精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025年秋季学期期中教学质量监测 八年级数学试题卷 范围：第十三章至第十五章 考时：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分． 2．答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息． 3．选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答．填涂、书写在试题卷上的一律无效． 4．考试结束，试题卷、答题卷一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．一个图形沿着一条直线对折后直线两侧的部分能够重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】、是轴对称图形，故不符合题意； 、不是轴对称图形，故符合题意； 、是轴对称图形，故不符合题意； 、是轴对称图形，故不符合题意； 故选：． 2. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 3. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的中线与面积、直角三角形的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的高、角平分线和中线可得，，，再根据直角三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：∵在中，是高，是角平分线，是中线， ∴，，，则选项A和C正确； ∴，，则选项B正确； ∵， ∴ ，则选项D错误； 故选：D． 4. 如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点P，测得，则池塘两岸间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项． 【详解】解：设， ∵， ∴由三角形三边关系定理得：， ∴，所以间的距离可能是， 故选：D． 5. 如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：这样做的道理是三角形具有稳定性； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释． 6. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键． 利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、平行线的性质即可确定答案． 【详解】解：由图①知，根据同角的余角相等得：； 由图②知，根据等角的补角相等得：； 由图③知，根据两直线平行，内错角相等得：； 由图④知，，则，故与不一定相等； ∴图中与一定相等的有3个， 故选：C． 7. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和． 利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ． 故选：C． 8. 已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角与内角和定理，先设三角形三个内角分别为，，，再根据三角形的内角和定理列式，得出每个具体的角，再算出对应的外角，最后化简，即可解答． 【详解】解：三角形三个内角的比为， 设这三个内角分别为，，， ， 解得， 这三个内角分别为，，， 这三个内角的外角分别为，，， 这个三角形三个外角的比为，即， 故选：B 9. 如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求的值． 【详解】解：过D点作于E，如图， ∵是的平分线，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10. 已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性． 根据绝对值的非负性，平方的非负性得到，可知的形状是等边三角形． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，根据尺规作图的痕迹，等于_________度． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，根据作图判断出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， 由作图知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：100． 12. 如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，黑棋③的坐标是，则黑棋②关于y轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，关于轴对称的点的坐标，正确建立直角坐标系成为解题的关键．先根据黑棋①和黑棋③的坐标建立坐标系，得到黑棋②的位置其坐标，再根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：根据题意可建立如下所示坐标系： ∴黑棋②的坐标是， ∴黑棋②关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图①，MN为平面镜，AO，OB分别为入射光线和反射光线，则，如图②，一束光沿CD的方向射入，经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知，则的度数为_________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查平面镜反射和三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，根据平面镜反射的原理可得，，再利用三角形内角和定理得到的度数，从而得到的度数． 【详解】解：∵一束光沿的方向射入，经过平面镜，反射后，沿方向射出， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，为正北方向，且，则的度数是________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了方位角的计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据题意可得，，根据求得，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．根据题意，可以求得的度数，再利用平行线的性质，角平分线的定义求解，再利用含的直角三角形的性质求解，证明，求解，从而可以求得的长． 详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 尺规作图．不写作法，保留作图痕迹．如图，过点A作射线交于点D，且． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的判定，以A为顶点，在的上方，向左作，交于D即可． 【详解】解：如图，点D即为所求， 17. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要洲量工件内槽宽，只要测量哪些量？为什么？ 【答案】只要测量，理由见解析 【解析】 【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A’B’上．测量方案的操作性强． 【详解】只要测量A’B’． 理由：连接AB，A’B’，如图， ∵点O分别是A A’、BB’的中点， ∴OA=OA’，OB=OB’． 在△AOB和△COB’中， OA=OA’，∠AOB=∠A’OB’（对顶角相等），OB=OB’， ∴△AOB≅△A’OB’(SAS)． ∴A’ B’=AB． 答：需要测量A’ B’长度，即为工件内槽宽AB． 【点睛】本题考查全等三角形应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 18. 如图，在中，，，平分交于点D，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，角平分线的定义和三角形内角和定理，先由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可由三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分交于点D， ， 19. 如图，在与中，于点E，于点D，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据定理证明，得，然后结合即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴． 20. （1）如图，已知，分别作出关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）和直线n（直线n上的各点纵坐标都为）对称的图形，其对称的图形分别记为和，并写出的坐标； （2）已知点，请分别写出它关于直线m和直线n对称的点的坐标． 【答案】（1）详见解析，的坐标分别为；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查画轴对称图形，点的坐标； （1）根据对称图形的特点画图，再结合题意写出坐标即可； （2）根据对称图形的特点求出坐标即可． 【详解】解：（1）和如图所示： 的坐标分别为． （2）点关于直线m和直线n对称的点的坐标分别为： ． 21. 如图是的正方形网格，正方形的顶点为格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中选择格点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形（画出一种即可）． （2）在图2中选择格点P，使得为等腰三角形． ①画出一个符合条件的等腰三角形； ②填空：满足为等腰三角形的格点P共有_________个． 【答案】（1）见解析（答案不唯一） （2）①见解析（答案不唯一）；②6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形、等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的格点问题是解题关键． （1）根据轴对称图形的定义作图即可得； （2）①根据等腰三角形与网格特点作出，由此即可得； ②根据等腰三角形与网格特点画出，，的所有情况，由此即可得． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求（答案不唯一）． 【小问2详解】 解：①如图，等腰三角形即为所求（答案不唯一）． ②满足为等腰三角形的格点如下： 由图可知，满足为等腰三角形的格点共有6个． 故答案为：6． 22. 观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下： ①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接； ②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）； ③连接并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在延长线上的落点记为点D； ④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角． 操作体验： （1）根据“观察发现”中信息重现刘师傅的画法．如图2，．请画出以点A为顶点的直角，记作，保留作图痕迹，不写作法． 推理论证： （2）如图1，请用所学数学知识，说明木匠刘师傅“木条画直角法”的数学原理． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作线段、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先延长至点，再在射线上截取，连接，则即为所求； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的内角和定理求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23. 综合与实践 【模型背景】如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？这个问题就是教材中的“牧民饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点B，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，并请你帮助小明完成填空．以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的_________， _________， ． 在中，，（___________________________） ，即最小． “牧民饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决． 【模型应用】 如图④在等边中，E是上的点，D是的中点，P是上的点，若，求的最小值． 【模型拓展】 如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，求的大小． 【答案】[模型解决]对称轴或垂直平分线，，三角形两边之和大于第三边或两点之间线段最短；[模型应用]6；[模型拓展] 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． [模型解决]利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． [模型应用] 连接，，过C作于H，根据等边三角形的性质可得出是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出，则，故当C、P、E三点共线，且，即E和H重合时，取最小值，最小值为，然后根据等面积法求出，即可求解； [模型拓展]设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】解：[模型解决] 在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接． 点B与点关于直线l对称， 直线l是对称轴（或垂直平分线）， ， ． 在中，，（三角形两边之和大于第三边或两点之间线段最短） ，即最小． [模型应用] 连接，，过C作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵D是的中点， ∴，， ∴是垂直平分线， ∴， ∴， ∴当C、P、E三点共线，且，即E和H重合时，取最小值，最小值为， ∵，，， ∴， ∴的最小值为6； [模型应用] 分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 24. 如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． （1）若点． ①求点B的坐标； ②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）； （2）如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系． 【答案】（1）①；② （2），详见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）①作轴交x轴于点，作轴交x轴于点，根据得到，，根据等角的余角相等得到，根据证明，得到，，即可求出点B的坐标； ②同①证明，得到，，，求出直线、直线的解析式，联立即可求出点E的坐标； （2）延长，使，连接，，，证明，得到，，，进而得到，，根据等角的余角相等得到，根据多边形内角和得到，进而得到，根据得到，进而得到，证明，得到，，进而得到，可知为等腰直角三角形，根据可知M为等腰直角三角形斜边上的中点，根据三线合一及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【小问1详解】 解：①如图，作轴交x轴于点，作轴交x轴于点， ∵， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 即； ②解：∵， ∴，， ∵垂直y轴于点C，轴于D， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 即，； 设直线解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 即直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 当时，， 此时， 即； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长，使，连接，，， ∵M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∵， ∴M为等腰直角三角形斜边上的中点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中教学质量监测 八年级数学试题卷 范围：第十三章至第十五章 考时：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分． 2．答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息． 3．选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答．填涂、书写在试题卷上的一律无效． 4．考试结束，试题卷、答题卷一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 3. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点P，测得，则池塘两岸间的距离可能是（ ） A B. C. D. 5. 如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 6. 将一副直角三角尺按如图所示不同方式摆放，则图中与一定相等的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 已知三角形三个内角的比为，则这个三角形三个外角的比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知a，b，c是的三边长，且，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，根据尺规作图的痕迹，等于_________度． 12. 如图，这是围棋棋盘的一部分，若建立平面直角坐标系后，黑棋①的坐标是，黑棋③的坐标是，则黑棋②关于y轴对称的点的坐标为______． 13. 如图①，MN为平面镜，AO，OB分别为入射光线和反射光线，则，如图②，一束光沿CD的方向射入，经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知，则的度数为_________． 14. 如图，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，为正北方向，且，则的度数是________． 15. 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的长为_________． 三、解答题（共75分） 16. 尺规作图．不写作法，保留作图痕迹．如图，过点A作射线交于点D，且． 17. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要洲量工件内槽宽，只要测量哪些量？为什么？ 18. 如图，在中，，，平分交于点D，求的度数． 19. 如图，在与中，于点E，于点D，．求证：． 20. （1）如图，已知，分别作出关于直线m（直线m上各点横坐标都为1）和直线n（直线n上的各点纵坐标都为）对称的图形，其对称的图形分别记为和，并写出的坐标； （2）已知点，请分别写出它关于直线m和直线n对称的点的坐标． 21. 如图是的正方形网格，正方形的顶点为格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图． （1）在图1中选择格点C，D，以A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形（画出一种即可）． （2）在图2中选择格点P，使得为等腰三角形． ①画出一个符合条件的等腰三角形； ②填空：满足为等腰三角形的格点P共有_________个． 22. 观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下： ①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接； ②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）； ③连接并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在延长线上的落点记为点D； ④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角． 操作体验： （1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，．请画出以点A为顶点的直角，记作，保留作图痕迹，不写作法． 推理论证： （2）如图1，请用所学数学知识，说明木匠刘师傅“木条画直角法”的数学原理． 23. 综合与实践 【模型背景】如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？这个问题就是教材中的“牧民饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点B，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，并请你帮助小明完成填空．以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的_________， _________， ． 在中，，（___________________________） ，即最小． “牧民饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决． 【模型应用】 如图④在等边中，E是上的点，D是的中点，P是上的点，若，求的最小值． 【模型拓展】 如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，求的大小． 24. 如图1所示，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，． （1）若点． ①求点B的坐标； ②如图2，若垂直y轴于点C，轴于D，与交于点E，求点E的坐标（直接写出结果）； （2）如图3，P为第一象限的一动点，Q为x轴上的点，，且，M为的中点，试探究与的数量关系与位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $