精品解析：甘肃省兰州市多校联考2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，答案写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则的值为（     ） A. B. C. 或 D. 或 3. 数列，，，，，的第8项是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知等比数列的公比，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 20 5. 已知为等比数列，若，且与之和算术平方根为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等差数列，若，“”，“”，则是（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 在等比数列中，是数列的前项和．若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 直线过点与，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5 C. 数列是等差数列 D. 当时，的最大值为11 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知在等比数列中，若它的首项为，公比为，则通项公式为_______. 13. 已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 14. 已知数列满足，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 若各项均为正数等比数列满足.求：公比q 16. 菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求： （1）AD边所在直线的方程； （2）对角线BD所在直线的方程． 17. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）求经过、两点的直线方程； （2）求在x轴、y轴上截距分别是、的直线方程； （3）求经过点且斜率为的直线方程． 18. 设数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 19. 设数列前项和为，且. （1）求； （2）记，数列的前项和为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，答案写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 2. 若直线与直线平行，则的值为（     ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因直线与直线平行，则，解得. 故选：A. 3. 数列，，，，，的第8项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用观察法分别写出分子和分母的通项公式． 【详解】重写数列的前5项，，，，， 通过观察得该数列的通项公式为，， 所以第8项为． 故选：B． 4. 已知等比数列的公比，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为是等比数列，且， 所以. 故选：C. 5. 已知为等比数列，若，且与之和的算术平方根为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用等比数列的公式性质，结合算术平方根的概念可解. 【详解】为等比数列，若，则，则. 又与之和的算术平方根为5，得到，则，则. 则，则.， . 故选：A. 6. 已知数列是等差数列，若，“”，“”，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，结合充分性和必要性做出判断. 【详解】因为数列为等差数列， 当时，显然任意的，均满足，但不一定满足， 即“”推不出“”，必要性不成立； 由数列是等差数列，设该数列的公差为，若， 则 ， 即“”能推出“”，充分性成立. 因此，是的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知点，，，且满足，点D为AB的中点，则的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】设D点坐标，由中点坐标转化可得，即得点D的轨迹，利用点与圆的位置关系，即可求得的最大值. 【详解】解：根据题意可得，设D点坐标，可知，，则，， 又，代入得，即，可得D点是在以点为圆心，半径为1的圆上， . 故选：C． 8. 在等比数列中，是数列的前项和．若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式列方程求解. 【详解】设的公比为， 则，解得， 由，解得， 所以， 解得 故选：C 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 直线过点与，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程的五种形式分别判断各选项. 【详解】由直线过点与， 则直线的斜率， 则直线方程的点斜式为，C选项正确； 其一般式为，即，A选项正确； 截距式为，B选项错误； 斜截式为，D选项错误； 故选：AC. 10. 已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可得到答案. 【详解】由题意得，，可知选项A正确； 又由题意知，，可得，可知选项C正确，D错误． 故选：AC． 11. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5 C. 数列是等差数列 D. 当时，的最大值为11 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可知数列是首项为20，公差为的等差数列，可得，即可知A正确；易知，利用二次函数性质可得当最大时，的值为5或6，故B错误；由等差数列前项和公式可得，即，所以C正确；解不等式可得，所以可知D正确. 【详解】由，得， 所以数列是首项为20，公差为的等差数列， 则， 令，得，即，故A正确； 易知 利用二次函数性质可知当最大时，的值为5或6，故B错误； 由，所以， 所以数列是等差数列，故C正确； 令，则，解得，所以当时，的最大值为11，故D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知在等比数列中，若它的首项为，公比为，则通项公式为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可求得结果. 【详解】在等比数列中，若它的首项为，公比为，则. 故答案为：. 13. 已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 【答案】1或 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案. 【详解】由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 14. 已知数列满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意整理数列的通项公式，利用列举法与观察可得通项，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 可得，即，经检验，符合题意， 故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 若各项均为正数的等比数列满足.求：公比q 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定等式，结合等比数列意义列出方程求解作答. 【详解】各项均为正数的等比数列满足，则有， 整理得，而，解得， 所以. 16. 菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6,－5)，BC边所在直线过点P(8,－1)．求： （1）AD边所在直线的方程； （2）对角线BD所在直线的方程． 【答案】（1）2x－y＋15＝0 （2）5x－6y＋1＝0 【解析】 【分析】（1）由两直线平行可得直线AD的斜率，再由直线的点斜式写出其方程. （2）由斜率存在且不为0的两直线垂直，则斜率之积为，再求AC的中点坐标，由点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 ，∵AD∥BC，∴． ∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0． 【小问2详解】 ∵． 又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴． 又∵AC的中点，也是BD的中点， ∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0． 17. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）求经过、两点的直线方程； （2）求在x轴、y轴上的截距分别是、的直线方程； （3）求经过点且斜率为的直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两点式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． （2）由截距式方程表示出所求直线的方程，化简为一般式方程即可得出答案． （3）由点斜式方程表示出所求直线方程，化简为一般式方程即可得出答案． 【小问1详解】 由两点式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． 【小问2详解】 由截距式方程，可知所求直线的方程为， 化为一般式方程为． 【小问3详解】 因为经过点，由点斜式方程可得：， 化为一般式方程为． 18. 设数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，即可求得数列的通项公式； （2）根据题意，由分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，则，即， 从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 且当时，也满足， 所以故． 【小问2详解】 由（1）可得，则， 故 ． 19. 设数列的前项和为，且. （1）求； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用推出，由等差中项法得为等差数列，根据与求出公差，可得通项公式； （2）根据进行裂项求和可求出结果. 小问1详解】 由， 当时，，解得， 当时，， 所以， 整理得：，① 所以有，② ①-②可得， 所以为等差数列， 因，所以公差为， 所以. 【小问2详解】 ， ∴ . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $