精品解析：陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

陕西师大附中2025—2026学年度第一学期 期中考试九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 如图，在中，、分别是边、上的点，且，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 在四边形中，对角线与交于点，且，．在下列条件中，能够判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值，则当气体的体积为m3时，气体的气压最接近（ ） 气体的体积 3 2 1 0.5 气体的气压 32 48 96 192 A. 120 B. 100 C. 96 D. 90 7. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若与关于原点位似，且的面积是面积的，其中的对应点为，的对应点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 9. 如图，在四边形中，对角线与交于点，且．若，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（为常数），当时，；当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分，计18分） 11. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为______． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 13. 一个口袋中有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有79次摸到红球，估计这个口袋中红球有______个． 14. 在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为______ ． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点．若，，则该双曲线的表达式为______． 16. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，．若为线段上一点，分别以、为边向右构造，则的最小值是______． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，已知正方形，为延长线上一点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在中，对角线与交于点，且．若点，，，分别是，，，的中点，连接、、、，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 21. 中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展．组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念． （1）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为______； （2）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明先从中随机抽取1张，志愿者小亮再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 22. 一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 23. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点在同一水平直线上，点在同一条直线上，均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：） 24. 已知二次函数的图象经过点，，． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后对应的二次函数表达式． （3）直接写出当时，平移后对应的二次函数的最大值与最小值． 25. 问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025—2026学年度第一学期 期中考试九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在中，，故该选项不符合题意； B、在中，，故该选项符合题意； C、在中，，故该选项不符合题意； D、在中，，故该选项不符合题意； 故选：B 2. 如图，该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是明确左视图是从几何体的左边观察得到的图形． 根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，看得见的线用实线表示，看不到的线用虚线表示，即可判断． 【详解】解：从左边看几何体，分为上下两个矩形，中间的线可见，为实线，C选项符合题意； 故选：C 3. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，将已知根代入方程，直接求解的值即可． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴代入得 ， 即， ， ， ， ． 故选：D． 4. 如图，在中，、分别是边、上的点，且，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由平行线求相关线段的长或比值，根据，得，又因为，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 在四边形中，对角线与交于点，且，．在下列条件中，能够判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 添加当时， 能判定四边形是菱形；故A不符合题意； 添加， 则四边形是菱形，故选项B不符合题意， 添加，则， ∴四边形是矩形；故选项C符合题意； 添加， ∴四边形为菱形，故D不符合题意； 故选：C． 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值，则当气体的体积为m3时，气体的气压最接近（ ） 气体的体积 3 2 1 0.5 气体的气压 32 48 96 192 A. 120 B. 100 C. 96 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表中数据，气压p与体积V的乘积均为96，故p与V成反比例关系，即，代入计算即可得p值． 【详解】解：∵由表数据：， ∴，即p与V成反比例关系． 当时，． ∴ p为， 故选A． 7. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若与关于原点位似，且的面积是面积的，其中的对应点为，的对应点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于原点位似，且的面积是面积的， 与的相似比为， ∵的对应点为，的对应点为，则 ∴点的对应点为C， 点的坐标为， 点的坐标为或， 即或， 故选：D 8. 若一个三角形两边长分别等于一元二次方程的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为（ ） A. 18 B. 17 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键． 先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项． 【详解】解： 则 ， 解得：， ∴这个三角形的两边的长为7和9， ∴第三边长x的范围为，即； 则该三角形的第三边的长可以为15． 故选D． 9. 如图，在四边形中，对角线与交于点，且．若，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，，证明，再把，，代入进行计算，得，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知抛物线（为常数），当时，；当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，由当时，可得一个关于的不等式；由当时，随增大而减小，可得对称轴的位置条件，从而列出另一个不等式，联立求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得． ∵抛物线开口向上（），且当时，随增大而减小， ∴对称轴满足， 解得． 综上，的取值范围为． 故选C． 二、填空题（共6小题，每题3分，计18分） 11. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则的长为______． 【答案】 12 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据四条线段，，，成比例，得，再代入，，，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∴ ∵，，， 得， 解得， 故答案为：12． 12. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为y轴．据此求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故答案为：． 13. 一个口袋中有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有79次摸到红球，估计这个口袋中红球有______个． 【答案】6##六 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率． 先求出摸到红球的概率，再乘以口袋中总球的个数，即可得出口袋中红球的数量． 【详解】解：由题意可得， 摸到红球的概率为， 则这个口袋中红球的个数：（个， 故答案是：6． 14. 在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为______ ． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据，得，结合四边形的周长为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 即四边形的周长为， 故答案为：28． 15. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点．若，，则该双曲线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，先由点在直线上得出，再由点，在双曲线上得，求出，进而可求出该双曲线的表达式． 【详解】解：点在直线上， ∴， ∴． ∵点，在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，（舍去）， ． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，．若为线段上一点，分别以、为边向右构造，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先充分理解题意得，结合为线段上一点，分别以、为边向右构造，得，过点B作，再作点P关于直线的对称点，则，当三点共线时，则的最小值是，然后证明四边形是矩形，四边形是矩形，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线与交于点，，， ∴， ∵为线段上一点，分别以、为边向右构造， ∴， ∵ ∴ 过点B作，再作点P关于直线的对称点，连接，且 交于一点T，如图所示： ∴， 则， 当三点共线时，则的最小值是， ∵为线段上一点， ∴为线段上的一点， 此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（共9小题，计72分．解答应写出过程） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算． （1）直接代入特殊角的三角函数值计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的性质化简，再算加减． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ∴． 19. 如图，已知正方形，为延长线上一点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，先理解题意，分析要使得，目前已有，故过点B作，交于点，即可作答． 【详解】解：依题意，过点B作，交于点， ∵，， ∴． 20. 如图，在中，对角线与交于点，且．若点，，，分别是，，，的中点，连接、、、，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】 四边形是菱形，证明如下： ∵，且四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∵点，，，分别是，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得四边形是菱形，则，又因为点，，，分别是，，，的中点，则，即，进行作答． 【详解】略 21. 中华人民共和国第十五届运动会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以国家一级保护动物中华白海豚为原型设计，象征团结互助、生态保护及粤港澳大湾区协同发展．组委会现将3张正面印有“喜洋洋”和2张正面印有“乐融融”图案的明信片（明信片的形状、大小、质地都相同）送给志愿者留作纪念． （1）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为______； （2）将这5张明信片背面朝上，洗匀，若志愿者小明先从中随机抽取1张，志愿者小亮再从剩余的明信片中随机抽取1张，请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的明信片图案恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求解概率，以及根据概率公式求解概率，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据概率求解公式求解即可； （2）先列出树状图，然后分别找到所有的等可能性的结果数，其中恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的结果数，最后依据概率求解公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有5张明信片，其中有2张“乐融融"图案的明信片， ∴志愿者小明从中随机抽取1张，则抽取的明信片上的图案恰好为“乐融融”的概率为； 【小问2详解】 解：设用、，代表图案是“喜洋洋”的明信片，用、代表图案是“乐融融”的明信片，列树状图如下所示： 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的结果数有12种， ∴恰好一个是“喜洋洋”，一个是“乐融融”的概率． 22. 一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 23. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点在同一水平直线上，点在同一条直线上，均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查测高，涉及三角函数测高、利用太阳光测高、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，设，在中，解直角三角形得到，从而求出相关线段长，再根据，由相似列式求解即可得到答案，掌握测高题型及解法是解决问题的关键． 【详解】解：过作，如图所示： 设，则， ， ， 在中，，解得， ，即， 在太阳光下，，则， ，解得， 答：旗杆的高度为． 24. 已知二次函数的图象经过点，，． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求平移后对应的二次函数表达式． （3）直接写出当时，平移后对应的二次函数的最大值与最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数的图象与性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）把化为顶点式，然后根据上加下减、左加右减的规律求解即可； （3）由二次函数的性质得抛物线开口向下，顶点坐标为，然后求出当时和当时的函数值即可求解． 【小问1详解】 设，把点，，代入，得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴该二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得 ； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵当时，， 当时，， ∴最大值为，最小值为． 25. 问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3） 【解析】 【分析】（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和，利用三角形三边关系可得和，即，结合即可证明点即为所求； （2）根据勾股定理求得和，可得，即可证明，则有； （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，根据四边形内角和定理求得和，求得和，及和，利用矩形的性质得和，可证明，有和，则化简为，当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值，再次利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和， 在中，， 在中，， 则， ∵点到四边形四个顶点的距离之和为 ∴点即为所求； （2）略 （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， 则的最小值． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和矩形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $