专题02 图形的变换动点问题（专项训练）数学北京版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02图形的变换动点问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、函数相关平移变换动点问题（常考点)…1 题型二、函数相关旋转变换动点问题… 21 题型三、函数相关轴对称变换动点问题…57 题型四、几何证明相关平移变换动点问题… 89 题型五、儿何证明相关旋转变换动点问题（难点）………104 题型六、几何证明相关轴对称变换动点问题 .124 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、函数相关平移变换动点问题（常考点） 1.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为3,5)，(3,0).将线段AB向下平移 2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接AC,BD; 备用图 (1)直接写出坐标：点C( ),点D( (2)M,N分别是线段AB,CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个 单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒05个单位长度，若两点同时出发，求 几秒后MN∥x轴？ 3)点P是直线BD上一个动点，连接PC,PA,当点P在直线BD上运动时，请直接写出 LCPA与∠PCD,∠PAB的数量关系. 2.如图1，一次函数)=+3分别与铺，y轴交于点4B,点C在铺上满足 0C=20B. 1/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)求直线BC的解析式： (2)如图2，点P是直线BC上一动点，线段A0在x轴上移动，记为A'0',分别连接 OP,AP,O'P,当线段OP最短时，求△PA'O'周长的最小值； 3)如图3，在(2)问的条件下，将直线BC沿射线OP方向平移2√5个单位得到直线1，点 Q是直线1上一动点，连接CQ,是否存在点Q使得直线CQ与直线BC与的夹角等于∠OBC, 若存在，请直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由. 3.如图，在平面直角坐标系中，将点A(-2,5),点B(-2,0)沿水平方向向右分别平移4个和 8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C.顺次连接A,B,C,D得到四边 形ABCD. D A A D BO E C B (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形ABCD沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形A,B,CD,图中阴影部分的面 积是号，求CA与：轴的交点正的坐标。 3)在(2)的条件下，若点P(-2,n是坐标系内一动点，连接P0,PE,当三角形P0E的 面积是四边形4BCD的面积的时，求点P的坐标， 4.问题呈现：在平面直角坐标系中，A-13,0),C(0,6),D(-7,6),点B与原点0重合.连 AD,CD.点P为线段AD上一动点（不与点A,D重合），点P横坐标为m.四边形 ABCD沿DA方向平移，使点D与点P重合，得对应四边形QFEP,EF交x轴于点G,如 图 2/28 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个y D P C E O(B) (1)求四边形ABCD的面积： 数学思考：(2)若P(-8,5),按要求完成以下问题： ①直接写出点Q,E,F的坐标； ②求阴影部分（六边形PEGBCD)的面积. 拓展延伸：四边形ABCD内有任一点M(x,y),当四边形ABCD沿DA方向自D点向A点运 动.直接写出四边形AGEP的面积（用m的式子表示）. 5.如图，矩形OABC顶点B的坐标为(8,3)，定点D的坐标为12,0)，动点P从点O出发， 以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单 位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止.在运动过程中， 以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR,设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC 重叠部分的面积为S. Y C A OD (1)当 时，△PQR的边QR经过点B (2)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围 6.如图在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为Aa,0),B(b,0).且a,b满足 a+3+(a-2b+7)2=0,现同时将点A,B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位， 分别得到点A、B的对应点C、D,连接AC,BD,CA的延长线交y轴于点K. 3/28 函学科网·上好课 Www,Z×xk.Com 上好每一堂课 D 1 (1)点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ,PO,当点P在线段 CA上移动时（不与A,C重合），请找出∠PQD,∠OPQ,∠POB的数量关系，并证明你 的结论 (2)连接AD,在坐标轴上是否存在点M,使MAD的面积与△ACD的面积相等？若存在， 直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由 7.如图1，己知抛物线C1是抛物线C:y=(c-22向上平移1个单位长度得到，抛物线C 的顶点为Q. x=m B 0 图1 图2 (1)求抛物线C,的函数解析式； (2)点P是y轴上的一个动点， ①如图1，过点P作直线1平行于x轴，与抛物线C,相交于点A,设点A的横坐标为m(m <2),点B与点P关于直线x=m对称，点D在抛物线C上，求当m为何值时，四边形PQBD 是平行四边形？ ②如图2，直线y=x+1与抛物线C,交于E,F两点，当△PEF的周长最小时，求S4PEF的 值. 4/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.已知点A(a,0),B(b,0),C(0,c),且√a+1+(b-3)2+|c+2|=0,E为AB的中 点 M 图1 图2 (1)直接写出a,b,c的值； (2)如图1，过点E的直线ly轴，点H在y轴的正半轴上，OH=OC,直线AH交直线1于 点F,给出线段HF与CE的数量关系，并说明理由： 包如图2，将点E向下平移管个单位长度到点D,动点P从点A出发，网时萄点M从点E 出发，都沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t秒，CM交DP 于点N,若SACDN=SMNP,求t的值， 9.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(0,3)，点B坐标为(2，-1). (I)点C在第一象限内，AC/x轴，将线段AB进行适当的平移得到线段DC,点A的对 应点为点D,点B的对应点为点C,连接AD,若三角形ACD的面积为12，求线段AC的 长 (Ⅱ)在(I)的条件下，连接OD,P为y轴上一个动点，若使三角形PAB的面积等于三 角形AOD的面积，求此时点P的坐标. B 备用图 10.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,6),B(4,3),将线段AB进行平移，使点A刚好落 5/28 扇学科网·上好课 Www,Z×xk.Com 上好每一堂课 在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A,B的对应点分别为A,B,连接 AA'交y轴于点C,BB交x轴于点D (1)线段AB可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A,B的坐标： (2)求四边形AA'BB的面积； (3)P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA'与∠ADB的数量关系，给出结论 并说明理由 D 备用图 题型二、函数相关旋转变换动点问题 11.如图1，ABC与ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE. VA 图1 图2 图3 (1)求证：△ABD≌△ACE; (2)如图2，若∠BAC=∠DAE=90°，试判断线段BD与CE的关系，并说明理由； 3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点M(4,0),点N是y轴上一个动点，连接MN,在 MN下作等腰直角三角形NMP,MN=MP,∠NMP=90°，连接OP.请直接写出线段OP的 最小值及此时ON的长度， 12.如图，点4A(a,0),B(0,b),且a、b满足(a-1)+2b-2=0. 6/28 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B A x 图1 图2 图3 (1)如图1，求A0B的面积： (2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD,且∠C0D=45°，猜 想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论； 3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB,将线段PB绕点P顺 时针旋转90°至PE,直线AE交y轴于点Q,当P点在x轴正半轴上移动时，线段BE和 线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值. 13.定义：在平面直角坐标系中，将点P绕点T(1,0)顺时针旋转α度，得到点Q,则称点Q 为点P的“a度友情点”. 例如：当t=0,即T(0,0)时，点P(0,3的“90°友情点”为Q(3,0). P 33P 0 35 0 (图1) (图2) (备用图) (1)当1=3，即T(3,0)时： ①如图1，求点P(0,35)的“90°友情点”2的坐标； ②如图2，求点P(0,3V3的“60°友情点”2的坐标： (2)当1=0，即T(0,0)时，点M(x,y)在y=(x+12-4图象上，点N(x,y)是点M的“180°友 情点”. ①求N(x,y)所在函数的解析式； ②在①中，点N所在函数的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B、点C(点B在点C左侧)， 点E为x轴上一动点，点D为点E的“90°友情点”，作射线DE,交点N所在函数的图象于 7/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点F,当D,E,F三点中，一个点平分另外两点组成的线段时，求点E的横坐标。 14.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物 线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B. 图1 图2 图3 (1)求抛物线解析式： (2)如图2，若点M为直线BC下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N,Q是平面内任 意一点，若以M,N,Q,B为顶点的四边形是菱形，求此时点Q的坐标： 3)如图3，以B为圆心，2为半径的0B与x轴交于E、F两点(F在E右侧)，若P点是 OB上一动点，连接PA,以PA为腰作等腰直角三角形PAD,使LPAD=90°(P、A、D三 点为逆时针顺序)，连接FD,请直接写出FD长度的取值范围 15.如图，直线y=)x-2与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=+hr+c经过B、 2 C两点，且与x轴交于另一点A. 图1 图2 (1)求出点B的坐标和抛物线的解析式： (2)如图1，点F是抛物线的顶点，连接FB,FC,试求出△FBC的面积： 3)如图2，点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴 交BC于点D,作PE⊥BC于E,则△PDE的周长的最大值=一 (4)当(3)中△PDE的周长取得最大值时，将△PDE绕着点D旋转一周，在旋转的过程中， 点P、D、E的对应点分别记为P'、D'、E' 8/28 函学科网·上好课 Www,Z×xk.Com 上好每一堂课 ①点P到点A距离的最大值= ②当点P恰好落在坐标轴上时，请直接写出相应的点E坐标. 16.二次函数y=x2+bx+3的图像与x轴交于A2,0),B(6,0)两点，与y轴交于点C,顶 点为E. B B A E 图① 图② 备用图 (1)二次函数的表达式为 ,点E的坐标为 (2)如图①，D是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时， 求点D的坐标； 3)如图②，P是直线CE上方的二次函数图像上的一个动点，连接OP,取OP中点Q,连接 QC,QE,CE,当CEQ的面积为12时，求点P的坐标. (4)连接BC,M是平面内一点，将aBOC绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△B,O,C, 点B、O、C的对应点分别是点B、O、G.若△B,O,C的B、G两个顶点恰好落在抛物 线上，请直接写出点C的横坐标. 17.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,8),点B是x轴的正半轴上的一个动点，连接 AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC.过点B 作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是(tO) A B 备用图 9/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当=6时，点M的坐标是 (2)求点C的坐标（用含t的代数式表示）： (3)是否存在点B,使四边形AOBD为矩形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说 明理由； (4)在点B的运动过程中，平面内是否存在一点N,使得以A、B、N、D为顶点的四边形是 菱形？若存在，请直接写出点N的纵坐标（不必要写横坐标）；若不存在，请说明理由。 18.如图，若抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)与直线1交于点A-1,0), C(2,-3),与x轴另一交点为B(3,0). 备用图 (1)则抛物线的解析式为 (2)若将直线AC绕点A逆时针旋转90°交抛物线于点P, ①求点P的坐标，此时4C的值为一： AP ②若M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N,连接BM,是否存在点M使 -4C?若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. BN AP 19.如图，已知抛物线y=- x2+bx+c交x轴于A6,0),B(-1,0)两点，交y轴于点C, 2 点P是线段AC上一动点. 10/28命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02图形的变换动点问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、函数相关平移变换动点间题（常考点）…1 题型二、函数相关旋转变换动点问题… …21 题型三、函数相关轴对称变换动点问题…57 题型四、几何证明相关平移变换动点问题… 89 题型五、儿何证明相关旋转变换动点问题（难点）…104 题型六、几何证明相关轴对称变换动点问题 .124 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、函数相关平移变换动点问题（常考点） 1.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为3,5)，(3,0).将线段AB向下平移 2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段CD,连接AC,BD; 备用图 (1)直接写出坐标：点C( ),点D( (2)M,N分别是线段AB,CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个 单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒05个单位长度，若两点同时出发，求 几秒后MN∥x轴？ 3)点P是直线BD上一个动点，连接PC,PA,当点P在直线BD上运动时，请直接写出 LCPA与∠PCD,∠PAB的数量关系. 【答案】(1)-1,3：-1，-2： a片秒后，：鞋 B)当点P在线段BD上时，∠APC=∠PCD+∠PAB;当点P在BD的延长线上时， 1/153 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LPAB=∠PCD+LAPC;当点P在DB的延长线上时，∠PCD=∠PAB+∠APC 【详解】(1)解：：AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD, A3,5),B3,0 C(-1,3),D-1,-2), 故答案为：-1,3；-1，-2； (2)解：设t秒后MN∥x轴， :MN∥x轴， .点M与点N的纵坐标相同， ∴.5-t=0.51-2, 解得1-片 :14秒后，MN∥x轴： (3)解：①如图1中，当点P在线段BD上时， B 图1 作PE∥AB交AC于点E, .∠APE=∠PAB. :CD∥AB(平移的性质)， .PE∥CD, .∠PCD=∠CPE, .∠APC=LCPE+∠APE=∠PCD+LPAB; ②如图2中，当点P在BD的延长线上时， 2/153 学科网·上好课 Www,Z×xk.Com 上好每一堂课 图2 作PF∥AB, .∠APF=∠PAB. :CD∥AB(平移的性质)， PF∥CD, ∠PCD=LCPF, ,∠PAB=∠APF=∠CPF+∠APC=LPCD+LAPC; ③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD=∠PAB+LAPC, 图3 作PG∥AB,同②可证∠PCD=∠PAB+∠APC. 2.面图1一次话数，-与+3分别与，y轴交于点AB,点C在辅上满足 0C=20B. 6 P 图1 图2 图3 (1)求直线BC的解析式： (2)如图2，点P是直线BC上一动点，线段A0在x轴上移动，记为A'0',分别连接 OP,AP,OP,当线段OP最短时，求△PA'O'周长的最小值； 3/153 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3)如图3，在(2)问的条件下，将直线BC沿射线OP方向平移2√5个单位得到直线1，点 Q是直线I上一动点，连接CQ,是否存在点Q使得直线CQ与直线BC与的夹角等于∠OBC, 若存在，请直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由 1 【答案】国y=-2+3 o 3)存在，(6,5)或(10,3) 【详解】(1)解：对于一次函数y=1 x+3, 令x=0,则y=3, .B(0,3 .0B=3 :0C=20B .0C=6 C(6,0 设直线BC的解析式为y=x+b, 把B(0,3)、C(6,0)代入，得 b=3 k三 1 6k+b=0'解得： 2 1b=3 :直线BC的解析式为y=- 1 (2)解：对于一次函数y= 7+3, 7 令y=0,则x=-5' 0A=0A=7 , 当线段OP最短时，则OP⊥BC, 4/153 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B P O 1 :点P是直线y=-二x+3上，且OP⊥BC, 2 设Px+3 :0C2=OP2+PC2, +(x+3+6-+(x+=6, 解得：X=5 6 ，x2=6(不符合题意舍去)， P612) (55 图APA0'周长=PA+PO+AO=PA+PO} 当PA'+P0'最小时，△PA'O'周长最小， 知图，取应P关于对称点P,号，将点P向右平移号个单位，有P传号，连接 Pp"、O'p"、O'P'、P'p", 由对称可知：O'P=O'P', 由平移可知：PP"=O'A',PP"∥O'A', 四边形A'OP"P是平行四边形， .A'P=O'P", .PA'+P0'=0'p"+0'P'≥P'p", 当O、P、P"三点在同一直线上，即点O在Pp"与x轴交点上时，O'P”+O'P'最小， 即PA'+PO'的最小值为P'P", :P'p"= △PA'0'周长最小为= 25,732 555 3解：：P55 612 5/153 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.直线OP解析式为y=2x, 设P点沿射线OP方向平移25个单位得到点P坐标为(a,2a), 则PP'=2√5， aa-9}+2a-13y=(2v5, 5 5 16 .a= 点P皆学， 1 设直线l解析式为y=-。x+n, 2 1.16,32 5-2×5+n=5,解得：n=8, 直线1解析式为)y=一2x+8, AO 当QC∥y轴时，∠OBC=∠QCB,此时点Q的横坐标为xo=6, 六点0的横坐标为e=2×6+8=5, 所以点Q的坐标为(6,5)， 在直线1取点使CQ=CQ=5,设点O坐标为m,1+8),如图： ∴.∠CQg'=∠Cg'g 1∥BC, .∠CQQ'=∠BCQ=∠OBC,∠Q'CN=∠CQ'Q, :∠Q'CN=∠OBC,即直线CQ与直线BC与的夹角等于∠0BC, 由C0=5可得：a-6+(7n+8=5, 解得：八1=10，n2=6(不符合题意舍去)， 点Q坐标为10,3)， 综上所述：以点0的坐标为(6,5)或(10,3) 6/153 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在平面直角坐标系中，将点A(-2,5,点B(-2,0)沿水平方向向右分别平移4个和 8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C.顺次连接A,B,C,D得到四边 形ABCD. D B B (1)直接写出点C和点D的坐标： (2)若将四边形ABCD沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形AB,CD,图中阴影部分的面 积是？，求CQ与x轴的交点E的坐标： (3)在(2)的条件下，若点P(-2,n是坐标系内一动点，连接P0,PE,当三角形P0E的 面积是四边形ABCD的面积的时，求点P的坐标. 【答案】(1)C6,0),D(2,5): 29)2) 【详解】(1)解：：点A-2,5),点B(-2,0)沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度， 点A和点B的对应点分别是点D和点C. D(-2+4,5)即D(2,5),C-2+8,0)即C(6,0, 故C(6,0),D(2,5). (2)解：设点E的坐标为x,0)由题意，得B,C=BC=8,B,C,∥BC,B,C1⊥BB. :S四边形4BCD=S四边形ABGD· 72 S阴影=S四边形B8CE= 5 2(8E+8)×2= 72 5 7/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得BE=32 5 x+2= 32 5 22 解得x= 点E的坐标是 (3)解：：S因边形ABCD= 2 ×(4+8)×5=30. 122 o75×m=b 30 n= 11 则点P的坐标是 （29碳29) 4,问题呈现：在平面直角坐标系中，A(-13,0),C(0,6),D(-7,6),点B与原点0重合.连 AD,CD.点P为线段AD上一动点（不与点A,D重合），点P横坐标为m,四边形 ABCD沿DA方向平移，使点D与点P重合，得对应四边形OFEP,EF交x轴于点G，,如 图。 个y D E A O(B) (1)求四边形ABCD的面积； 数学思考：(2)若P(-8,5),按要求完成以下问题： ①直接写出点Q,E,F的坐标； ②求阴影部分（六边形PEGBCD)的面积. 拓展延伸：四边形ABCD内有任一点M(x,y),当四边形ABCD沿DA方向自D点向A点运 动.直接写出四边形AGEP的面积（用m的式子表示）. 【答案】问题呈现：(1)60： 8/153 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 数学思考：(2)①0(-14，-1，E-1,5,F-1,-1川：②25 拓展延伸：。m2+20m+) 【详解】解：问题呈现： (1)由题意可得，A-13,0),C(0,6),D(-7,6), .CD=7,AB=13,BC=6,且BC⊥AB, :四边形4BCD的面积S-(CD+4BxBC_7+13x6=60: 2 2 数学思考： (2)①：D-7,6,P(-8,5), .根据平移的性质，可得Q(-14,-1,E(-1,5),F(-1,-1)； ②：Q-14,-1),E-1,5),F(-1,-1) .AG=12,PE=7,EG=5, S四边形AGEP (PE+AG)×EG(7+12×595 2 2 六S能=5影m-a6a=60-95-25 229 拓展延伸： 如下图，分别过D、P作x轴的垂线，垂足为M、N, D E G O(B) F A(-13,0),D(-7,6), :DM =AM =6, ∠MAD=∠MDA, DM⊥AB,PN⊥AB, DM∥PN, ,∠NPA=∠MDA=∠MAD, 9/153 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AN PN 根据题意，点P横坐标为m, 根据平移的性质，PE=7, 则EH=BG=-m-7,AG=AB-BG=13-(-m-7)=20+m, PN AN AG-NG =20+m=13+m, 5aPE+G)x PN2m)(13m) 2m2+20m+351 2 5.如图，矩形OABC顶点B的坐标为8,3)，定点D的坐标为12,0)，动点P从点O出发， 以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单 位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止.在运动过程中， 以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR,设运动时间为t秒，△PQR和矩形OABC 重叠部分的面积为S. R C B A Q D x (1)当」 时，△POR的边QR经过点B (2)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围. 【答案】(1)1 39 -6t(0≤t≤1)四 (2)S= 2-5t+19(1<≤2) 2 > 2-141+28(2<1≤4) 4 【详解】(1)解：：△PRQ为等腰直角三角形 .∠RQA=45° :四边形OABC为矩形 :.当OR经过点B时，△ABQ为等腰直角三角形 :点B的坐标为(8,3)，点D的坐标为(12,0) .A0=AB=3,00=0A+A0=8+3=11 10/153