精品解析：福建省三明第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

三明一中 2025-2026学年上学期高一半期考 数学试卷 （考试时间: 120分钟 满分: 150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 下列各函数中，是指数函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2. 已知函数是奇函数，当时，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义运算求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以. 故选：B. 3. 已知，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质及中间值比较大小. 详解】，， ∵，∴， ∴， 故选：A. 6. 已知，则等于（　　） A. 2 B. C. D. ± 【答案】D 【解析】 【分析】由，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：D． 7. 在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 是成立的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定判断A；由一元二次不等式解集求出判断B；求出函数图象过的定点判断C；求出不等式的解，结合充分不必要条件定义判断D. 【详解】对于A，命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 因此，，A正确； 对于B，由不等式的解集为， 得且和是一元二次方程的两个根， 则，解得，因此，B错误； 对于C，由，得函数（且）的图象恒过定点，C错误； 对于D，由，得，则是成立的充分不必要条件，D正确. 故选：AD 10. 下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　) A. 与lg 1＝0 B. ＝与log27＝－ C. log39＝2与＝3 D. log55＝1与51＝5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数式与对数式互化的结论逐个分析可得答案. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C不正确； 对于D，，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数对任意实数均满足，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 函数在区间上不单调 【答案】ACD 【解析】 【分析】用替换，则，可推导，即可判断；利用赋值法可判断；由可判断；计算满足的的值，由此可得，即可判断. 【详解】选项，中， 用替换，则， 两式相减得：，即可得：，故正确； 选项，令，则，需求， 令，则，需求， 令，则， 因为为偶函数，所以， 所以， 由上述两式可得：， 所以，故错误； 选项，由选项知，，故正确； 选项，，注意到两系数之和为3， 若令， 则有，所以， 令，求得，取， 则，即，则， 即函数在区间上不单调，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：验证抽象函数的奇偶性时，可取一对相反数代入；抽象函数求某一点函数值的问题可尝试代入，，等特殊值，再通过式子的加减变换求出所求的函数值. 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，是偶函数，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和性质分析求解. 【详解】因为函数，是偶函数， 则，解得，可知， 且，即， 整理得，结合的任意性可得，即， 所以. 故答案为：4. 13. 若，则=_______ 【答案】24 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：24 14. 已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，解不等式可得：，讨论和的大小关系，确定不等式的解集，结合函数图象确定解集中的两个整数解，进而确定的取值范围. 【详解】由于函数，作出图象如图所示： 由可得：. 当时，，不等式无解； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，，， 则整数解和，又， ∴； 当时，由得：， 若不等式恰有两个整数解，由于，则整数解为和， 又， ，∴， 综上所述：实数的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）5 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，计算即可得答案. （2）根据对数的运算法则，计算即可得答案. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 16. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）求函数的解析式，并用定义证明在区间上是减函数； （2）解不等式 【答案】（1），证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，代入可求得b值，根据定义法证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、结论，即可得证. （2）由（1）可得在是减函数，且为奇函数，则条件可化为，列式求解，即可得答案. 【小问1详解】 由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，解得， 所以 证明：任取，且，即 ， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以在区间上是减函数. 【小问2详解】 由（1）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得， 所以解得， 所以不等式的解集为. 17. 已知幂函数在区间单调递增. （1）求k的值; （2）若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）1 （2）存在m=3 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，可求得k值，根据的单调性，分析判断，即可得答案. （2）由（1）得，则，分别讨论对称轴、和三种情况，根据二次函数的性质，求解即可得答案. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由 （1） 函数的解析式为， 由函数，得， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， ①当即时，则，解得，满足题意； ②当时，即时，则，无解，舍去； ③当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4. 18. 铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）. （参考数据，） 【答案】（1）选②，理由见解析； （2）（i）（ii）分钟 【解析】 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为定值排除①③, 代入数据②中求参数得函数解析式； （2）（i）根据指数函数的性质可知稳定在；（ii）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【小问1详解】 由所给数据可知，函数应该为减函数，故③为增增函数，不合题意；又，，，不是常数，故①不符合题意；故选②. 则，解得， 所以. 【小问2详解】 （i）由可知，且无限趋近， 所以由题意室温为. （ii）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； （3）若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再利用不动点的定义求解； （2）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解； （3）由题意得到，进而得到，利用对勾函数的性质求解. 【小问1详解】 解：当时，， 设为不动点，因此， 解得或， 所以为函数的不动点. 【小问2详解】 因为恒有两个不动点， 即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立. 即对于任意恒成立. 令， 则， 解得 【小问3详解】 因为， 所以， 设，因为，所以， 由P函数性质得在上单调递增， 所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中 2025-2026学年上学期高一半期考 数学试卷 （考试时间: 120分钟 满分: 150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 下列各函数中，是指数函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是奇函数，当时，，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知，最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 4. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 若，，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知，则等于（　　） A. 2 B. C. D. ± 7. 在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数（且）的图象恒过定点 D. 是成立的充分不必要条件 10. 下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　) A. 与lg 1＝0 B. ＝与log27＝－ C. log39＝2与＝3 D. log55＝1与51＝5 11. 已知函数对任意实数均满足，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 函数在区间上不单调 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，是偶函数，则_______． 13. 若，则=_______ 14. 已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1） （2） 16. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）求函数的解析式，并用定义证明在区间上是减函数； （2）解不等式. 17. 已知幂函数在区间单调递增. （1）求k的值; （2）若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 18. 铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 7603 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； （2）根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）. （参考数据，） 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. （1）当时，求函数不动点； （2）若对任意实数n，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围； （3）若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $