广东省惠州市东江高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

惠州市东江高级中学2024级高二上期中考试数学试卷 参考答案 题号 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 A C B A A ABC BC ABD 1.A【解】x-V5y+2025=0,k==5 设倾斜角为a,a∈[0，)，：k=tana, 号-ama,ae0,,a=名故选：A 2.D【解】在空间直角坐标系中，点(1,2,3)关于xOy平面的对称点坐标为(1,2，-3).故选：D ,C【解)因为直线4：r+y-2=0,:2x+(a+y+2=0,且上h,所以2a+a+1=0,解得a 4.B【解】因为 可-B+丽-丽+m-丽++丽)-西+a-西+丽，)-6+a-万+d-a+万+d)】 5.A【解】圆的半径r=V5,圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为 d-B-2-6i0 3P2.则4B=22-250 6.C【解】直线1a+ya+1=0,即a-y1-=0,令0可得直线/经过定点u-. -1-12, 23k8L.直线1：a心+y-a+1=0与线段AB相 1-4 山图可得，则直线的新幸取位范图是引L+小.故运：C 7.D【解】两点A(-1,0),B(0,2),则AB=V(-12+2=V5, -3-2-10234 直线方程为y=2x+2,圆(x-2)2+y2=1的圆心C(2,0),半径=1， 6 6 圆心C到直线AB:2x-y+2=0的距离d= 22+-5, B 因此点P到直线距离的最小信为d-r=方1， 6 所以aP8面积的最小值是×5行-小岁检选：D 2 8.A【解】如图所示，连接CA,CB, 由平面几何知，CA⊥PA,CB⊥PB,点P,A,C,B共圆，且CP为直径 因为P(3,2),C(1,),所以所求圆的圆心为PC中点， 副引半径为Pq-0-旷+2--5. 所以所决国的方器为-2+至即rr--+50 又直线AB为这两个圆的公共弦所在直线， 由C:(x-1)2+(y-1)2=3与x2+y2-4x-3y+5=0相减，可得AB的方程为2x+y-6=0.故选：A 9.ABC【解】对于A,直线的倾斜角为90°，所以该直线与横轴垂直，所以直线方程为x-2=0,A正确： 对于B,直线2x-y+5=0的斜率为2，在y轴上的截距为5， 可得直线2x-y+5=0经过第一、二、三象限，故B正确： 对于C,过点(2，-1)且斜率为-√5的直线的点斜式方程为y-（-1)=-V3(x-2),故C正确： 对于D,斜率为一2，在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x+3,故D错误.故选：ABC 10.BC【解】由ā=(1，l,0),万=(0，l,),得a=V2,=2,a-i=1, 可得cos<a,b>= 回之-即向量ā与向量6的夹角不是元，所以A错误 ab 1 由题意得a-b=(1,0,-1),c=(1,2,1),则(a-b)c=1-1=0,即a-b)1c,所以B正确： 由题意得(a+)=(1,2,),c=(1,2,),则(a+)=c,所以(a+b)1c,所以C正确： 向量ā在向量6上的投影向量为 荷a者r 所以D错误.故选：BC 11.ABD【解】如图建立空间直角坐标系， A(0,0,0),B(1,0,0),A(0,2,0),D(0,0,1),C(1,2,1,B(1,2,0),由AP=aA4+bAB+cAD可得：P(b,2a,c, 对于A, 即为BC的中点，所以点P在平面ABC内，正确， 对于B, 111) AC=(1,0,1),AB=(1,-2,0), D C 由BP.AC=0,BP·AB=0, Z 可知：B,P⊥AC,B,P⊥AB,又AC,AB为平面ABC两条相交直线， 所以BP⊥平面ABC,正确， 对于C,AP=(b,2a,c),设i=（x,y,z)为平面ABC的法向量， B 则AC·i=(1,0,1)(x,y,z)）=x+z=0,AB万=1，-2,0）k,y,2卡x-2y=0, 令x=1,则y=2=-1,即=分又4i-（5小，2ad小=b+a-c=1, 所以4P与n不垂直，所以AP/平面ABC不成立，错误； 对于D,PA=(-b,2-2a,e)小，平面48C的法向量为i=（ 所以点P到平面ABC的距离为 -b+l-a+c 3 -b+1-a+c_2 因为a+b-c=0,所以 3 ,定值，正确，故选：ABD 4 三、填空题12. -/0.8 13.3v5 14.2W2 5 12. 50.8 -3-54 解：两平行直线6x+8y-3=0与6x+8y+5=0间的距离为： V62+825 13.3V5【解】根据空间向量的线性表示可达CA=CA+CB+CD,即可由模长公式求解 C=(CA+CB+CD)=CC+CD+CB+2CC.CD+2CB.CD+2CC.CB =32+32+32+2×3×3c0s60°+0+2×3×3c0s60°=45， 故CA=V45=3W5. 14,2√2【解】圆C的圆心为C(-2,1),半径为2√2， -8-1-8 圆心C到直线l的距离为 42+(-1 =√7>22，则直线1与圆C相离， 4×52_6+1-8=0 设点C关于l的对称点为C(x,),则 2 ,解得 x0=6 6-11 %=-1' x+24 即C(6,-l),由对称性可知，|CM=|CM,CP=V(6-2}+(-1-32=4W2, 因为N为圆C上一点，则MW≥CM-2W2, 所以MN+MP≥MC+MP2W2=MC MPH22≥P↓2迈=4D-2=2. 当且仅当P、M、C,三点共线，且N为线段CM与圆C的交点时， 上述两个等号同时成立，故MW+MP的最小值为2√2.故答案为：2√2， 15.【解】(1)因正方体ABCD-ABCD的棱长为1，所以DD,=DC=BC=1,而E是线段DD,的中点， 因此DE= 21分 由勾股定理得，5C=5,DB=5,2分 2 因F是线段BD的中点，所以DF=BF= 3分 在直角三角形中，CF是其斜边上的中线，故CF=BD- 2 …4分 由勾股定理得，F= 5分 因此，EF2+CF2=EC2,故△EFC是直角三角形，其中∠EFC=90°，故EF⊥FC…6分（也可建系） (2)以点D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系7分 则o时》r7,c@o).cu)-…9分 D F-222》c-o 10分 1 EF.CG 4 √15 设直线EF与CG所成角0，则cos0 EF CG 3x515l3 22 16.【解】(1)由直线2：2x+3y-8=0,可得y= 28 3t+ 3 1分 所以直线飞的斜率为子 2分 故所求直线方程为：)-4，， …4分 化简得2x+3y-14=0. 所以经过点A(1,4)且与直线2平行的直线方程为2x+3y-14=0.5分 x-2y+3=0 (2)联立 2x+3y-8=0'解得 =2即直线4与马的交点为1,2)，…7分 x=1 当直线的截距都不为0时，由题意可设直线方程为+上=1，…8分 aa 依题意+2-1，解得a=3. 10分 a 此时直线方程为：x+y-3=0: 11分 当直线的截距都为0时，直线经过原点，可设直线方程为y=.…l2分 代入(1,2)得k=2,此时直线方程为y=2x.14分 综上所述：所求直线方程为y=2x或x+y-3=0.15分 17.【解】(1)设CP∩DE=G,连接FG,1分 因为四边形PDCE为矩形，所以G为PC的中点，2分 由F为PA的中点∴AC1IFG,又FGc平面DEF,AC文平面DEF,5分（一个条件一分） 所以AC/平面DEF.6分（也可建系） (2) B 由题意建立以D为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 7分 因为D=点48=D-号00-1，则：0aoau0a02AP吃o马 8分 ,DB=(11.0) …9分 2y+√2z,=0 设平面DEF的法向量为m=(x,y1,),.1 …11分 取m …12分 所以点B到平面DEF的距离d= D-m 3V万 …13分（公式、过程、结果各1分） m V14 7 2 故点B到平面DBF的距离为37 7 18【解】(1)设圆心C(a,b),因为圆经过点A(3,-1)和B(2,6),且圆心C在直线x+y-1=0上， a+b-1=0 所以 V(a-3)2+(b+102=a-2)2+6-62' …2分 a+b-1=0 a=-1 整理得 a-7b+15=0'解得： b=2 …3分 所以，圆心为(-1,2)，半径为V-1-32+(2+=5,…4分 所以，圆C的标准方程(x+1)+(y-2)=25..5分（圆的一般式方程也给满分） (2)因为(4+1)2+(1-2)2≠25，所以M(4,)不在圆C上， 当所求切线斜率不存在时，直线方程为x=4,…6分 此时圆心(1,2)到直线x=4的距离为5，等于圆的半径，…7分 所以，切线方程为x=4. 当直线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x-4),即-y-4k+1=0…8分 根据圆心到切线的距离等于半径，可得-2秋+刊-5，即-5-=5， …9分 Vk2+1 √k2+1 两边平方得5k+2=25k2+1),解得太=号，…10分 所以切线方程为y-1号x-4,即12x-5-48=0.…Ⅱ分 所以，过点M(4,1)作圆的切线，切线方程为x=4或12x-5y-43=0.…12分 (3)由(1)知圆C的圆心为C(-1,2),半径为r=5, 根据点到直线的距离公式，圆心C(-12)到直线y=2x+m的距离d-上2-2+川-_加-4.13分 V22+(-2√5， 因为圆C上有两个点到直线上y=2x+m的距离等于2， 所以r-2<d<r+2,即5-2<m<5+2,即35<m-4到<75，…15分 √5 m-4>3v5或m-4<-3v5 所以 …16分 -75<m-4<75 解得：4+35<m<4+75或4-7√5<m<4-3√5. …17分 所以，m的范围为(4-7V5,4-3W5)U(4+35,4+7W5） 19.解：(1)证明：因为∠ =90°，所以1，…1分 因为⊥底面 c平面 ,所以1，…2分 因为n c平面，c平面，所以 1平面 …3分 因为c平面，所以平面 1平面。…4分 B (2)①证明：连接，， 因为1平面，c平面，所以上，…5分 因为为的中点，所以 =克，同理，有 ，…6分 因为1底面 c平面 ,所以1， 因为为的中点，所以= ,.7分 因此= = = 所以为四棱锥一 的外接球的球心； …8分 按如图所示建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，易知为底面四边形 外接圆的圆心则（2,0)，设=， 则(，》 (0,0,a),(2V2,0,0),(2W2,1,0),=2W2n0,-), =(W,》 …9分 由上，得 =0,即4-气-0，得=22，故（2V2) .10分 =|=受，故四棱锥一 的外接球半径为受 …11分 (解：由（①）知 =(2y2,0,0), =(W22,V2), =(2V2,1,0),…12分 设平面 的法向量为=(，，， Z 由 A店=0得 2W2x=0 元AF-0{N2x+2y+V2z=0 y D 则=0，取=1， =-2V2, 得平面 的一个法向量为=(0，-2V2,1),.13分 M 设平面 的法向量为=(X0y0,Z0) 元AC=0 2V2x+y0=0 由 得 元.AF=0N2x0+2y0+V220=0 解得0=0，令0=1，得0=-2V2,故=(1，-2√2,0)，…14分 设平面 与平面夹角为， 则cos (0,-2√2,1)(1，-2√2,0) c222+12x12422 .16分 故平面 与平面 夹角的余弦值为 …17分 惠州市东江高级中学2024级高二上期中考试 数学 试卷 2025.11 全卷满分150 分,时间 120 分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题满分5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，选对得5分，选错得 0 分. 1.直线 的倾斜角为( ). A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中，点(1，2，3)关于xOy平面的对称点坐标为( ) A.(-1,-2,-3) B.(-1,2,-3) C.(-1,-2,3) D.(1,2,-3) 3.已知直线l₁: ax+y-2=0, l₂:2x+(a+1)y+2=0,若l₁⊥l₂, 则a=( ) A. - 1或2 B.1 D.1或-2 4.如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,N是A₁B的中点,若 则 =( ) 5.直线3x-y-6=0截圆 所得的弦长AB=( ) 6. 已知两点A(-2,1),B(4,2),直线l: ax+y-a+1=0与线段AB相交, 则直线l的斜率的取值范围是( ) 7. 两点A(-1,0),B(0,2), 点P是圆 上任意一点，则△PAB面积最小值是 ( ) 8.过点P(3,2)作圆C：的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为( ) A. 2x+y-6=0 B. x+2y-7=0 C. x-y+1=0 D.3x+y-9=0 二、多项选择题：本题共3 小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9.下列说法正确的有( ) A. 过点(2,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-2=0 B. 直线2x-y+5=0经过第一、二、三象限 C.过点(2,-1)且斜率为 的直线的点斜式方程为 D.斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3 10.已知向量=(1,1,0),=(0,1,1), =(1,2,1),则下列结论正确的是( ) A.向量与向量的夹角为π B.(-)⊥ D.向量在向量上的投影向量为 11. 如图, 在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中, AA₁=2AB=2, P是正四棱柱 内一点(含表面)，且 ，则下列结论正确的是( ) A.若 则点P在平面A₁BC₁内 B. 若 则B₁P⊥平面A₁BC₁ C. 若a+b-c=1,则AP∥平面A₁BC₁ D. 若a+b-c=0, 则点 P到平面A₁BC₁的距离为定值. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题5 分，共15分. 12. 两平行直线6x+8y-3=0与6x+8y+5=0间的距离为 . 学科网（北京）股份有限公司 13.在科技浪潮奔涌的今天，矿石是芯片等高科技产业不可或缺的原料基石。如图，某矿石晶体的形状为四棱柱 底面ABCD是正方形， 且 则向量 的模长 为 . 14.已知圆C 直线l: 4x-y-8=0, M为直线l上一动点, N为圆C上一动点, 定点P(2,3),则 |MN|+|MP|的最小值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图在棱长为1的正方体. 中,E, F, G分别是DD₁, BD, BB₁的中点. (1)求证:EF⊥CF; (2)求EF与CG所成角的余弦值； 16.(15分)已知直线l₁: x-2y+3=0,l₂: 2x+3y-8=0. (1)求经过点A(1，4)且与直线l₂平行的直线方程； (2)求经过直线l₁与l₂的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 17.(15分)如图,四边形 ABCD 为梯形,∠ADC =∠BAD = 90°,,四边形 PDCE 为矩形, PD⊥ 平面ABCD, F 为 PA的中点， (1)求证:AC∥平面DEF ; (2)求点B到平面DEF 的距离; 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分)已知圆心为C的圆经过点.A(3,-1)和B(2,6), 且圆心C在直线x+y-1=0上. (1)求圆C的方程； (2)过点M(4，1)作圆的切线，求切线方程； (3)圆C上有两个点到直线上.y=2x+m的距离等于2，求m的范围. 19.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD, BC=CD=1, AC =3,∠ABC=∠ADC (1)求证:平面PBC⊥平面PAB. (2)若F为PC的中点,且 (i)求证：四棱锥P-ABCD的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； (ii)求平面BAF与平面AFC夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $