专题03 双曲线及其应用（题型清单）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦双曲线及其应用专题，系统涵盖定义理解、焦点三角形、距离最值、标准方程、离心率、直线与双曲线关系等15类核心题型，构建完整知识体系与解题框架。 清单以题型为单元，每类题型配套方法总结（如定义应用三步法、焦点三角形面积公式）和典型例题，通过分级呈现知识关联，培养学生数学思维与应用意识。特设方法步骤提炼（如离心率求法三策略）和易错点提示，例题覆盖选择、填空、解答题，助力学生高效掌握解题逻辑，教师可据此精准规划复习，提升备考针对性。

专题03 双曲线及其应用 题型1 对双曲线定义的理解及应用 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 1．（2025·广东佛山·三模）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为 ． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则 ． 3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 4．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 题型2 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 5．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 7．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 8．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 题型3 双曲线中的距离和差的最值问题 双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 9．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 10．（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 12．（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型4 双曲线标准方程的求解 待定系数法求双曲线标准方程 13．（2025·安徽·三模）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为 ． 14．（2025·安徽蚌埠·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 15．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型5 双曲线标准方程的参数问题 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 17．（2025·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2025·湖北黄石·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型6 与双曲线有关的轨迹问题 与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义． ． 21．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 22．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 题型7 求双曲线离心率的值或范围 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 25．（25-26高三上·北京·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角的范围是，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 26．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·天津·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C．5 D． 28．（25-26高三上·天津河北·期中）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 题型8 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志． 29．（2025·江苏·一模）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 31．（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程． 题型9 直线与双曲线相交弦长问题 “先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况． 弦长公式：或（）． 33．（24-25高三上·江西上饶·月考）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高三上·山东青岛·期末）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 35．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 36．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 题型10 双曲线的中点弦问题 既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 37．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高三上·江苏南通·调研测试）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 题型11 双曲线中的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 41．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有. (1)求的离心率； (2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点. 42．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 43．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 44．（2025·江西新余·模拟预测）如图：在平面直角坐标系中，离心率为2的双曲线C：经过．斜率为的直线与C交于两点，为C的左焦点． (1)求C的方程； (2)若以为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)直线、分别与C交于点，求证：直线过定点． 题型12 双曲线中的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 45．（2025·山西·三模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 46．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 47．（2025·安徽合肥·模拟预测）设双曲线的右顶点为，其焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 48．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足. (1)求双曲线方程； (2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值. 题型13 双曲线中的最值或范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 49．（24-25高三下·河南·月考）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得. (1)求双曲线的离心率； (2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围. 50．（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 51．（24-25高三下·江苏·月考）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值. 52．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点. (1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标； (2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围. 题型14 双曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 53．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 54．（2025·福建福州·模拟预测）已知，是焦点在轴的双曲线上两点，，为的左、右焦点，，是以为底边的等腰三角形． (1)求的离心率； (2)设过且与的左、右两支均相交的直线斜率为，证明：． 55．（2025·山东·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为. (1)求C的方程； (2)证明：为钝角三角形. 56．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 题型15 双曲线中的探究性问题 “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 57．（2025·广东广州·三模）已知双曲线． (1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； (2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 58．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，． (1)若，求的值； (2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围． 59．（25-26高三上·安徽合肥·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求a，b. (2)求的取值范围. (3)设点M，N满足，是否存在常数，使得a，b变化时，为定值？若存在，求出以及该定值；若不存在，请说明理由. 60．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知双曲线的右焦点为，点是与直线的公共点，直线分别与直线轴交于点，直线与轴交于点，记的面积分别为． (1)若，求点到的渐近线的距离； (2)证明：； (3)的右支上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 双曲线及其应用 题型1 对双曲线定义的理解及应用 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 1．（2025·广东佛山·三模）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为 ． 【答案】8 【解析】设光线与双曲线的交点为，双曲线的左焦点为．由题意知，共线， 故路径长． 2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则 ． 【答案】4 【解析】设双曲线的右焦点为，半焦距为c， 因为圆与E在第一象限的交点为A，所以， 由双曲线的定义得， 由，得， 即，解得，(舍去)． 3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（    ） A．1 B．13 C．1或13 D．2或14 【答案】B 【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，， 根据双曲线定义，，，解得或1， 又，所以.故选：B. 4．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【解析】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30.故选：C. 题型2 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 5．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：，故选：C. 6．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【解析】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为.故选：D 7．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【解析】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为.故选：C. 8．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，， 又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以.故选：D 题型3 双曲线中的距离和差的最值问题 双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系． 9．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， 可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 10．（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义得， 所以的最小值为.故选：B. 11．（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【解析】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（）， 可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上， 则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10．故选：C． 12．（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】由双曲线的方程可得，焦点， 可得， 所以， 当，，三点共线时，最小， 因为直线和相互垂直，且和分别过定点和， 所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2， 所以， 当三点共线且在和之间时最小， 所以的最小值为6，故选：A 题型4 双曲线标准方程的求解 待定系数法求双曲线标准方程 13．（2025·安徽·三模）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为 ． 【答案】 【解析】由题可得，故，因为的一条渐近线方程为， 所以，即，故的方程为． 14．（2025·安徽蚌埠·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】设半焦距为， 因为，故， 故，而渐近线方程为，故， 而，故，故双曲线的标准方程为：. 15．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，， 故，解得， 故， 故双曲线方程为，故选：D 16．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为.故选：A 题型5 双曲线标准方程的参数问题 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 17．（2025·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】表示双曲线时， 等价于，解得或. 因为由可推出或，但是由或，不能推出， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A. 18．（2025·湖北黄石·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ， 对于A，是充要条件，A不是； 对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是； 对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是； 对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是.故选：B 19．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立； 当时曲线表示焦点在轴上的双曲线， 故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立； 所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件.故选：A 20．（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若曲线是焦点在轴的双曲线，则，，所以，故必要性成立， 若，满足，但是曲线是焦点在轴的双曲线，故充分性不成立， 所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件.故选：B 题型6 与双曲线有关的轨迹问题 与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义． ． 21．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线，故选： 22．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为.故选：A. 23．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为.故选：A. 24．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示： 依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 题型7 求双曲线离心率的值或范围 求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解． 25．（25-26高三上·北京·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角的范围是，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】双曲线（，）的渐近线方程为， 因为一条渐近线的倾斜角的范围是， 所以，即，所以， 所以，即. 26．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知圆心，半径为， 双曲线的渐近线方程为， 的一条渐近线与圆没有公共点，则，解得，故选：A 27．（25-26高三上·天津·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【解析】取M为的中点，为右焦点，因为， 所以，所以，所以， 因为在上的投影向量的模为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，所以.故选：D. 28．（25-26高三上·天津河北·期中）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 过作轴，交轴于点，为等腰三角形，， ，为等腰三角形，， ，轴，， ， 是双曲线的左顶点，，， 点在过且斜率为的直线上， ，，， 在中，，， ，， ，， ，.故选：B. 题型8 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志． 29．（2025·江苏·一模）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线有两个不同的交点， 又直线过原点，则 则的取值范围是.故选：B． 30．（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直线与与双曲线只有一个公共点， 联立方程组，消去得，， 当，即时，直线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当，即时，， 此时直线与双曲线恒有两个不同的交点； 当且仅当时，直线与与双曲线只有一个公共点， 由能推出直线与双曲线只有一个公共点， 反之，当直线与双曲线只有一个公共点时不能推出， “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A. 31．（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点， 故有，即，， 所以，所以. 所以的范围为.故选：C 32．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题意知该双曲线焦点在x轴上，故设其方程为， 根据过知，又过，故有，解得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且与坐标轴正半轴所围成三角形，分两种情况： 当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为， 此时三角形的面积为，解得，所以直线l的方程为； 当直线l与双曲线相切时，直线l的斜率显然存在，设其方程为， 联立，得， 所以且，即， 又因为三角形的面积为，解得（负根舍去）， 所以，解得（正根舍去）， 所以直线l的方程为； 综上，直线l的方程为或. 题型9 直线与双曲线相交弦长问题 “先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况． 弦长公式：或（）． 33．（24-25高三上·江西上饶·月考）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故．故选：C． 34．（24-25高三上·山东青岛·期末）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条.故选：C 35．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【答案】12 【解析】因为，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以 36．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或． 【解析】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以， 故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且， 故， 故． 即， 则， 即， 解得或，即或： 故的方程为：或． 题型10 双曲线的中点弦问题 既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解． 37．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得，即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得，故选：D. 38．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：C 39．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， 则，① ，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以， 且. ①②可得， 则， 故选：D 40．（24-25高三上·江苏南通·调研测试）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的中点， 所以， 易知， 由点差法可得 ， 若，此时， 与双曲线联立， 即与双曲线只有一个交点，故A错误； 若，则此时， 与双曲线联立， 即与双曲线有两个交点，故B正确； 若，则此时， 与双曲线联立， 即与双曲线有一个交点，故C错误； 若，则此时， 与双曲线联立，显然无解， 即与双曲线没有交点，故D错误；故选：B 题型11 双曲线中的定点问题 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 41．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有. (1)求的离心率； (2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点. 【答案】(1)；(2)过定点，证明见解析 【解析】（1）设，则， 当直线的倾斜角为时，，所以，故的横坐标为， 代入的方程，得，则，则， 因，则，即，解得（负值舍去）， 故的离心率为. （2）由（1）可知，， 因直线不与轴平行，故设直线，设， 联立，得， 则， 因为，且是线段的中点，则， 所以，即， 因，， 所以， 即， 即 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 42．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2)直线过定点． 【解析】（1）由已知，，则． 因为，则，所以，从而． 所以双曲线的方程是． （2） 设直线，代入，得， 即． 设点，则． 如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称， 猜想：定点在轴上． 设点，由题设，点，则． 因为向量与共线，则， 即， 即．所以，即． 因为为可变量，则，所以直线过定点． 43．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定点坐标为 【解析】（1）由题知，，且，，得，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设，，则由，得， 即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在， 设直线AB：，代入双曲线方程， 化简得， 设，则，，，， 则， 整理得， 所以， 整理得，即，所以或． 当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点； 当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意． 综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为． 44．（2025·江西新余·模拟预测）如图：在平面直角坐标系中，离心率为2的双曲线C：经过．斜率为的直线与C交于两点，为C的左焦点． (1)求C的方程； (2)若以为直径的圆与轴相切，求的方程； (3)直线、分别与C交于点，求证：直线过定点． 【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析. 【解析】（1）由双曲线C：经过，得，由离心率为2，得半焦距，则， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，由消去得， ，设， 则，， 由以为直径的圆与轴相切，得， 即，解得，所以的方程为或. （3）当直线不过双曲线的顶点时，直线都不垂直于轴， 设直线的方程分别为， 由消去得，则， 则，， 即点，同理得点， 因此直线的方程为， 整理得：， 即， 又，，， 因此直线：，即， 由，解得，即直线过定点， 当直线过顶点时，直线，不妨令，由（2）得， 直线，而，直线过点， 当直线过顶点时，直线，不妨令，由（2）得， 直线，由解得，而， 直线过点， 所以直线过定点. 题型12 双曲线中的定值问题 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 45．（2025·山西·三模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析，定值1 【解析】（1）由已知可得，所以， 又因为，得①； 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②得，所以， 所以双曲线方程为：． （2）由（1）得双曲线渐近线方程为，， 设，则，， 联立和，解得交点， 则平行线和之间的距离， 则平行四边形的面积 ， 由于在双曲线上，则，所以， 所以平行四边形的面积为定值1. 46．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上. (1)求双曲线E的方程； (2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，在双曲线E上， 所以，故，所以E的标准方程为． （2）如图： 设直线l：，由 得，① 所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点， 所以，且，故， 设圆P：，，由， 得，② 由双曲线的右顶点D在圆上得， 由①②得. 由，可得③ 由，可得④ 所以3④③可得，即． 47．（2025·安徽合肥·模拟预测）设双曲线的右顶点为，其焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由右顶点为，得， 其焦距为得，所以， 所以双曲线的方程为：； （2）证明：如图所示： 设过点的直线的方程为：， 联立双曲线方程：， 化简得：， 因直线与双曲线右支相交于两个不同点， 连接分别交直线于两点， 所以，设， 则， 当时，因为三点共线， 所以，则， 同理，， ， 其中， ， 将， 代入得：    ， 又， 将， 代入得：， ， 所以为定值1． 48．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足. (1)求双曲线方程； (2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意，， 故， 将代入， 故双曲线方程为. （2）设，则， 而，故. 设：代入椭圆方程得：， ， 其中， 过A作ST平行线交椭圆于G，H，由对称性可知：， 故将中的k换为，即得， 故， ∴. 原命题得证. 题型13 双曲线中的最值或范围问题 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 49．（24-25高三下·河南·月考）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得. (1)求双曲线的离心率； (2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围. 【答案】(1)2；(2). 【解析】（1）设，由对称性不妨设，由， 有，可得， 又由， 有 又由，有， 有， 又由，有， 又由，有，可得， 故双曲线的离心率为2. （2）由（1）可知双曲线的方程为，代入点的坐标， 有，可得， 设， 由双曲线的渐近线的倾斜角及双曲线的图像和性质，可得， 又由，在中，由正弦定理，有， 有， 有 ， 由，有，有， 可得的取值范围为． 50．（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 51．（24-25高三下·江苏·月考）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设双曲线的焦距为，因为，，所以， 将点代入方程，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设点为等腰直角三角形的直角顶点， 当的斜率为0时， 因为为等腰直角三角形，所以，无解，不存在这样的点； 设的斜率为，不妨设，且（因为不平行于渐近线），则的斜率为， 联立， 整理可得， 故， 故即即故， 又，即， 则， 同理可得， 因为为等腰直角三角形，所以， 所以，平方可得， 因为，所以. ， 令，，则， 令，，则，， 当时，，当时，, 所以在上单调递增，上单调递减，所以， 所以，当且仅当时取等号， 当时，由可得，无解， 同理可得时无解， 故时，，所以面积的最小值为. 52．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点. (1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标； (2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，双曲线，其中， 因为为等腰三角形，点在第一象限， 所以由双曲线性质可知，为三角形的底边，， 所以P点在以为圆心、3为半径的圆上， 设，其中，则有，解得，即. （2）由题意的斜率不为0，设直线， 设点，则 联立得 由已知二次项系数，且， 即， 所以， 则 即. 代入得， 即， 化简得，即，所以 因为，代入，得， 所以所以， 综上， 题型14 双曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法． 53．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析，直线的倾斜角为定值 【解析】（1）由题意有， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设 所以， 所以， 由韦达定理有：， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以，即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意， 所以，设倾斜角为，即，， 即直线的倾斜角为定值. 54．（2025·福建福州·模拟预测）已知，是焦点在轴的双曲线上两点，，为的左、右焦点，，是以为底边的等腰三角形． (1)求的离心率； (2)设过且与的左、右两支均相交的直线斜率为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1） 设双曲线，焦距为，延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性知，四边形为平行四边形， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，所以， 在中，由勾股定理得， 即，解得离心率． （2）解法一：设过且与的左、右两支均相交的直线为， 显然当的斜率不存在时，直线仅与双曲线的右支相交，不满足题意． 故可设直线的方程为， 由双曲线的方程可得其渐近线方程为， 由双曲线性质可知，若直线与双曲线的左、右两支都相交，则， 整理得，又，所以， 由（1）知，所以，且，所以． 解法二：设过且与的左、右两支均相交的直线为， 显然当的斜率不存在时，直线仅与双曲线的右支相交，不满足题意． 故可设直线的方程为，设与交于，， 联立方程，化简得， 由韦达定理得， 要使与的左、右两支均相交，即使两交点位于轴异侧， 故，即，且，恒成立， 故，整理得，又，所以， 由（1）知，，且，所以． 55．（2025·山东·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为. (1)求C的方程； (2)证明：为钝角三角形. 【答案】(1)；(2)证明过程见解析. 【解析】（1）由题意可知，则， 又，则，故， 将点坐标代入曲线的方程中得， 又，解得（负值舍去）， 则C的方程为 （2）由题意可知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立得，， 设， 则，得且， 若直线与双曲线的两支相交，则，则， 则 ，则为钝角； 若直线与双曲线的一支相交，由于双曲线的对称性， 不妨设直线与双曲线的左支相交，且在点上方，设， 因， 则，则为锐角， 则为钝角， 综上可知，始终为钝角三角形. 56．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【答案】(1)；(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】（1）因为圆与恰有两个交点， 由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由（1）知，, 设过的直线方程为，，如图， 由，可得， ，其中， ， ， ，为圆的一条直径， 三点共线. （ii）不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得, 故可得，即， ， 直线， 由，可解得， 点在定直线上. 题型15 双曲线中的探究性问题 “肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)． 57．（2025·广东广州·三模）已知双曲线． (1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程； (2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在定点，使得，此时 【解析】（1）设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即. （2）假设存在定点，使得. 设，焦点， 因为，所以， 即，化简可得， 又点在双曲线上，所以， 代入上式可得， 整理可得，因为对于恒成立， 所以且，解得. 当时，代入双曲线方程可得， 显然，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 58．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，． (1)若，求的值； (2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）由题意， 在椭圆：中，离心率为， 在双曲线C：中，离心率为， ∵， ∴，解得． （2）由题意及（1）得， 因为，所以：， 对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称， 设，， ∴直线方程为， 联立消去y得， 由，解得， 故， ∴， ， 设直线AB中点为， 则，， 又点P在直线l上，所以，则， 又因为，， 所以， ∵， ∴，解得且， ∴． 59．（25-26高三上·安徽合肥·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，求a，b. (2)求的取值范围. (3)设点M，N满足，是否存在常数，使得a，b变化时，为定值？若存在，求出以及该定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在，，定值 【解析】（1）由余弦定理可得， 因为， 所以，解得， 所以. （2）由余弦定理可得. 由，可得，所以. 所以， 又，所以的取值范围是. （3）存在，且，定值为，理由如下： 如图，以AB的中点为坐标原点，直线AB为轴建立平面直角坐标系， 则，   因为，则，, 则， 因，则点在以为焦点且靠近点的双曲线的一支上， 设双曲线方程为，则，，得， 则双曲线方程为， 设，则, 则， 所以， 要使上式为定值，则需，又，所以. 此时. 60．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知双曲线的右焦点为，点是与直线的公共点，直线分别与直线轴交于点，直线与轴交于点，记的面积分别为． (1)若，求点到的渐近线的距离； (2)证明：； (3)的右支上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)不存在，原因见解析 【解析】（1）若，双曲线， 所以，得，所以双曲线， 渐近线方程为，即， 直线与轴的交点， 点到渐近线的距离为． （2）联立，得，即， 所以，且，，， ， 所以，令，得，即， 所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以． （3）由（2）知,， 所以PQ的中点为， 所以PQ的中垂线方程为， 令，因为，所以，则， 将代入，得， 令，对称轴为， ①当，即时， ， 此时方程无解； ②当，即时，由，得，又，故， ， 此时方程无解； 综上，E的右支上不存在点M使得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $