精品解析：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

高三第二次月考试题 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：王义刚 一､选择题：共8小题，每小题5分，在每小题选项只有1个符合题目要求 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的补集，交集运算求解即可； 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 2. 若，则角的终边在（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数在四个象限的符号即可求解. 【详解】因为，所以在所在的象限一正一负， 所以角的终边在第三、四象限. 故选：C . 3. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 4. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 5. 云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 6. 已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ） A. -1或3 B. 1或-3 C. 3 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数，由题意可得，且，解，的方程可得，的值，分别检验，，由极大值的定义，即可得到所求和． 【详解】解：因为，所以，因为函数在处取得极大值10，所以，； 即为①，②， 将，代入第①式可得， 解得，或，． 当，时，，函数在和单调递增，在单调递减，可得在处取得极小值10； 当，时，，函数在和单调递增，在单调递减，可得在处取得极大值10． 综上可得，，满足题意． 则． 故选：C． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 8. 已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作函数的大致图像（实线），平移直线，数形结合得出实数k的取值范围. 【详解】如图，作函数的大致图像（实线），平移直线，由可得，，，故当时，直线与曲线相切；当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；当时，直线经过点，且与的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当时，的图像与直线有3个不同的交点． 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. （多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 成立的条件是角是锐角 B. 若（），则 C. 若（），则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】由诱导公式判断选项A错误；对分类讨论得到选项B错误；利用同角商数关系和诱导公式证明选项C正确；由得或．再证明选项D正确. 【详解】由诱导公式二，知时，，所以A错误． 当（）时，，此时， 当（）时，，此时，所以B错误． 若（），则，所以C正确． 将等式两边平方，得，所以或． 若，则，此时； 若，则，此时， 故，所以D正确． 故选CD 【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值和同角三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“与的夹角为锐角”的充要条件 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A项，利用向量的模的坐标运算，即可判断出结果的正误；选项B，利用向量垂直的坐标条件求解；选项C，由数量积的定义得，再利用充要条件的判断方法即可；选项D，结合数量积与单位向量表示投影向量即可. 【详解】对于选项A，因为，所以，又，所以，故，所以选项A正确； 对于选项B，因为，所以，解得，所以选项B错误； 对于选项C，当与的夹角为锐角时，由，得到， 即，得到， 当时，也可得出，而， 又当时，得到，此时，共线反向， 所以，即“”可以得出“与的夹角为锐角”，所以选项C正确； 对于选项D，时，，在上的投影向量为，所以选项D正确， 故选：ACD. 11. 记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质判断A，利用等差数列的前n项和及通项公式列方程组，运算可判断BD，由前n项和公式判断D. 【详解】S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确； a5＝a1＋4d＝5， (*)，a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0， (**)， 联立(*)(**)解得，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误； ，C正确． 故答案为：ABC 二､填空题：本大题共3小题，每小题5分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 13. 曲线在点处的切线方程为________________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出在点处的切线斜率，再由点斜式方程可得结果. 【详解】由可得， 因此在点处的切线斜率为, 因此切线方程为，即. 故答案为： 14. 一艘海轮从出发，以每小时海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离是________________海里． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的方位角得到的三个内角，然后利用正弦定理解三角形即可. 【详解】 由题意画出图像，由已知可得，，，， 从而． 在中，由正弦定理，得. 故答案为：． 三､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）平面内给定三个向量，若，求实数； （2）已知，的夹角为，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标表示，求得，结合共线的坐标表示，列出方程，即可求解； （2）根据向量的数量积的运算公式和模的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，向量， 可得， 因为，可得，解得. （2）因为，的夹角为，所以， 则，即的值为． 16. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . 【小问2详解】 由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 17. 设函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最值. 【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解． （2）求出的取值范围，然后由正弦函数性质得最值． 【详解】（1） ， ∴的最小正周期是 （2）时，，此时. 最大值为，此时，， 最小值为，此时，. 综上，的最小值为，最大值为. 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简为标准的形态，然后利用正弦函数的性质求解，难度属于中档题 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第二次月考试题 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：王义刚 一､选择题：共8小题，每小题5分，在每小题选项只有1个符合题目要求 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 若，则角的终边在（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 6. 已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ） A. -1或3 B. 1或-3 C. 3 D. -1 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. （多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 成立的条件是角是锐角 B. 若（），则 C. 若（），则 D. 若，则 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. “”是“与的夹角为锐角”的充要条件 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 11. 记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共3小题，每小题5分. 12. 若，则________． 13. 曲线在点处的切线方程为________________________ 14. 一艘海轮从出发，以每小时海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则，两点间的距离是________________海里． 三､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）平面内给定三个向量，若，求实数； （2）已知，的夹角为，求的值． 16. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 17. 设函数. （1）求的最小正周期； （2）当时，求函数的最值. 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $