易错点17. 三角函数的周期性和对称性 讲义-2026届高三数学一轮复习

易错点17 三角函数的周期性和对称性 考场错题剖析 考场错题1 【2026届广东深圳模拟考试校考·错误率：516】已知f-加2x+p(其中回<子)， 将f(x)图象向左平移交个单位后得到8x)的图象，若f(x)与g(x)的图象关于原点对称，则 0=() A四 B. 3 C.- 6 6 D -3 试题解答剖析： 曲题脑8=m+到9]小-sm2+经+p 因为f(x)与g(x)关于原点对称，所以gx)=-f(-x),即 2π sin 2x+ 3 =-sin(-2x+o)=sin(2x-), 2x+2+0j+2-9=+2ae2 2x+2q2r-刚-+29-2xez 解得0=-T+k红(k∈Z), 3 由于<5，所以k=0,此时9= 3 故选D J)土川T， 易导致？求解错误 考场错题2 【2025届河北承德模拟考试校考错误率：49%】（多选）若函数f(x)=2sin A.f(x)的最小正周期为10 B.f(x)的图象关于点 0对称 25 C.f(x)在 上有最小值 15 0,4 D.f(x)的图象关于直线x=二对称 试题解答剖析： 2π T=2=10 π ,A正确. 5 因为f 2sin 9元 ≠0， 100 所以f(x)的图象不关于点 对称，B错误 因为、 2sin 元=2， 15 所以f(x)的图象关于直线x= 对称，D正确 4 由y=sinx的图象可知， 在0 上有最大值，没有最小值，C错误 故选：AD, 试题易错分析：周期公式记错，对称中心条件混淆，区间内单调性与最值分析错误，对称 轴条件记错 考场错题3 【2025届广西来宾·模拟考试错误率：57%】（多选)下列函数中，对称中心为(1,0)的有() A.y=sinx B.y=cos(x-1) 11 C.y=2x-2 D.y=x3-3x2+x+1 试题解答剖析： 对于A:令x=1可得y=sinπ=0， 所以y=sinπx关于(1，O)对称，A选项正确； 对于B:令x=1可得y=cos(1-1)=cos0=1≠0， 所以y=Cosx-1)不关于(1,0)对称，B选项不正确； 对于C令x=1可得y1分0，所以y号关于0对称C选项正喻： 2 对于D:令f(x)=x3-3x2+x+1,则f(1+x+f(1-x) =(1+x3-31+x)2+(1+x)+1+1-x)3-31-x)2+(1-x)+1 =(1+x3-31+x)2+(1-x)3-31-x)2+4 =1+x3+3x+3x2-31+x)}2+1-x3-3x+3x2-31-x2+4 =1+x3+3x2-3x2-3-6x+1-x3+3x2-3x2-3+6x+4 =0,所以y=x3-3x2+x+1关于(1,0)对称，D选项正确： 故选：ACD 试题易错分析：三角函数对称中心求解错误，一次函数对称中心理解错误 ● 易混易错总结 1.三角函数的奇偶性 对于=45in@+p),若为奇函数，则9=eZ:若为偶函数，则p=+a(低e2)对于 y=4cos@x+p),若为奇函数，则p=+∈Z):若为偶函数，则p=红keZ)对于 y=Atan(ox+p),若为奇函数，则p= k(k EZ). 2.三角函数的周期性 求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为y=Asin(ox+p)或y=Acos(@x+p)或 2π y=Atan(ox+p)(A,o,p为常数，A≠0，o≠0)的形式，再应用公式T= (正弦、余弦 型)或T=元 (正切型)求解. o 3.三角函数的对称性 函数f(x)=Asin(ox+p)(A,o,p为常数，A≠0，o≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高 点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x。或点(x。,O)是不是 函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验∫(x)的值进行 错题针对训练 【错误车：4%】1函数f=2c0径-2x是 ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 【错误车：48%】2已知函数了（国=2如2x-引， 则下列说法正确的是() A函数f(创的图象关丁点（行0对称B函数f(纠图象的一条对称轴是直线x=-音 12 C.fx+ 是奇函数 D.若0<x<x2<π，则fx)<f（x2】 【错误率：49o】3.函数/()=asin+6c0sx图象的一条对称轴为直线x=石，则号=() A.5 B.-V5 D.、V5 3 3 【错误车：50%】4已架知函数=smx-}osx-）,则下列说法错误的是() 为奇函数 B.曲线y=f(x)的对称中心为 k.0.kez C.f(x)在区间 上单调递减 D.f(x)在区间 〔）上有一条对称轴 【错误车：526】5已知函数了=5m2+6c2x的图象关于直线x=否对称，() A.∫(x)的最小正周期为2π B.fx-o 为奇函数 c.f八 6-x+f(x)=0 内有唯一的极小值点 【错误率：54%】6.函数f(=4sin(or+pl4>0,0>0,o<5) 的部分图象如图所示，则下 列说法正确的是() 123 A.∫(x)的最小正周期为π B1在[到 上单调递减 C.直线x=-1匹为f(x的一条对称轴 12 D.若fx+日)为偶函数，则0=红+工，k∈Z 212 【错误率：53%】7.已知函数fx=sin0x+o>0)的图象关于点行0对称，且在 上有且只有两条对称轴，则0= 【错误率：60%】8.设f(x)=2V3cos +xsinx+(sinx+cosx)2-1. (1)求f(x)的最小正周期及y=fx)图象的对称轴方程； (2)讨论f(x)在 π5π 6’6 上的单调性及最值。 答案以及解析 1.答案：A 解析：因为f(x)=V2cos -2-sm2x 所以T 2亚=元，f-x)=V2sin(-2x刘=-2sin2x=-f(, 所以f(x)是最小正周期为π的奇函数. 故选：A 2.答案：B 解析：对于A, =2sin=V5,则函数fx)的图象关于点 不对称，A不正确： 对于B,因)2m（引-2，页f=2,则数图象的一条对称销是宜线 B正确； rc到m+引哥引ma引 令8=f+引-2m2x+引，8--2m-2r+引 8=2m2+写引-2n2-司引-g到，所以不是奇函数，c不正确： 对于D,取=2,2 5π 显然有0<x<x<元，而f(x)=2sin=2, fx)=2snξ=1，此时>f,D不正确 故选：B 3.答案：C 解析：由题意可得a≠0，b≠0， b f(x=asinx+-bcosx-=√a2+b'sin(x+p),其中tanp=2，p∈[0,2m), 由函数f(x)图象的一条对称轴为直线x= 6 即有元+0=+2km(keZ),即p=+2k(keZ), 6 3 a11V3 又p[0,2),故p=3,故b 3 nπV53. 3 故选：C. 4.答案：C 解=n-}o个 2π 可得f八x- =2sinx-π=-2sinx, 可得fx- 3 为奇函数，A选项正确： 令f(x)=2sin x-- =0, 解得x-了m,即x=m+子，k∈乙， 所以向线)=)的对移中心为怎+号0 k∈Z,B选项正确； 所以八四在区间（餐】 上先增后减，C选项错误； 令x-=k标+x=kx+5亚，k∈Z, 6 π4π 当k=0时f)在区间33 上有且仅有一条对称轴x=5π，D选项正确 6 故选：C 5.答案：BD 解析：辅助角公式化简原函数为f(x)=V1+b'sin(2x+p), 其中ianp=b,-<p< 2 2 因为f(x)图象关于直线x=一工对称，根据正弦型函数的性质有 12 2x+p=+5keZ,即0=k+ke. 又tanp=b, m+m-5kez, b=3,则f(y=2sin(2x- A选项：f(x)的最小正周期为T= 2 B选项： +-2sm2x+ =2sin2x,为奇函数； C选项： f g小1=2mg引2n2x到 -2sin )+a-)-2sins+)(2-3) =4sin2x-3不恒为0， D选项当则2x 当2x-=-亚+kπk∈Z)时，fx)取得极小值， 32 因比只有2x号受，即x为难一的极水值点 12 故选：BD. 6.答案：ACD 解析：图可知：A=3,T-马-T=,则π=2→0=2， 43124 0 当=5时，函数取得最大值，所以2×+p=号 12 12 =匹+2km,keZ, 又e<号所以p-号所以f倒=3sn2x+ 对A,f(x的最小正周期为π，正确： 可知y=3sint在 2n,-刀不是单调的，故错误： -3,6 对C,由x=- ，,所以2x+不-，所以八取得最小值3 32 直线x=-为∫(x)的一条对称轴，故正确： 12 对D,f(x+0)=3sin 2x+20+ 3 为偶函数， 所以20+-正+k机三0=红+五，k∈Z,故正确 32 212 故选：ACD. 7.答案：8 解析：函数f=snor+》o>0关了点（行0对称， 所以o刀+T=km,k∈Z,所以o=-1+3k,k∈Z, 33 要使函数在区间 ππ 42 上有且只有两采对移销，所以好号子7， 因为m>0,所以<≤3江，所以4<0≤12，所以0=5或0=8或0=11， < 204-0 当o-5时，（任引，则5竖 函数只有一个对称轴不合题意； 当0-8时，x(任引则x+骨（骨4红+到函数有且只有阿条对粉轴行合愿应： 函数有三条对称轴不符合题意； 所以0=8. 故答案为：8. 8.答案：1)最小正周期为元；对称轴方程为x=正+，k∈Z: 122 (2)f(x)在 π7π [7π5π 612 上单调递减，在 126 上单调递增：f(xm=-2-5，f(xx=0 解析：f=-25sin2x+2 sin xco=5cos2x-5+sm2x=2sn2x+}-5 (1)f(x)最小正周期T= 令2x+=元】 +ka,keZ,解得：x=及+，keZ 32 122 x对称轴方程为x=+,k乙 122 (2)x∈ T5兀.2x+∈，2π 6 6 3 令2x 解得：x=7 2 f在612 π7π 7π5π 上单调递减， 在126 上单调递增 -f）2-5,n-2s晋-5=0