精品解析：福建省三明第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

三明一中2025-2026学年上学期高二半期考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2. 点到直线的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，计算即可得答案. 【详解】点到直线的距离. 故选：C 3. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线性质可得、，即可得解. 【详解】由，则，解得，，故. 故选：B. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以. 解得. 故选： 5. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求得异面直线与所成角，即可得答案 【详解】设正方体的棱长为，以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则, 所以, 所以, 所以, 异面直线与所成角为90°，其余弦值为0. 故选：C. 6. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 且直线的方程为，故其方向向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 可得，所以直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 已知椭圆，、分别是的左、右焦点，是上异于左右顶点的动点，记的内切圆面积为，的外接圆面积为，若的最小值为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点三角形的性质表示焦点三角形内切圆半径与外界圆半径，结合面积比可知半径比，结合焦点三角形定角的取值范围可知当在短轴端点时，取得最值，代入即可得解. 【详解】 如图所示，设，，， 由椭圆定义可知， 在中，由余弦定理可得， 则，所以， 又的周长为， 则内切圆半径， 又在中，由正弦定理可知，为的外接圆半径， 即， 所以， 由椭圆的对称性可知， 如图所示，当点为短轴端点时取得最大值为， 所以取得最小值为， 又的最小值为， 即的最小值为，即， 即，化简可得， 等式左右同时除以， 可得，即， 由椭圆离心率， 则， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，分别为两不同平面，的一个法向量，为直线的一个方向向量，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间位置关系向量法依次判断即可. 【详解】对于A，当时，或，故A错误； 对于B，当时，则，故B正确； 对于C，当时，则，故C正确； 对于D，当时，，又，则， 若直线与两平面交线平行，则与垂直，所以与不一定共线，故D错误. 故选：BC. 10. 已知直线被圆截得的弦为，则（　　） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心到直线距离为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的方程易得圆心和半径，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式即可逐一判断各选项. 【详解】由配方得：， 则圆心为，半径为，故A错误，B正确； 圆心到直线的距离为，故C正确； 又，故D错误. 故选：BC. 11. 已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，满足，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. B. 的方程为 C. 当直线与相切时， D. 存在线段，使得内心在外部 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意利用向量的坐标运算可求出P点的轨迹方程，即可判断AB；联立直线和曲线方程，可得判别式等于0，求出相关参数的值，可判断C；为直角三角形，设其内切圆半径为r，结合圆心与曲线的位置关系，可求出半径的取值范围，即可判断D. 【详解】由题意可设， 而，故， 由，得，则可得， 所以，故，即， 故的方程为，B错误； 由，得， 故，当且仅当时等号成立，A正确； 当直线与相切时，设直线的方程为， 联立，得， 则，即得， 又因为在直线上，故， 代入，得，联立， 解得， 由，得，则，C正确； 由椭圆的对称性，不妨取内心在第一象限内情况， 为直角三角形，设其内切圆半径为r，则内切圆圆心为， 若内心在外部，则需满足，即； 又，则， 由于，设，由于考虑的是第一象限情况（可包含坐标轴）， 故，则， 设，则， 则， 由于，故与矛盾， 即不存在线段，使得内心在外部，D错误， 故选：AC 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量在向量上的投影向量为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的坐标公式进行求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 13. 双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的周长为______． 【答案】22 【解析】 【分析】根据得到，根据双曲线的性质得到点在双曲线的左支上，然后利用双曲线的定义得到，最后求周长即可. 【详解】 因为焦距为8，所以，则，， 因为，所以点在双曲线的左支上，则， 所以的周长为. 故答案为：22. 14. 已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理. 【详解】由题意设点，，， 因为，是圆的切线，所以，， 所以在以为直径的圆上，其圆的方程为: ，又在圆上， 将两个圆的方程作差得直线的方程为：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，，，，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为，如图所示: 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：和直线：. （1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； （2）若，求两直线与间的距离. 【答案】（1）定点，距离为 （2） 【解析】 【分析】先求出直线的定点，再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线之间的距离公式即可得到答案. 【小问1详解】 直线：恒过定点， 定点到直线的距离为. 【小问2详解】 由，则，即， 此时：，即，：，满足， 则两直线与间的距离为. 16. 已知圆的圆心是抛物线的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） 不存在符合题意的直线，理由如下： 方法一：假设存在符合题意的直线，设， 则两式相减，得，即， 所以直线的斜率， 若点是的中点，则，所以， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，消去得，，方程组无解 即该直线与抛物线没有两个交点，不符合题意，即直线不存在. 方法二：假设存在符合题意的直线，设， 依题直线的斜率不为0，设其方程为， 联立方程组，消去x得， 所以， 则，解得， 所以，解得， 此时，与矛盾， 所以假设不成立，即符合题意的直线不存在. 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出圆心和半径，结合抛物线标准方程，可求出p值，即可得答案. （2）方法一：设，，利用点差法，求出直线l的斜率k，进而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，得关于y的一元二次方程，检验判别式，方程无解，所以不成立；方法二：设l方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理，求出m、n的值，检验与矛盾，故无解. 【小问1详解】 圆的方程可化为， 故圆心的坐标为. 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. （1）证明：平面PAD； （2）求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； （3）在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为为棱PC的中点，所以且， 又，故， 又，故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3）存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行和边长关系，故四边形为平行四边形，，从而证明出线面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出面面角的余弦值； （3）设，，求出，在（2）基础上，平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式得到方程，求出，求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，交线为，又，平面， 故平面， 因为平面，所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，故， 设平面PDM和平面BDM的夹角为， 则； 【小问3详解】 设，，， 故，所以， 故， 由（2）知平面的一个法向量为， 点到平面BDM的距离是， 解得或（舍去）， 此时 若存在点，使点到平面BDM的距离是，PQ的长为 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. 【小问1详解】 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 【小问3详解】 法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 19. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025-2026学年上学期高二半期考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 点到直线的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. 空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，、分别是的左、右焦点，是上异于左右顶点的动点，记的内切圆面积为，的外接圆面积为，若的最小值为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知，分别为两不同平面，的一个法向量，为直线的一个方向向量，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知直线被圆截得的弦为，则（　　） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心到直线距离为 D. 11. 已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，满足，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. B. 的方程为 C. 当直线与相切时， D. 存在线段，使得内心在外部 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量在向量上的投影向量为___________． 13. 双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的周长为______． 14. 已知直线：与轴相交于点，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，两点，记是的中点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：和直线：. （1）求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； （2）若，求两直线与间的距离. 16. 已知圆的圆心是抛物线的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱PC的中点. （1）证明：平面PAD； （2）求平面PDM和平面BDM的夹角的余弦值； （3）在线段PA上是否存在点，使点到平面BDM的距离是？若存在，求PQ的长；若不存在，说明理由. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 19. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $