精品解析：江苏省无锡市梁溪区2025-2026学年上学期八年级数学期中考试卷

2025年秋学期期中学业水平抽测八年级数学试题 （考试时间为90分钟，试卷满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 9的算术平方根是（　　） A. 81 B. C. 3 D. 2. 下列各数中，属于无理数的是（　　） A. 0 B. 0.101001 C. D. 3. 圆周率，如果要求精确到，那么近似值取（　　） A. B. C. D. 4. 如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A. 4倍 B. 8倍 C. 32倍 D. 64倍 5. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 6. 下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A. 两个底边相等的等腰三角形 B. 两个斜边相等的直角三角形 C. 两个周长相等的长方形 D. 两个面积相等的圆 7. 如图，已知，，添加下列哪个条件可证明（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知，与交于点，若，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，平分交于点．若，，则到的距离是（　　） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 8 10. 如图，中，，在角平分线上，设，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 、大小不确定 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：＝_______． 12. 找一个无理数，使，这个无理数可以是_____．（只要填写一个正确的答案） 13. 已知等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的第三条边长是______cm． 14. 已知等腰三角形顶角的角平分线长，则这个等腰三角形底边上的中线长是_____cm． 15. 如图，有一块长50cm的木板斜靠在一个直立于地面的墙面上，木板的上缘离地面的距离是30cm，则木板的下缘离墙面的距离是______cm． 16. 如图，已知等边，在延长线上，在上，若，则_____． 17. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要_______． 18. 如图，中，在上，将沿翻折得到，设，，则与的数量关系是______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 求下列各式中的： （1）； （2）． 20. 如图，在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）_________可以通过怎样的图形变换得到？ 21. 如图，中，，，，在上，垂直平分，垂足为，求的周长． 22. 如图，中，，，，是边上的中线，求的长． 23. 如图，小明用一根长的绳子围成一个直角三角形，已知这个直角三角形的最短边的长度为，请你求这个直角三角形的面积． 24. 放学后，爸爸带小莉在餐馆用餐，爸爸指着装饮料的小玻璃瓶问小莉，能不能测量出小玻璃瓶内部底面的直径？小莉看了一下她的文具盒，里面有一把直尺和一枚图钉，桌上还有两根用于搅拌饮料的细长的扁木棒（如图为示意图）．请你帮小莉设计一个测量方案并说明理由． 25. 如图，在下面的网格图中，每个网格都是边长为1的小正方形．四边形的四个顶点都在格点上，点、分别是、上的动点，当的周长最小时，请在图中画出，计算出它的周长，判断它的形状并说明理由． 26. 我们知道，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们学习的勾股定理．那么对于非直角三角形，三条边的平方之间又存在怎样的数量关系呢？请你写出这个数量关系，并画出对应的图形给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中学业水平抽测八年级数学试题 （考试时间为90分钟，试卷满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 9的算术平方根是（　　） A. 81 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义，得出9的算术平方根是3． 【详解】解：9的算术平方根为3； 故选：C． 2. 下列各数中，属于无理数的是（　　） A. 0 B. 0.101001 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比，选项A、B、C均为有理数，选项D为无理数 【详解】∵ A. 0 是整数，∴ 是有理数； ∵ B. 0.101001 是有限小数，∴ 是有理数； ∵ C. 是分数，分子和分母均为整数，∴ 是有理数； ∵ D. = ，而 是无理数（因为3不是完全平方数），且1是有理数，∴ 是无理数； 故选：D 3. 圆周率，如果要求精确到，那么近似值取（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到，只需要对万分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：，精确到，则近似值取， 故答案为：． 4. 如果一个正方体的体积扩大到原来的64倍，那么它的棱长扩大到原来的（　　） A. 4倍 B. 8倍 C. 32倍 D. 64倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查立方根的实际应用，理解体积与棱长的关系是关键． 设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍，得到，求出，由此得到答案． 【详解】设原棱长为a，新棱长为b，体积扩大到原来的64倍， ∵原正方体的体积为，新正方体的体积为， ∴， ∴， ∴棱长扩大到原来的4倍． 故选：A． 5. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 根据若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，逐项验证即可． 【详解】∵ 对于选项A：，，， ∴ 2，3，4不能作为直角三角形的三边长； ∵ 对于选项B：，，， ∴ 3，4，5可以作为直角三角形的三边长； ∵ 对于选项C：，，， ∴ 4，5，6不能作为直角三角形的三边长； ∵ 对于选项D：，，， ∴ 5，6，7不能作为直角三角形的三边长， 故选：B． 6. 下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A. 两个底边相等的等腰三角形 B. 两个斜边相等的直角三角形 C. 两个周长相等的长方形 D. 两个面积相等的圆 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查全等图形的定义，全等图形必须形状和大小完全相同，选项A、B、C中，图形可能因其他参数（如腰长、直角边、长宽比）不同而不全等；选项D中，圆的全等仅取决于半径，面积相等则半径相等，故一定全等． 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B、两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C、两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D、∵ 圆的面积公式为 ，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等； 故选：D 7. 如图，已知，，添加下列哪个条件可证明（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键； 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴添加时，利用可证， 故选：B． 8. 如图，已知，与交于点，若，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和的定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，中，，平分交于点．若，，则到的距离是（　　） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 即点D到的距离是5. 故选：A． 10. 如图，中，，在角平分线上，设，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 、大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】在上截取，连接，证明，可得，根据三角形三边的关系即可证明结论． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中，， 而， ∴， ∵， ∴即， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的应用，作出辅助线后灵活运用全等三角形的判定和性质和三角形三边关系求证是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：＝_______． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：． 12. 找一个无理数，使，这个无理数可以是_____．（只要填写一个正确的答案） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，掌握无理数的概念是解题的关键； 根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∵为一个无理数， ∴无理数可以是，等， 故答案为：． 13. 已知等腰三角形的两条边长分别为和，那么它的第三条边长是______cm． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答是解题的关键．根据等腰三角形的定义，两条边相等，需分类讨论哪一边为腰，再根据三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否构成三角形，求解即可． 【详解】解：若腰长为，则底边长为，此时，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形； 若腰长为，则底边长为，此时，满足三边关系，故第三条边长为， 故答案为：8． 14. 已知等腰三角形顶角的角平分线长，则这个等腰三角形底边上的中线长是_____cm． 【答案】 6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，理解三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，因此它们长度相等． 【详解】∵等腰三角形顶角的角平分线长6cm，且根据等腰三角形的性质，顶角的角平分线与底边上的中线重合， ∴这个等腰三角形底边上的中线长是6cm． 故答案为6． 15. 如图，有一块长50cm的木板斜靠在一个直立于地面的墙面上，木板的上缘离地面的距离是30cm，则木板的下缘离墙面的距离是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理解答即可． 【详解】由图可知：木板，墙面，地面形成直角三角形， 所以木板的下缘离墙面的距离为， 故答案为：． 16. 如图，已知等边，在延长线上，在上，若，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由是等边三角形，则，然后通过三角形外角性质和等腰三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用；先将长方体的侧面展开，再根据“两点之间线段最短”和勾股定理计算得出结果即可． 【详解】解：将长方体展开，连接，如图， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上， 且， ∴， 根据两点之间线段最短，； 故答案为：． 18. 如图，中，在上，将沿翻折得到，设，，则与的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠性质，平角、周角定义，由折叠性质可知，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了对平方根和立方根的定义的理解能力和计算能力； （1）根据平方根的定义开平方，即可求出方程的解； （2）根据立方根的定义开立方，即可求出方程的解． 【小问1详解】 解：直接开平方，得； 【小问2详解】 解：直接开立方，得， ∴． 20. 如图，在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）_________可以通过怎样的图形变换得到？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）沿方向． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平移的性质，全等三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后通过“”即可求证； （）根据平移性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：沿方向平移可以通过怎样的图形变换得到， 故答案为：沿方向． 21. 如图，中，，，，在上，垂直平分，垂足为，求的周长． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，首先求出，然后根据垂直平分线的性质得到，然后等量代换求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∵ ∴的周长． 22. 如图，中，，，，是边上的中线，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题是有关直角三角形的问题，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 结合是边上的中线，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，据此即可解答． 【详解】解：因为中，，，， 所以， 又因为是边上的中线， 所以． 23. 如图，小明用一根长的绳子围成一个直角三角形，已知这个直角三角形的最短边的长度为，请你求这个直角三角形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意得到另外两条边的长度和为，设较长直角边长度为x，则斜边长为，然后根据勾股定理求出较长直角边长度为，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵这个直角三角形的最短边的长度为， ∴这条边是较短的直角边， ∴另外两条边的长度和为 设较长直角边长度为x，则斜边长为 根据勾股定理得， 解得 ∴较长直角边长度为 ∴这个直角三角形的面积为． 24. 放学后，爸爸带小莉在餐馆用餐，爸爸指着装饮料的小玻璃瓶问小莉，能不能测量出小玻璃瓶内部底面的直径？小莉看了一下她的文具盒，里面有一把直尺和一枚图钉，桌上还有两根用于搅拌饮料的细长的扁木棒（如图为示意图）．请你帮小莉设计一个测量方案并说明理由． 【答案】 解：如图，用图钉将两根长度相等的小木条的中点钉在一起，木条可以绕中点O自由转动，把木条伸进容器内，转动木条，使内部两木条的顶点紧贴容器，这时测量 ，的长就是玻璃容器的内径. 在和中， ∵， ∴， ∴. 故的长就是玻璃容器的内径． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，正确理解题意，设计图形根据全等三角形解决问题是解题的关键． 【详解】略 25. 如图，在下面的网格图中，每个网格都是边长为1的小正方形．四边形的四个顶点都在格点上，点、分别是、上的动点，当的周长最小时，请在图中画出，计算出它的周长，判断它的形状并说明理由． 【答案】 如图， 的周长最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，轴对称的性质——最短距离，根据网格可知，作关于对称点，关于对称点，连接，交于点，交于点，则即为所求，然后通过网格与勾股定理即可求出的周长最小值为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据网格可知，作关于对称点，关于对称点，连接，交于点，交于点， 则即为所求； 理由：由作图可知，， ∴的周长为， ∴根据两点之间线段最短可知，即为所求， ∴的周长最小值为． 26. 我们知道，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们学习的勾股定理．那么对于非直角三角形，三条边的平方之间又存在怎样的数量关系呢？请你写出这个数量关系，并画出对应的图形给予证明． 【答案】 解：在中，为最大角，所对的边为； （1）当为锐角时，则； （2）当为钝角时，则； 证明如下： （1）过点作于点，如图1所示： ， ∴和都是直角三角形， 设，其中， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． （2）过点作，交的延长于点，如图2所示： ， ∴和都是直角三角形， 设，其中， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，正确地作出三角形的高构造直角三角形是解决问题的难点．在中，为最大角，所对的边为；（1）当为锐角时，则；（2）当为钝角时，则；（1）当为锐角时，过点作于点，设，其中，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，进而得，由此即可得出结论；（2）当为钝角时，过点作，交的延长于点，设，其中，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，进而得，由此即可得出结论． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $