． 【详解】解：分式的值为，则分子且分母，故，且． 故答案为：． 解题要点 1. 分子为零且分母不为零：分式 A/B=0 必须同时满足 A=0 且 B≠0。先令分子等于0求出字母值，再代入分母检验，排除使分母为0的值。 2. 注意整体与隐含条件：分子分母可能含参数或整体因式，需先因式分解。求出候选值后务必逐一检验，确保分母不为0。若分母恒不为0，则只需分子为0即可。结果需取舍。 ▌迁移练3-1 （25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为零的条件等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据分式值为零需分子为零且分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且分母， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ▌迁移练3-2 （25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． ▌迁移练3-3 （25-26七年级上·上海·期末）如果分式的值为零，那么x的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 题型4 利用分式的基本性质判断分式值的变化 ▌例4 （25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 解题要点 1. 分子分母同乘除同值：分式的基本性质是分子分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。据此可判断变形前后是否相等，注意所乘除的式子不能为0。 2. 系数化整与符号变化：分子分母各项系数同乘一个数，值不变；分子分母同时变号，值不变（负负得正）。若只改变分子或分母的符号，则分式值变为相反数。判断时抓住“同”字，避免只变局部。 ▌迁移练4-1 （25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===， ∴ 新分式的值是原分式值的2倍 ． ▌迁移练4-2 （25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍． ▌迁移练4-3 （25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 题型5 分式的混合运算 ▌例5 （25-26八年级上·山东淄博·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据同分母分式加减运算计算，再约分即可； （2）根据异分母分式的加减运算法则先算括号，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题要点 1. 按序运算与因式分解：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。运算前对分子分母因式分解，便于约分。除法转化为乘法（乘以倒数），乘法先约分再计算。 2. 通分与结果化简：异分母加减需通分为最简公分母，分子相加减后合并同类项。最终结果必须化为最简分式或整式，注意分母不为0及符号处理（去括号变号）。 ▌迁移练5-1 （25-26八年级上·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （1）先计算除法，再计算减法； （2）先计算括号内减法，再计算除法． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． ▌迁移练5-2 （25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1)b (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，分式的加减乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理式子，再把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算括号内的减法，然后把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练5-3 （25-26八年级上·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先计算括号内减法，再计算乘法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型6 分式化简求值 ▌例6 （25-26九年级上·江西九江·期末）先化简，再求值，其中 【答案】；4 【详解】解：原式 ， 把代入得，原式． 解题要点 1. 先化简再代入：先对分式进行因式分解、约分、通分，化为最简分式或整式。注意运算顺序，除法转乘法，括号优先。 2. 代入与取值限制：将字母值代入化简结果，注意所选值必须使原分式分母不为0且除式不为0。若题目自选取值，不能取使分母为0的值。结果需化为最简。 ▌迁移练6-1 （25-26八年级上·甘肃甘南·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据负指数幂求得x的值，再根据分式的混合运算法则化简，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． ▌迁移练6-2 （25-26八年级上·河南安阳·期末）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及代数式求值，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解题的关键． 先对括号内的分式进行通分并计算减法，再将除法转化为乘法，对分子、分母进行因式分解后约分，得到最简分式；然后根据分式有意义的条件，从，，中选取合适的数代入最简分式求值． 【详解】解： ， 若使分式有意义，，， ，，， 取时，原式． ▌迁移练6-3 （25-26八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，取不等式的正整数解其中的一个代入求值． 【答案】；1 【分析】本题考查了分式化简求值，分式加减乘除混合运算，求一元一次不等式的整数解，分式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先将中括号里的通分，再将除法转化为乘法计算，然后求得不等式的正整数解，根据分式有意义，得到字母a的值，再代入求值即可． 【详解】解：原式 解不等式，得， 不等式的正整数解为1，2，3， ∵要使分式有意义， ∴，，，， ∴且且， ∴可以取1或3， 当时， 原式； 当时， 原式． 题型7 零指数幂、负整数指数幂综合计算 ▌例7 （25-26八年级上·青海海东·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式． 解题要点 1. 牢记公式与条件：a⁰=1（a≠0）；a⁻ⁿ=1/aⁿ（a≠0，n为正整数）。底数不能为0，负指数表示倒数，注意区分底数符号与指数作用范围。 2. 统一形式再运算：将负整数指数化为正指数（取倒数），零指数化为1，再按幂的运算法则（同底数幂相乘除、幂的乘方、积的乘方）计算。结果通常化为正整数指数幂或分数形式，注意符号与最简。 ▌迁移练7-1 （25-26八年级上·北京海淀·期末）计算：． 【答案】 【分析】先算乘方，再算加减法． 本题考查了实数的混合运算，掌握实数运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 故答案为：． ▌迁移练7-2 （25-26八年级上·福建福州·期末）计算：． 【答案】12 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． ▌迁移练7-3 （25-26八年级上·甘肃陇南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 题型8 用科学计数法表示绝对值小于1的数 ▌例8 （25-26八年级上·云南昆明·期末）流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是米，这个数字用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：这个数字用科学记数法可表示为． 故答案为：． 解题要点 1. 确定a与n的取值：形式为 a×10⁻ⁿ（1≤|a|＜10，n为正整数）。将原数小数点向右移，直到成1≤|a|＜10，移动的位数即为n（负指数）。 2. 还原与验算：小数点右移几位，n就是几。如0.00025=2.5×10⁻⁴。注意a的符号与原数一致，n必须为正整数。还原时小数点左移n位，检验是否与原数相等。 ▌迁移练8-1 （25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）我国研究团队攻克了基带加工过程中的关键技术难题，成功将哈氏合金轧制成厚度仅，宽度， 长度超的超长超薄金属基带，基带表面粗糙度小于，光洁如镜，并具有优异的热稳定性和力学性能．数据用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 将原数转换为科学记数法形式即可． 【详解】． 故答案为：． ▌迁移练8-2 （25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． ▌迁移练8-3 （25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）我国科研团队制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型9 分式方程的定义 ▌例9 （25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 解题要点 1. 分母含未知数：分式方程是分母中含有未知数的方程，这是与整式方程的根本区别。如 1/x+2=0 是分式方程，而 x/2+1=0 不是。 2. 识别与化简：判断时先看原方程分母是否含未知数，不能先约分再判断。含参问题中，需保证分母不为0。解分式方程后必须验根，排除使分母为0的增根。 ▌迁移练9-1 （25-26八年级上·广西贺州·期末）下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． ▌迁移练9-2 （25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． ▌迁移练9-3 （25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）下列方程是分式方程的有（ ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，故不是分式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③分母中不含有未知数，故不是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 题型10 解分式方程 ▌例10 （25-26八年级上·河南驻马店·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解之，得：， 检验，当时，， 所以，是原方程的根． （2）解：， 去分母，得：， 即， 解之，得：， 检验，当时，， 所以，是原方程的增根，原方程无解． 解题要点 1. 去分母化为整式方程：先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到整式方程。注意每一项都要乘，不要漏乘不含分母的项。 2. 解整式方程并验根：解出整式方程的解后，必须将解代入最简公分母检验。若使公分母为0，则为增根，需舍去。原方程无解的情况也要说明。 ▌迁移练10-1 （25-26八年级上·山东德州·期末）解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程；注意去分母时，单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个式子为分母，最简公分母应为其中的一个． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 原方程去分母得：， 解这个方程得， 检验：当时，， ∴是分式方程根； （2）解：， 方程两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． ▌迁移练10-2 （25-26八年级上·四川绵阳·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意最后一定要检验． （1）先对分母分解因式，并写成含有的形式，然后方程两边同乘最简公分母，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可； （2）方程两边同乘，把分式方程化成整式方程，解方程求出x，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 方程两边同乘，得：， ， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． ▌迁移练10-3 （25-26八年级上·山东聊城·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）方程两边同乘以，将原方程转化为整式方程，求解并检验后可得出答案； （2）方程两边同乘以，将原方程转化为整式方程，求解并检验后可得出答案． 【详解】（1）解：将原方程整理，得： 方程两边同乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原分式方程的解； （2）解：将原方程整理，得：， 方程两边同乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 题型11 根据分式方程根的情况求参数 ▌例11 （25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 解题要点 1. 化为整式方程分析：先去分母化为整式方程，整理成含参数的标准形式。根据根的情况（有实根、无解、有增根等）结合判别式或方程次数讨论。 2. 验根排除增根：求出参数后，必须将解代入最简公分母检验，排除使分母为0的增根。若题目说“无解”，可能包含整式方程无解或解为增根两种情况，需分类讨论。 ▌迁移练11-1 （25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________． 【答案】或22 【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， ∵方程有增根， ∴或， 解得或， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 故答案为：或22． ▌迁移练11-2 （25-26八年级上·河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可． 【详解】解：， ∴且， 由题意知，， 解得且． 故答案为：且． ▌迁移练11-3 （25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 题型12 分式方程的实际应用 ▌例12 （25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元． (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用； (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元 (2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算 【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据 “行驶里程相同”“费用比较” 等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分． （1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验； （2）根据年使用费用的构成（行驶费用 + 保险费 + 保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据 “电动车更划算” 的条件建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， , 答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元． （2）解：设小明家年平均行使里程为， 纯电动汽车的年使用费用为元， 燃油车的年使用费用为元， 根据题意得：， 解得：， 答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算． 解题要点 1. 审题设元列方程：找准等量关系（如路程=速度×时间、工作总量=效率×时间），设未知数并表示相关量。根据“时间差”“效率比”等条件列出分式方程，注意单位统一。 2. 解方程并双重检验：解分式方程后，既要检验是否为增根（分母不为0），又要检验是否符合实际意义（如速度、人数为正）。舍去不合题意的解，最后作答带单位。 ▌迁移练12-1 （25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件． (1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？ 【答案】(1)每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元 (2)最少预约销售了A款人形机器人10件 【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可； （2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量． 【详解】（1）解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得 ， 解得 ， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 则， 答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元； （2）解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得 ， 解得， 答：最少预约销售了A款人形机器人10件． ▌迁移练12-2 （25-26八年级上·湖南邵阳·期末） 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． (1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ (2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【答案】(1)每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元 (2)可以购买14盒口罩，6盒水银温度计 【分析】（1）设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元，根据“用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同”建立分式方程求解； （2）设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计，根据题意建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元， 由题意得： ，       解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元； （2）解：设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计， 由题意得： 解得 y只能取整数， ， 答：可以购买14盒口罩，6盒水银温度计． ▌迁移练12-3 （24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 难点一 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 难点1：分子分母符号的协同判定 分式值为正需分子分母同号，为负需异号。难点在于将“同号”或“异号”转化为两组不等式组，分别求解后取并集。学生易遗漏其中一组或混淆并集与交集，导致范围缺失。 难点2：分母非零与符号变化的边界处理 分母含未知数时，需先排除使分母为零的值。难点在于当分子或分母含绝对值、平方等结构时，符号随变量分段变化，需结合数轴标根法或分类讨论，精准确定各区间的符号，否则易将边界值误纳入解集。 难点精练 1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 2．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，分式的值为正数，由于分子恒为正，因此分母必须为正，解不等式即可． 【详解】分式 的分子为 1，是正数，因此分式值为正数时，分母 必须大于 0，即 ． 解得：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： （1）当 时，分式的值为正； （2）当为 时，分式的值为负； （3）当为 时，分式的值为正整数． 【答案】 任意实数 3或2 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，解一元一次方程，掌握分式的性质是解题关键． （1）由分式的值为正，得到，解不等式即可； （2）根据平方的非负性以及分式的性质，即可求解； （3）由分式的值为正整数，得到或，即可求解． 【详解】解：（1）分式的值为正， ， ， 故答案为： （2）， ， ， 的取值为任意实数， 故答案为：任意实数； （3）分式的值为正整数， 或， 或2， 故答案为：3或2． 难点二 求使分式值为整数时未知数的整数值 难点1： 分离常数法的等价变形 需将分式拆为“整数+真分式”形式。难点在于通过配凑分子使分式部分分子为常数，学生易在拆分时符号出错或遗漏常数项，导致变形不等价。 难点2：分母整除分子的条件约束 分式值为整数等价于分母能整除分离后的常数。难点在于枚举分母的所有因数（含正负），并注意分母不为零的限制。学生常漏掉负因数或忽视原分式的定义域，导致整数解遗漏或增根。 难点精练 1．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 2．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 难点三 分式运算有关的规律性问题 难点1：分式序列的结构归纳 给定若干分式等式，需观察分子分母的递变规律及运算形式。难点在于从具体算式中提炼出统一的代数结构，尤其涉及裂项或交替符号时，易被表面数值迷惑而归纳偏差。 难点2：通项猜想的适用范围检验 归纳出通项后，需代入更多情形验证其普遍性。难点在于界定规律成立的字母取值范围（如 \(n\) 为正整数），并注意分式有意义的条件（分母不为零），忽视边界或跳步验证会导致规律误用。 难点精练 1．观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律． （1）根据等式的规律写出第④个等式即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明； （3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 2．观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解； （2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第n个等式为：， 证明： ． 3．下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 难点四 与分式及分式运算有关的新定义型问题 难点1：新运算向分式运算的等价转化 题目定义如 a ※ b = 等非常规运算，需将其准确还原为分式的加、减、乘、除。难点在于代入含字母的分式时，需同步处理括号、符号与分母有理化，若代入粗心则分式层级错乱。 难点2：新定义与分式有意义的条件叠加 新运算常隐含分母非零、被开方数非负等约束。难点在于求解过程中需始终追踪这些隐性条件，尤其在化简变形时，若忽视初始定义域则可能保留使分式无意义的值，导致结果失真。 难点精练 1．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 2．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，，则是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式、，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； ②若分式（为常数且）是一个“好看分式”，求的值； (3)若分式（、为常数且）是一个“好看分式”，且、都是正整数，直接写出的所有可能结果． 【答案】(1) (2)①；② (3)1，2，3 【分析】本题主要考查了分式的约分，解题时要能根据所给新定义问题结合所学分式的知识进行化简是关键． （1）依据题意，由，分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子，进而可以判断得解； （2）①依据题意，分母分解：，结合题意分子需与分母中的或有公因式，从而，则，进而可以判断得解； ②依据题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即，从而分母为，对应，即可判断得解； （3）依据题意，由分式分母分解：设，则，故需等于，即，从而此时分式化简为正整数解：①，则；②，则；③，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，符合“好看分式”定义． 又 ∵分式分母无法在实数范围内分解，分子分母无公因式，无法约分为常数分子， ∴分式不符合“好看分式”定义． 故答案为：． （2）解：①由题意，分母分解：． 又 ∵分式为“好看分式”， ∴分子需与分母中的或有公因式． ∵，则， ∴此时分式化简为，符合定义． ∴． ②由题意，分母分解：需分解为，使常数项为，即， ∴分母为，对应． （3）解：由题意，∵分式分母分解： 设， 则． ∴需等于，即． ∴此时分式化简为， 正整数解： ①，则； ②，则 ； ③，则． ∴的可能值为． 3．（25-26八年级上·河北衡水·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)是，当时，该式的值为整数 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不是分式，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ， ∵该式的值为整数， ∴， 解得或或1或， 又∵， ∴， 即当时，该式的值为整数． 难点五 分式方程无解与增根 难点1：增根与无解的逻辑区分 去分母时乘以可能为零的整式，产生增根；而解完整式方程后，若所有根均为增根或整式方程本身无解，则原方程无解。难点在于学生易将两者混为一谈，遗漏“整式方程无解”这一情形。 难点2：参数讨论中的双重检验 含参分式方程需先求整式方程的解，再代入最简公分母检验是否为零。难点在于参数取值影响整式方程是否有解，需分情况讨论，同时兼顾分母不为零的原域限制，稍有疏忽则漏解或误判。 难点精练 1．（2026·湖南·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．3 B．2 C．－3 D．－2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求分式方程的增根，分式方程的增根是使分式方程分母为零的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·甘肃平凉·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 难点六 已知方程的根的情况求参数的取值范围 难点1：根的特征向判别式与韦达定理的转化 “有两个实根”“两正根”等条件需分别转化为Δ≥0、两根和与积的符号约束。难点在于建立完整的不等式组，学生易遗漏Δ前提或混淆“两正根”与“同号根”的区分条件。 难点2：参数范围的多重条件求交 不同根情形对应多组不等式，需联立求交集。难点在于处理参数同时出现在二次项系数、判别式及韦达定理中时，须兼顾二次项系数不为零、定义域限制等隐性条件，否则易产生增解或漏解。 难点精练 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的分式方程的解是非负数，则实数的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先解此分式方程，再根据此方程的解是非负数及，据此计算即可求解． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得， 分式方程的根是非负数，且， ，且， 解得且． 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，确定出k的范围即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 难点七 分式方程有关的规律性问题 难点1：分式方程序列的结构归纳 给定若干特殊分式方程，需观察分母、分子及解的递变规律。难点在于从具体方程中提炼统一的代数结构或解的模式，尤其涉及裂项或对称形式时，易被数值迷惑而归纳偏差。 难点2：通项猜想的等价验证与范围界定 归纳出规律后，需代入更多情形验证其普遍性。难点在于界定规律成立的字母取值范围（如分母不为零），并确保变形过程等价。忽视边界或跳步验证，会导致规律误用或产生增根。 难点精练 1．（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25 【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 2．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 3．（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 基础达标 一、选择题 1．在，，，，，中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟记分式定义是解题关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子称为分式），逐一判断各式即可． 【详解】∵ 分式的定义是分母中含有字母， 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是常数，不含字母，∴ 不是分式； 是整式，无分母，∴ 不是分式； 的分母是，含字母，∴ 是分式； 的分母是，含字母和，∴ 是分式； ∴ 分式有3个． 故选：B． 2．我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅米，是世界上最薄的不锈钢．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是科学记数法，科学记数法表示为 ，其中，为整数．对于小数，需将小数点向右移动5位得到 ，． 【详解】解：． 故选：B． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．依次对每个选项进行分式的运算，判断其计算是否正确即可． 【详解】解： ，故A项错误，不符合题意； ，故B项正确，符合题意； ，故C项错误，不符合题意； ，故D项错误，不符合题意； 故选：B． 4．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要是考查了分式方程的增根，先将原式去分母整理得到关于x的整式方程，根据方程有增根可得x的值，代入整式方程可得m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 解得：， 故m的值是3． 故选：C． 二、填空题 5．分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，由并结合最简公分母的定义即可得解，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式，的最简公分母是， 故答案为：． 6．若分式与的值互为相反数，则x的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查相反数、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 根据相反数列分式方程求解即可． 【详解】解：∵分式与的值互为相反数， ∴， ， ， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为：0． 7．若整数使式子的值为整数，则满足条件的的值有 个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的计算．先化简分式，再求使该式为整数的整数，同时考虑分母不为零的限制条件． 【详解】解：， 原分式分母不为零，则， 原分式除式不为零，则， ∴， 原式化简为，要使式子的值为整数，则必须为2的约数，即或，解得．又由排除后，仅满足条件．故满足条件的的值有1个． 故答案为：1． 8．若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为 ． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解一元一次不等式，解分式方程等知识点，正确求出一元一次不等式组的解集和分式方程的解是解题的关键． 根据关于x的不等式组恰有两个整数解得到，求出的范围，再解分式方程得到，然后结合分式方程的增根问题，得到且，即可求解整数． 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 9．（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题考查实数混合计算，零指数幂，负整数幂，解分式方程等． （1）先将每项计算出，再计算加减法即可； （2）先等式两边同时乘以最简公分母，再移项合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原方程变形为：， 方程两边都乘以公分母，得：， 整理得：， 系数化为1得：， 经检验：是原方程的解． 10．分式的化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先计算括号内的减法，再计算括号外除法即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算括号外除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及负整数指数幂，零指数幂，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握分式的化简． 先求出的值，再化简分式，然后代数求值即可． 【详解】解：， 将代入上式得， 原式． 12．雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． (1)求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； (2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 【答案】(1)第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元 (2)每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，根据第二批所购数量是第一批数量的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设每个熊猫毛绒玩具的售价为元，根据两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元； （2）解：设每个熊猫毛绒玩具的售价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元． 能力进阶 一、选择题 1．下列说法正确的是（    ） A．是分式 B．分式的分子为0，则分式的值为0 C．将式子写成分数的形式是 D．对于任意实数，总有意义 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不是分式，原说法错误； B、分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，原说法错误； C、将式子 写成分数的形式是，原说法错误； D、对于任意实数，，分式总有意义，说法正确； 故选：D． 2．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行排除选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，计算正确，故不符合题意； D、，计算正确，故不符合题意； 故选B． 3．已知，其中为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．52 【答案】C 【分析】本题考查分式方程，解二元一次方程组，掌握掌握解分式方程的一般步骤是解决问题的关键．先将原方程通过去分母化为整式方程，整理可得，根据方程两边恒等可得，解得，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 则， 解得：， ∴． 故选：C． 4．若，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有a的取值之和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是熟练解分式方程． 先解分式方程，得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的值，然后求和． 【详解】解：方程 ， 原方程可以化为， 方程两边同乘，得： ， 化简得： ， ， ， 为正整数且 ， 为正整数，且， 设，则，其中为正整数，且 又， ， 解得：， （ 为正整数）， （）， 对应值： 当，； 当，； 当，， 所以，所有值为 ， 其和为 ， 故选：A． 二、填空题 5．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将所求分式通分后，利用完全平方公式将分子转化为已知条件的形式，代入数值计算． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴ 原式， 故答案为：． 6．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 7．关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用，并要明确：在解方程的过程中因为把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 先求得方程的解，再解，求出a的取值范围． 【详解】解：两边都乘以，得：， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴，且， 解得：且和， 故答案为：，且． 8．对于任意两个非零实数，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1013 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ，（不为0） ， ∴ 故答案为：1013． 3、 解答题 9．计算 (1)先化简，再求值：，其中． (2) ； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查分式的化简求值和解分式方程，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）先通分括号内的式子，然后根据平方差公式进行化简，再根据完全平方公式化简括号外的式子进而化简即可，最后将x的值代入化简后的式子计算即可； （2）先去分母，再合并同类项和移项进行求解，最后进行验算即可． 【详解】（1）解： ， 将代入得，； （2）解： 解得， 将代入中， 得， ∴是原方程的解． 10．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；．．． 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第7个等式； (2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键． （1）根据前5个等式得出第7个等式即可； （2）通过观察分子和分母上的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第7个等式为． （2）解：猜想的第个等式：， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 11．请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 【答案】(1)①“非和谐分式”；②3； (2)或或或 (3) 【分析】（1）①由，可知该分式不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可判断是“非和谐分式”； ②由，可得，，求出M、N即可； （2）由的值是整数，可得或或或，求出x的值即可； （3）由题分别得到，，两个式子消去可得，即可求． 本题考查分式的运算，根据所给的材料，能够将所给的分式进行拆解是解题的关键． 【详解】（1）解：①，不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 分式是“非和谐分式”， 故答案为：“非和谐分式”； ②∵， ∴，， 解得，； 故答案为：3，； （2）解：， 分式的值是整数， ∴或或或， 解得或或或； （3）解：∵， ， ①， ∵， ∴②， 由得：， ∴． 12．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2)①；② (3)或 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”； （2）解：①∵， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴； ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十八章分式 复习目标 1.理解分式的概念，能准确区分分式与整式（分母是否含字母），掌握分式有意义（分 母≠0)、无意义（分母=0）、值为0（分子=0且分母≠0）的条件。 2.掌握分式的基本性质（分子分母同乘或除以同一非零整式，值不变），能依据该性质 复习要点 正确进行约分（化为最简分式）与通分（确定最简公分母）。 3.掌握分式的乘除、乘方与加减运算法则，理解分式运算与分数运算的类比关系，能按 “先乘方、再乘除、后加减”的顺序进行混合运算。 4.掌握分式方程的解法（去分母化整式方程→解整式方程→检验），理解验根的必要性 (排除增根)，能列分式方程解决实际问题并检验解的合理性。 重点：分式的基本性质及其在约分、通分中的应用，分式的混合运算，以及分式方程的 解法与验根。 复习重难点 难点：分式值为0与有意义的条件综合应用（含参数问题），异分母分式通分时符号处 理，以及分式方程增根的成因理解与验根。 理脉络 知识体系构建 1/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分式定义：A/B,A、B为整式且B中含有字母 分式有意义：分母B0 分式的概念与基本性质 分式值为0：分子A=0且分母B0 基本性质：分子分母同乘或同除以不为0的整式，值不变 符号法则：同时改变两处符号。分式的值不变 约分：约去分子分母的公因式，不改变分式的值 最简分式：分子与分母没有公因式 约分与通分 通分：异分母化为同分母，关键确定最简公分母 最简公分母：取各分母所有因式的最高次冪的积 乘法：分子乘分子、分母乘分母 分式有意义与值为0混滑：值为0需分子=0且分母0 梳 理 除法：除式颀倒后与被除式相乘 忘记检验增根 乘方：分子分母分别乘方(a/b)n=a^n/bn 通分漏乘或分子减法未加括号导致符号错误 分 分式的运算 加减法：同分母分母不变分子相加减：异分母先通分再加减 约分不彻底，结果不是最简分式 易错点 式 混合运算顺序：先乘方一再乘除一后加减。有活号先算括号内 最简公分母确定错误：未取最高次冪的积 学 运算口诀：先分解、再约分、后计算，结果化为最简分式 符号处理错误：未遵循同时改变两处的法则 指 负整数指数幂：a←n)=l/an(a0) 混合运算顺序混乱 整数指数幂与科学记数法 科学记数法：用负整数指数幕表示极小数值 分式有意义、值为0的条件判断 定义：分母中含有未知数的方程 分式基本性质与符号法则运用 解法：去分母一化为整式方程一求解一检验 约分、通分及最简公分母的确定 分式方程 增根：使最简公分母为0的解需舍去 分式混合运算：先分解、再约分、后计算 高频考点 应用题步骤：审、设、列、解、双重检验、答 负整数指数幂与科学记数法 常考类型：工程、行程、销售问题 分式方程解法与增根检验 分式方程实际应用题：工程、行程、销售问题 过主干 核心内容整合 知识点 分式的概念及基本性质 1.分式的概念 (1)分式的概念：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子B叫做分式 (2)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0. (3)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括 号的作用。 A (4)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是B的形式，从 本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简. 2.分式有意义的条件 (1)分式有意义的条件是分母不等于零. 2/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)分式无意义的条件是分母等于零. (3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号. (4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号. 3.分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零. 4.分式的基本性质 (1)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. (2)分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变. 5.约分 (1)约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分， (2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定. ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式。 ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面， ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式 6通分 (1)通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫 做分式的通分. (2)通分的关键是确定最简公分母， ①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数. ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积. 7.最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式. 8.最简公分母 (1)最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的 公分母叫做最简公分母. 一要点速测 1 3ab'c 5 xy 1.(25-26八年级下湖南衡阳期末)在式子a,4,6+x,78中，分式的个数有() 3/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26七年级下·安徽合肥·期末)下列说法正确的是() x2-9 m mx2 A.分式x-3的值为零，则x的值为3 B. 根据分式的基本性质，等式nx2恒成 立 m+1 C.分式3x-2y中的x’y都扩大3倍，分式的值不变 D.分式m+是最简分式 知识点 分式的运算 1.分式的加减法 (1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. (2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异 分母分式的加减就转化为同分母分式的加减. 2.分式的乘除法 (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. (3)分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方 (4)分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算， 即“先乘方，再乘除”， 3.分式的混合运算 (1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减， 有括号的先算括号里面的. (2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式. (3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活 运算 4.分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值. 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果 4/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要化成最简分式或整式. 要点速测 3.(25-26八年级上·山东淄博阶段检测)分式的计算 11）.x2-x (1)x-1x2-1°x2-2x+1 2x-6. @x-22*2 x2+96.x2-92x-x2 +6÷ 4.(26-27九年级上四川资阳开学考试)先化简， x2-3xx-2再求值：从0,1,2,3 中选一个适当的数x,代入求值. 知识点 整数指数幂 aP」 1.负指数幂： ap (a≠0，p是正整数) 2科学记数法：我们可以利用10的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表 示成ax10的形式，其中n是正整数，1≤q<10 要点速测 5.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)我国研究团队获得目前最清晰、最接近真实生理状态的线粒体 原位膜蛋白三维解析结构，局部分辨率高达0.000000018厘米，将0.000000018用科学记数法表示为 6。(26-27八年级上湖南常德阶段检测)计算：-10+（之2+3.14-°-1-2引 5/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 分式方程 1.分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数， 2.分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解。 3.解分式方程 (1)解分式方程的步骤：①去分母：②求出整式方程的解；③检验：④得出结论. (2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解。 ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时，一定要检验 4。换元法解分式方程 (1)解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法， 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对 象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理， (2)我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从 而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现， 5.分式方程的增根 (1)增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或 是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根 (2)增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许 未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整 式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好 是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根， (3)检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果 为0，则是增根：如果不是0，则是原分式方程的根 6.分式方程的应用 6/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答. 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位 等 (2)要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工 作时间等等， 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力， 要点速测 7.(26-27九年级上陕西西安开学考试)若关于x的分式方程x一-x 5+m心=-3无解，那么实数m的值是 8.(2026八年级上山东专题练习)解方程： 14 (00x-2x-4: 2 (2)3x-2+2-3x-5. 9.(26-27九年级上重庆阶段检测)列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括 “状元书历”和“金榜手环”.若购买3本“状元书历”和4个“金榜手环”需花费39元，购买4本“状 元书历”和3个“金榜手环”需花费45元. ()请问每本“状元书历”和每个“金榜手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低3元，“金榜手环”的售价降 低a元.经测算，学校花l500元购进“状元书历”的数量比花600元购进“金榜手环”的数量还少100个， 求出a的值. 研题型 高频题型突破 题型1分式、最简分式、最简公分母 1翻5“人年段上湖商装能期末)代，日，手，号 、3’x,x+2中，属于分式的 7/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解题要点 1.分式与最简分式：分式形如A/B(B≠O),A、B为整式。最简分式要求分子分母无公因式（已约分 彻底)。判断时先分解因式，再约去公因式。 2.最简公分母：取各分母系数最小公倍数，各字母（或因式）取最高次幂，不同因式全部保留，乘积 即为最简公分母。通分时各分母同乘相应因式化为公分母。注意分母不为0。 y 1 迁移练1-1(25-26八年级上湖北荆州期末)y,2x2,62的最简公分母是() A. 22 6xyz 6XVZ B C.2xy D ■迁移练1-2(25-26八年级上湖北孝感·期末)下列各式是最简分式的是() 9 x2y x+y x2-2x+1 A.4x B 4x C.x2-y2 D.x2-3x+2 1x2-112p92 迁移练1-3(25-26八年级上山东济宁·期末)在x,3,4,元，m+n中，分式的个数是 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型2分式的有无意义的条件 1例2(25-26八年级上·湖南株洲：期末)若分式x一3的值存在，则x的取值范围是（) A.x≠3 B.x=3 C.x*-3 D.x=-3 解题要点 1.有意义的条件：分式A/B有意义的条件是分母B≠0。解题时令分母等于0，解出的值即为使分式 无意义的x值，其余值均有意义。 2.值为零的条件：分式值为0需同时满足分子A=0且分母B≠0。两者缺一不可，常用来求含参问题中 字母的值，务必检验分母是否为零，防止增根。 8/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-4 ■迁移练2-1(25-26八年级上新疆和田期末)若分式x-2无意义，则x的值是() A.x=0 B.x=2 C.x=-2 D.x=+2 m+2 迁移练2-2(25-26九年级上广东惠州期末)若代数式m+1有意义，则m的取值范围是() A.m≥-2 B.m>-2 C.m≥-2且m≠-1D.m≤-2且m≠1 迁移练2-3(25-26八年级上·湖南邵阳·期末)已知x为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意 义的是() V2x2+1 A.√2x B C.5+x D.vx2+1 题型3分式的值为0的条件 k 1例3 (25-26八年级上~河北衡水期末)若分式x-的值为0，则k的值为 解题要点 1.分子为零且分母不为零：分式AB=0必须同时满足A=0且B≠0。先令分子等于0求出字母值 再代入分母检验，排除使分母为0的值。 2.注意整体与隐含条件：分子分母可能含参数或整体因式，需先因式分解。求出候选值后务必逐一检 验，确保分母不为0。若分母恒不为0，则只需分子为0即可。结果需取舍。 x2-9 迁移练3-1(25-26八年级上·山东淄博期中)若分式x-3的值为零，则x= 5x+n ■迁移练3-2(25-26八年级上·北京石景山期末)已知分式x+m(m,n为常数)满足表格中的信息， 则m+n的值为， x的值 -2 分式的值 不存在 0 9/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x+3)(x-1) ■迁移练3-3(25-26七年级上上海·期末)如果分式x2-1的值为零，那么x的值为 题型4利用分式的基本性质判断分式值的变化 -b 1例4(25-26八年级上·四川泸州期末)分式a-b可变形为(） b b b b A. B a-b -a-b C.a+b D. a+b 解题要点 1.分子分母同乘除同值：分式的基本性质是分子分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值 不变。据此可判断变形前后是否相等，注意所乘除的式子不能为O。 2.系数化整与符号变化：分子分母各项系数同乘一个数，值不变；分子分母同时变号，值不变（负负 得正)。若只改变分子或分母的符号，则分式值变为相反数。判断时抓住“同”字，避免只变局部。 ■迁移练41(25-26八年级上河北石家庄期末)若把分式x+y中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍 3ab 迁移练4225-26八年级上，安徽铜陵期末)如果把分式20a≠b 中的a、b都扩大为原来的2倍， 那么分式的值() 1 A.缩小为原来的2 B.扩大为原来的2倍 C.扩大为原来的4倍 D.不变 ■迁移练43(25-26八年级上·河南周口·期末)下列变形中，正确的是() 0.2a-b2a-b A.0.3a+2b3a+2b a-b_b-a=-1 B.b-aa-b 1-a_ -(a-)=1 b bc c.a2-1(a+1)(a-1)a+1 D.a ac 10/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5分式的混合运算 例5(25-26八年级上·山东淄博期末)计算： a+b a-b (1)ab ab (1 1. _a (2)a+b a-ba-b 解题要点 1.按序运算与因式分解：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内。运算前对分子分母因式分解 便于约分。除法转化为乘法（乘以倒数），乘法先约分再计算。 2.通分与结果化简：异分母加减需通分为最简公分母，分子相加减后合并同类项。最终结果必须化为 最简分式或整式，注意分母不为0及符号处理（去括号变号）。 ☐迁移练5-1(25-26八年级上山东泰安·期末)计算 、1-m+1m2-1 (1)m-2'm2+4-4m; (x-1 x+3) ÷-9 (2)x2-6x+9x2-3x x-3 ■迁移练5-2(25-26八年级上·重庆江北期末)计算 (I)(a2-ab).a-b:a2-2ab+b2 ab x2-6xy+9y2 5y2 (2)2y-x x+2- x-2y ■迁移练5-3(25-26八年级上山东滨州期中)计算： 2ab3.6a2 -3c)3 b b2: 11/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+1-3 2a-2 (2)八 -1 a+2 题型6分式化简求值 4.x+2 1例6(2526九年级上江西九江期末)先化简，再求值F--x产+x,其中x=2 解题要点 1.先化简再代入：先对分式进行因式分解、约分、通分，化为最简分式或整式。注意运算顺序，除法 转乘法，括号优先。 2.代入与取值限制：将字母值代入化简结果，注意所选值必须使原分式分母不为0且除式不为0。若 题目自选取值，不能取使分母为0的值。结果需化为最简。 1-3） x2-2x+1 ■迁移练6-1(25-26八年级上·甘肃甘南期末)先化简，再求值：x+2 1）.x2-2x 1- ■迁移练6-2(25-26八年级上河南安阳·期末)先化简x+1) x2+x,再从-1,0,1中选一个合 适的数代入求值. a+2a-1）.a-4 迁移练63(25-26八年级上湖南株洲期末)先化简，再求值：（a2-2aa2-4a+4a，a取不 等式2a-1<6的正整数解其中的一个代入求值. 题型7零指数幂、负整数指数幂综合计算 例725-26八年缓上青海稀东期术)计第：()m+红-2- 12/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.牢记公式与条件：a=1（a≠0)；an=l/an(a≠0，n为正整数)。底数不能为0，负指数表示倒数 注意区分底数符号与指数作用范围。 2.统一形式再运算：将负整数指数化为正指数（取倒数），零指数化为1，再按幂的运算法则（同底 数幂相乘除、幂的乘方、积的乘方)计算。结果通常化为正整数指数幂或分数形式，注意符号与最简。 1迁移练(256八年缀上北家海淀期末)计年：（←+-2020+） 1迂移练72(2520八年级上福建福州期末)计算：+(-)严×（红-八-( 1证移练3(2526八年级上甘肃陇南期末)计算：+(-314+(+（←2】 题型8用科学计数法表示绝对值小于1的数 【例8(25-26八年级上云南昆明期末)流感病毒中甲型流感的致病力最强，该病毒的直径大约是 0.0000000816米，0.0000000816这个数字用科学记数法可表示为一. 解题要点 1.确定a与n的取值：形式为a×10n(1≤|a<10,n为正整数)。将原数小数点向右移，直到成 1≤a<10,移动的位数即为n(负指数)。 2.还原与验算：小数点右移几位，n就是几。如0.00025=2.5×104。注意a的符号与原数一致，n必 须为正整数。还原时小数点左移位，检验是否与原数相等。 ■迁移练8-1(25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末)我国研究团队攻克了基带加工过程中的关键技术难题， 成功将哈氏合金轧制成厚度仅0.000046m,宽度0.012m,长度超2000m的超长超薄金属基带，基带表面 粗糙度小于20m,光洁如镜，并具有优异的热稳定性和力学性能.数据0.000046用科学记数法表示为 迁移练8-2(25-26八年级上黑龙江齐齐哈尔期末)“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡 丹开.”这是清朝袁枚的一首诗《苔》.苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示 0.0000084为. m 13/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练8-3(25-26八年级上·黑龙江牡丹江期末)我国科研团队制备出亚lm(纳米)栅极长度的晶体 管，其物理栅长为0.00000000034m,0.00000000034用科学记数法表示为 题型9分式方程的定义 1例9(25-26八年级上内蒙古巴彦淖尔期末)下列方程中是分式方程的是() 1=1 1 A.3+2 B.2x=5-x C.x2+1=0 D.2+二=x 解题要点 1.分母含未知数：分式方程是分母中含有未知数的方程，这是与整式方程的根本区别。如1/x+2=0 是分式方程，而x/2+1=0不是。 2.识别与化简：判断时先看原方程分母是否含未知数，不能先约分再判断。含参问题中，需保证分母 不为0。解分式方程后必须验根，排除使分母为0的增根。 迁移练9-1(25-26八年级上广西贺州期末)下列方程中，属于分式方程的是() A. 2x+3=5 c1=3 D.2x+y=5 ■迁移练9-2(25-26七年级上·上海普陀期末)下列方程中，哪些是分式方程() @:@1:@2i国24中2 、3x+2x_3 31 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ ■迁移练9-3(25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末)下列方程是分式方程的有() x-1 xx+2 x2=1 ①2-1，②x-23x-1:③x=5:④2元 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型10解分式方程 ■例10(25-26八年级上河南驻马店期末)解分式方程： 14/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1_1-x-3 (2)x-22-x 解题要点 1.去分母化为整式方程：先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母，约去分母，得到整式方程。 注意每一项都要乘，不要漏乘不含分母的项。 2.解整式方程并验根：解出整式方程的解后，必须将解代入最简公分母检验。若使公分母为0，则为 增根，需舍去。原方程无解的情况也要说明。 ■迁移练10-1(25-26八年级上山东德州期末)解分式方程 3-2x-X-2 (1 x-22-x 3x+1+X=1 (2)x2+xx+1 ■迁移练10-2(25-26八年级上四川绵阳期末)解方程： 3 (1)x-12-2 =2； 2x2 (2)2x-52x+5 =1 】迁移练10-3(25-26八年级上山东聊城期末)解分式方程： 31 (1)23x-16x-2 1212 (②)x+33-x2-9 题型11根据分式方程根的情况求参数 1k3 例11(25-26八年级上山东临沂期末)若关于x的分式方程×-2×+2×2-4有解，则k需满 足的条件是 15/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 1.化为整式方程分析：先去分母化为整式方程，整理成含参数的标准形式。根据根的情况（有实根、 无解、有增根等)结合判别式或方程次数讨论。 2.验根排除增根：求出参数后，必须将解代入最简公分母检验，排除使分母为0的增根。若题目说 “无解”，可能包含整式方程无解或解为增根两种情况，需分类讨论。 3+m=2+m 迁移练111(25-26七年级上上海期未)若关于x的方程x-4x+4x2-16有增根，则m的值为 1迁移练11225-26八年级上河南商丘期末)已知关于x的分式方程年+-1的解为负数，则k k2xtk 的取值范围是 1 3 ■迁移练113(25-26八年级上·黑龙江大兴安岭期末)若关于x的分式方程×-2×+2×2-4无 解，则满足条件的k值为一 题型12分式方程的实际应用 ■例12(25-26八年级上·黑龙江双鸭山期末)近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注.小明家 里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，己知B款车每千米行驶费用比A 款车多0.45元 (1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为7.5元，B款车的总行驶费用为18.75元. 求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用： (2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元 /千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？ 解题要点 1.审题设元列方程：找准等量关系（如路程=速度×时间、工作总量=效率×时间），设未知数并表示 相关量。根据“时间差”“效率比”等条件列出分式方程，注意单位统一。 2.解方程并双重检验：解分式方程后，既要检验是否为增根（分母不为O),又要检验是否符合实际 意义（如速度、人数为正）。舍去不合题意的解，最后作答带单位。 ■迁移练12-1(25-26八年级上陕西延安·期末)2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引 16/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了A、B两款人形机器人在网上进行预约 销售，每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少1O%,根据网上预约的情况，该公司售 出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出5件。 (1)求该公司每件A款、B款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？ (2)若该公司在网上进行预约销售了A、B两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预 约销售了A款人形机器人多少件？ ■迁移练12-2(25-26八年级上·湖南邵阳期末)2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了 切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用.己 知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200 元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同. (1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ (2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采 购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ ■迁移练123(2425八年级上·重庆北碚·期末)随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品， 某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消 1 费者们的青睐.己知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高3，且商场用8400元购进的A款电热毯的床 数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床， (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进 后，A、B两款电热毯均按高于进价的20%定价出售.若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯4床，总 利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润. 破难点 方法聚焦透析 难点一求使分式为正（负）数时抹知数的取值范围 难点1：分子分母符号的协同判定 17/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分式值为正需分子分母同号，为负需异号。难点在于将“同号”或“异号”转化为两组不等式组，分别求 解后取并集。学生易遗漏其中一组或混淆并集与交集，导致范围缺失。 难点2：分母非零与符号变化的边界处理 分母含未知数时，需先排除使分母为零的值。难点在于当分子或分母含绝对值、平方等结构时，符号随变 量分段变化，需结合数轴标根法或分类讨论，精准确定各区间的符号，否则易将边界值误纳入解集。 难点精练 6-3x 1.(25-26八年级上四川绵阳期末)分式x2的值为正数的条件是（) A.x<2 B.x<2且x≠0 C.0<x<2 D.x>2 2.(25-26八年级上：江苏苏州阶段练习)若分式3x+1的值为正数，则x的取值范围是 3.(25-26八年级上全国课后作业)填空： 1 (1)当x一时，分式-x+5的值为正： -4 (2)当x为—时，分式x2+1的值为负： 2 (3)当x为一时，分式x一1的值为正整数. 难点二求使分式值为整数时未知数的整数值 难点1：分离常数法的等价变形 需将分式拆为“整数+真分式”形式。难点在于通过配凑分子使分式部分分子为常数，学生易在拆分时符 号出错或遗漏常数项，导致变形不等价。 难点2：分母整除分子的条件约束 分式值为整数等价于分母能整除分离后的常数。难点在于枚举分母的所有因数（含正负），并注意分母不 为零的限制。学生常漏掉负因数或忽视原分式的定义域，导致整数解遗漏或增根。 口难点精练 x+2 1,对于非负整数x,使得x+2是一个正整数，则x可取的个数有() 18/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.5 D.6 10x-11 2.若分式2x-1的值为整数，则整数x的值为 a2-2 3.(25-26八年级下江苏泰州期中)己知分式。的值为整数，则所有满足条件的整数，的值为 难点三分式运算有关的规律性问题 难点1：分式序列的结构归纳 给定若干分式等式，需观察分子分母的递变规律及运算形式。难点在于从具体算式中提炼出统一的代数结 构，尤其涉及裂项或交替符号时，易被表面数值迷惑而归纳偏差。 难点2：通项清想的适用范围检验 归纳出通项后，需代入更多情形验证其普遍性。难点在于界定规律成立的字母取值范围（如）为正整 数)，并注意分式有意义的条件（分母不为零)，忽视边界或跳步验证会导致规律误用。 口难点精练 1.观察下列等式： 211 ①1×313： 211 ②2×4249 211 ③3x535: (1)根据以上规律写出第④个等式： 、 (2)用含字母n(为正整数)的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性： 1+1+1 1 (3)利用你发现的规律，计算：1×32×43x5 9×11· 2.观察下列式子，并探索它们的规律： 2242242,24 ①1x3+3×55,②3×5+5×721，③5×77x945… 一十 19/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)请写出第④个等式： (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明. 3.下面是按一定规律排列的一列等式： ①-2：@555：③时名6：0号， 113 113 (1)根据上面等式的规律补全等式：300()()： (2)用含n(n为正整数)的式子表示上述第n个等式： (3)请证明(2)中等式的正确性： (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： 1,11 十…十 1 1×44×77×10 100×103· 难点四与分式及分式运算有关的新定义型问题 难点1：新运算向分式运算的等价转化 题目定义如a※b=a+b 等非常规运算，需将其准确还原为分式的加、减、乘、除。难点在于代入含 a-b 字母的分式时，需同步处理括号、符号与分母有理化，若代入粗心则分式层级错乱。 难点2：新定义与分式有意义的条件叠加 新运算常隐含分母非零、被开方数非负等约束。难点在于求解过程中需始终追踪这些隐性条件，尤其在化 简变形时，若忽视初始定义域则可能保留使分式无意义的值，导致结果失真。 口口难点精练 1.(24-25八年级下河南新乡·期中)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB，则称 分式B是分式A的“关联分式”， 1 1 例如：x+与x+2 11 111 ”x+1x+2(x+1)(x+2),x+1x+2(x+1(x+2) 20/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :、 1 x+2是x+的“关联分式”. 2 2 2 ()已知分式a-1,则a2+1- a2-一的“关联分式”（填“是”或“不是”）： a-b (2)求分式2a+36的“关联分式”： (③)度察（少（2）的结果，寻找规律，直接写出分武的“关联分式” 2.给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”， 2x+42(x+2)2 2x+4 例如，x2-4(x+2)(x-2)x-2,则x2-4是“好看分式”.根据上述定义，解决问题. x+1x+1 (1)分式x2一、2+1：其中是“好看分式”的是 x+m ②)0若分式2x2+4（m为常数且m≠0)是一个“好看分式”，求m的值： x-1 ②若分式2+mx+2（m为常数且m≠0)是一个“好看分式”，求m的值； x+m (3)若分式x2+4x+n（m、n为常数且mm≠0)是一个“好看分式”，且m、n都是正整数，直接写出m 的所有可能结果。 3.(25-26八年级上河北衡水阶段练习)定义.若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的 +1-1+2--1+2=1+2.则 和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.例如，-x-1-x1+x可，则是“和 谐分式”. x+12+xx+2y2+1 (1)下列分式：①x；②2：③x+1;④y,其中，属于“和谐分式”的是_：（填序号） ②将“和谐分式”4-2a+3， a-1一化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式： 3x+6x-1,x2-1 (3)先化简x+1xx+2x,结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数. 21/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 难点五分式方程无解与增根 难点1：增根与无解的逻辑区分 去分母时乘以可能为零的整式，产生增根；而解完整式方程后，若所有根均为增根或整式方程本身无解， 则原方程无解。难点在于学生易将两者混为一谈，遗漏“整式方程无解”这一情形。 难点2：参数讨论中的双重检验 含参分式方程需先求整式方程的解，再代入最简公分母检验是否为零。难点在于参数取值影响整式方程是 否有解，需分情况讨论，同时兼顾分母不为零的原域限制，稍有疏忽则漏解或误判。 难点精练 1(35明南模》者关于的方程，21-品无辑，则从的指是《） A.3 B.2 C.-3 D.-2 2-a5 2.(25-26八年级上河北石家庄期中)若关于x的方程一33-x1有增根.则增根为（） A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=5 6x+3k 3.(24-25八年级上·甘肃平凉期末)若关于x的分式方程x-1x(x-1)x无解，则k的值为 难点六已知方程的根的情况求参数的取值范围 难点1：根的特征向判别式与韦达定理的转化 “有两个实根”“两正根”等条件需分别转化为△≥0、两根和与积的符号约束。难点在于建立完整的不等 式组，学生易遗漏△前提或混淆“两正根”与“同号根”的区分条件。 难点2：参数范围的多重条件求交 不同根情形对应多组不等式，需联立求交集。难点在于处理参数同时出现在二次项系数、判别式及韦达定 理中时，须兼顾二次项系数不为零、定义域限制等隐性条件，否则易产生增解或漏解。 口口难点精练 是+a-2+2a 1.(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)已知关于x的分式方程x-1 十x-1的解是正数，则a的取值 22/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 范围为() A.a≤2 B.a≤2且a≠1 C.a<2且a≠1 D.a<2 2.(2526八年级下全国课后作业)关于x的分式方程242二2的解是非负数，则实数m的取值 m 1-x 范围是() A.m≥-4且m≠0 B.m≤10且m≠-2 C.m<0且m≠-4 D.m≤6且m≠2 2+k-1=k 3.(25-26八年级上湖南岳阳阶段练习)若关于x的方程x+1-1=x一的解为负数，则k的取值范围是- 难点七分式方程有关的规律性问题 难点1：分式方程序列的结构归纳 给定若干特殊分式方程，需观察分母、分子及解的递变规律。难点在于从具体方程中提炼统一的代数结构 或解的模式，尤其涉及裂项或对称形式时，易被数值迷惑而归纳偏差。 难点2：通项猜想的等价验证与范围界定 归纳出规律后，需代入更多情形验证其普遍性。难点在于界定规律成立的字母取值范围（如分母不为零）， 并确保变形过程等价。忽视边界或跳步验证，会导致规律误用或产生增根。 一难点精练 1.(s5八年级扩素头聚【项11片：23：写 【猜想】若n为正整数，请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明. (2)【拓展】 11,1 ①利用你发现的规律计算：1×22×33×4 十…十 2025×2026: 1 1 1 十十 25 ②利用上述规律解答：若2×44×6'6×8 2n(2n+2)的值为104，求n的值. 23/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 1 2.观察下列各式：1x2 2； 111 2×323: 111 3×434 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)n(n+1) 1++++1 (2)请你按利用发现的规律计算：2612n(n+): 1 1 1 1 1 (3)利用上面规律解方程：(x-2)xx(x+2)(x+2)(x+4)(x+2024)(x+2026)x+2026 3.(25-26八年级上广西防城港·期末)探究与应用 【特例分析】 (1)填空： 12 ①x+1x+11的解为x气- 2 4 ②x+1x中11的解为=： 36 ③x+1x+一1的解为x=: 【总结规律】 (2)根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：-· 【解决问题】 (3)请你按照上述规律写出第（为正整数）个分式方程，并求出它的解，（写出解答过程） 验成果 综合达标检测 24/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ©基础达标 一、选择题 5-x2x+1 y25 1.在π，x,3,x2+5x,y,a-x中，分式的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅0.000015米，是世界上最薄的 不锈钢.数据0.000015用科学记数法表示为() A.1.5×104 B.1.5×10 C.15×106 D.0.15×104 3.下列计算正确的是() x A. -=-x x-1"1-x B218 =2 x-33x-9 x-y y x ( C.2x-1x-y2x-1 D.y 4.若关于x的分式方程一2= x-3有增根，则m的值为() A.0 B.2 C.3 D.1 二、填空题 5.分式2x-4,2x的最简公分母是 6.若分式x一3与x+3的值互为相反数，则x的值为一 2xx(x2-1 7.若整数x使式子x-3(x+I)x-3)的值为整数，则满足条件的x的值有- 个. 3x-6≤2(x-2) 8.若整数a使关于x的不等式组3x-a≥2(1-x)恰有两个整数解，且使关于y的分式方程 2a1-3y=2 1-yy-1的解为正数，则整数a的值为 25/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 ) 9.(1)计算： 2 +3-(π-3.14)° 2x=3 (2)解方程：x-44-x 10.分式的化简： a-1-4a-l）÷a2-8a+16 1)“a+1 a+1: a+3*a-3 8 a2+2a+1_ 11.先化简，再求值： a+3 2,其中a -(3.14-π)° a+1 2) 12.雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完， 接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元. ()求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元： (2)如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每个熊猫毛绒玩具的售 价至少是多少元？ 能力进阶 一、选择题 1.下列说法正确的是() x-2 A.3是分式 B.分式的分子为0，则分式的值为0 0 C.将式子a+b)+e写成分数的形式是a十。D.对于任意实数，1十总有意义 2.下列分式计算错误的是() 26/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A÷*以1 x xy 〔 x=1 C.x-x-x-1 1 D.x-1-x 3x+4 A B 3.已知x-x-2x-2+1,其中4、B为常数，则4A-B的值为（） A.7 B.9 C.13 D.52 4若24，且关于x的分式方程33 2-x有正整数解，则满足条件的所有a的取值之和为() A.10 B.12 C.14 D.16 二、填空题 5.若x+y=2,y=-2,则+y的值为， x2 6.小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简x2-1(◆”其中“。”处被弄污了，但 x+1 他知道这道题的化简结果是x一，则“◆”处的式子为一· x-2 a 7.关于x的方程x+2x一41的解是正数，则实数a的取值范围是 及对于任孩丙个学实数。6：定义新运前如下：6-6。，例：}位.芳 2026xy *y=2,则x-y的值为— 三、解答题 9.计算 (1)先化简，再求值： 42 其中x1 32 1； (2)x-ix-1 10.观察以下等式： 27/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1个等式： 第3个等式： 第5个等式： 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第7个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 11.请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和 +1=1+2-x-+2-1+22x-32x+25_2x+2+-5=2+5 谐分式”.例如：x-i=x-1=x-1x-11中x-1'x+1x+1x+1x+1 十 +1,则 x+1,2x-3 x-和x+1都是“和谐分式”. 1-3x M N 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和.解：设2一x+1x一，将等式右边通 M(x-I)+N(x+1)_(M+N)x+(W-M) M+N=-3 M=-2 分，得(x+1)(x-1) x2-1 ，依据题意，得W-M=1,解得N=-1,所以 1-3x-2-1 x2-1x+1x-1· 3-2x (1)0分式x2是 (填“和谐分式”或“非和谐分式”)· 2n+7 M N ②已知n㎡+5n+6n+2n+3,则M= 一’N= x2+5x+7 (2)如果分式x+4的值为整数，求满足条件的整数x的值. 28/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9n+3 3n-1 (3)如果2n2+2 =a,n2-1 b,请用含有a和b的式子表示n2-n 12.定义：如果两个分式M与W的和为常数k,且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k 称为“和整数值”. 例如，M=X,N=1 x+1’ x+1,M+N=x+1 =x+十x+1,则M与N互为“和整分式”，“和整数值”k=1 x-7B= x2+6x+9 (①)已知分式1=。-2,8(c+3)-2)判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值” k;若不是，请说明理由； (②)已知分式C=3x-4.D E x-2, D=x2-4,C与D互为“和整分式”，且“和整数值”k=3 ①求E所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值. ®记(2)中分式0的值为整数，已知分式P,O0了 3-x，且P+Q=t若关于x的方程无解， 直接写出m的值. 29/29