第二章 二次函数（深圳专用，单元测试·提升卷）数学北师大版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（深圳专用） 第二章 二次函数·提升通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝50+x2 C．y＝x+2 D．y＝（x+1）2﹣x2 【答案】B 【分析】根据二次函数的一般式进行判断作答即可． 【详解】解：A中y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，不符合题意； B中y＝50+x2，是二次函数，符合题意； C中y＝x+2，是一次函数，不符合题意； D中y＝（x+1）2﹣x2，整理得，y＝2x+1，是一次函数，故不符合题意， 故选：B． 2．（3分）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x D．y＝﹣2x+1 【答案】D 【分析】根据各函数解析式可得y随x的变化如何变化，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，故A不符合题意； 选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小，x＜0时，y随x的增大而增大，故B不符合题意； 选项C中，函数y＝2x，y随x的增大而增大，故C不符合题意； 选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意； 故选：D． 3．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象． 【详解】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：D． 4．（3分）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（　　） A．y＝x2+8x+14 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+3 【答案】A 【分析】先由对称计算出C点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题． 【详解】解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴， ∴矩形ABCD关于坐标原点对称， ∵A点、C点是对角线上的两个点， ∴A点、C点关于坐标原点对称， ∴C点坐标为（﹣2，﹣1）； ∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位； ∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2， ∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14 故选：A． 5．（3分）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3，若点（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 【答案】D 【分析】由抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，再根据点距离抛物线越远，函数值越小，即可得出答案． 【详解】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3， ∴a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∵1﹣0＝1，1﹣1＝0，3﹣1＝2，2＞1＞0， ∴y3＜y1＜y2， 故选：D． 6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大（小）值，对称性进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴x1＜0， ∴a、b同号，而a＞0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0， 因此①正确； 由于抛物线过点（1，0）点， ∴a+b+c＝0， 又∵对称轴为x＝﹣1，即1， ∴b＝2a， ∴a+2a+c＝0， 即3a+c＝0， 而a＞0， ∴2a+c＜0， 因此②正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为x＝﹣1，由对称性可知， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0， 因此③正确； 由二次函数的最小值可知， 当x＝﹣1时，y最小值＝a﹣b+c， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， 即am2+bm﹣a+b≥0， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选：C． 7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（0，m），B（2，﹣m），C（﹣2，n），D（﹣6，﹣m），其中m，n为常数，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得出B，D两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出a，b之间的关系，再将点A和点C代入二次函数解析式，进一步得出m，n之间的关系，最后用c表示出m和n即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为定B坐标为（2，﹣m），点D坐标为（﹣6，﹣m）， 所以B，D两点关于抛物线的对称轴对称， 所以， 则b＝4a． 将点A坐标代入二次函数解析式得， m＝c． 将点B坐标代入二次函数解析式得， 4a+2b+c＝﹣m， 则4a+8a+c＝﹣c， 所以a． 将点C坐标代入二次函数解析式得， 4a﹣2b+c＝n， 则﹣4a+c＝n， 所以n， 所以． 故选：A． 8．（3分）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点D的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解，建立平面直角坐标系，正确求出抛物线解析式是解此题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图， ∵抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m， ∴点C的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0）， ∴点E的坐标为（0，0.6）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣1），将点E的坐标代入得： a（0+1）×（0﹣1）＝0.6， 解得：a＝﹣0.6， ∴抛物线的解析式为y＝﹣0.6（x+1）（x﹣1）． ∵点D的横坐标为2， ∴点D的纵坐标为﹣0.6×（2+1）×（2﹣1）＝﹣1.8， ∴点C到AD的距离为1.8m． 故选：B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是y＝﹣0.04x2+1.6x ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图象得到：顶点坐标是（20，16），因而可以利用顶点式求解析式． 【详解】解：设解析式是：y＝a（x﹣20）2+16， 根据题意得：400a+16＝0， 解得a＝﹣0.04． ∴函数关系式y＝﹣0.04（x﹣20）2+16， 即y＝﹣0.04x2+1.6x． 故答案为：y＝﹣0.04x2+1.6x． 10．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由二次函数y＝x2﹣4x+3求出A、B两点的x轴坐标，再求出C点的y轴坐标，根据面积公式就解决了． 【详解】解：由表达式y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）×（x﹣3）， 则与x轴坐标为：A（1，0），B（3，0）， 令x＝0，得y＝3，即C（0，3） ∴△ABC的面积为：． 11．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣3ax+4与x轴交于两点，其中一点的坐标为（﹣1，0），则方程ax2﹣3ax+4＝0的根是 x1＝﹣1，x2＝4　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先将（﹣1，0）代入抛物线解析式，求出a的值，进而得到一元二次方程，再解方程即可求解． 【详解】解：由题意可得： a×（﹣1）2﹣3a×（﹣1）+4＝0，即4a+4＝0， ∴a＝﹣1， 原方程可化为﹣x2+3x+4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， 故答案是：x1＝﹣1，x2＝4． 12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 　﹣2＜x＜4　 ． 【答案】﹣2＜x＜4． 【分析】根据图象中直线在抛物线上方的x的取值范围求解． 【详解】解：∵A（﹣2，p），B（4，q） ∴当﹣2＜x＜4时，抛物线在直线下方， ∴ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜4，即ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣2＜x＜4， 故答案为：﹣2＜x＜4． 13．（3分）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P（0，1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为（4，5）．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L′，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L′的对称轴为直线 x＝6　 ． 【答案】x＝6． 【分析】根据已知得抛物线L的顶点是（4，5），设抛物线L为y＝a（x﹣4）2+5，把P（0，1）代入解析式求出a即可，把y＝1代入抛物线L的解析式求出点A坐标，再根据题意设抛物线L′解析式为y（x﹣m）2+2，把点A坐标代入抛物线L′解析式求出m即可． 【详解】解：根据已知得抛物线L的顶点是（4，5）， 设抛物线L为y＝a（x﹣4）2+5， 把P（0，1）代入解析式得：1＝a（0﹣4）2+5， 解得：a， ∴抛物线L的解析式为y（x﹣4）2+5， ∵点A在抛物线L上， ∴当y＝1时，（x﹣4）2+5＝1， 解得x1＝0，x2＝8， ∴A（8，1）， ∵开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高度的， ∴抛物线L′顶点纵坐标为2， ∴设抛物线L′解析式为y（x﹣m）2+2， 把A（8，1）代入y（x﹣m）2+2得，（8﹣m）2+2＝1， 解得m＝6或m＝10（舍去）， ∴抛物线L'的对称轴为直线x＝6． 故答案为：x＝6． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（6分）用配方法求下列二次函数的对称轴、顶点坐标、最大值或最小值． （1）y＝1+2x﹣x2 （2）yx2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）（2）首先化二次项系数为1，然后加一次项系数的一半的平方即可完成配方． 【详解】解：（1）y＝1+2x﹣x2， ＝﹣（x2﹣2x+1）+2 ＝﹣（x﹣1）2+2， ∴对称轴为x＝1、顶点坐标（1，2）、最大值是2； （2）yx2 （x2x） （x）2， ∴对称轴为x、顶点坐标（，），最小值是． 15．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，经过（﹣5，0），（0，），（1，6）点；求（1）二次函数的解析式；（2）顶点坐标和对称轴；（3）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将点的坐标代入y＝ax2+bx+c中，即可确定二次函数的解析式． （2）根据确定的解析式求出顶点坐标和对称轴． （3）根据确定的解析式先确定对称轴直线即可． 【详解】解：（1）把点（﹣5，0），（0，），（1，6）代入y＝ax2+bx+c中， 得，， 解得：， 所以二次函数的解析式为yx2+7x． （2）顶点坐标是（） 对称轴为x． （3）∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而减小． 16．（8分）探究问题1： （1）若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围． （2）变式：若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，则m的取值范围是 m＜8　 ． 等价转化：若二次函数 y＝x2﹣6x+1　 （m为常数）的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，则m的取值范围是 m＜8　 ． 探究问题2： （3）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）m＜4；（2）变式：m＜8；等价转化：y＝x2﹣6x+1；m＜8；（3）7≤m＜8． 【分析】（1）依据题意，由y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，从而Δ＝16﹣4m＞0，进而计算可以得解； （2）变式：依据题意，联列方程组，可得x2﹣4x+m＝2x﹣1，即x2﹣6x+m+1＝0，结合两个图象有两个公共点，可得Δ＝36﹣4（m+1）＞0，进而计算可以得解； 等价转化：依据题意，由x2﹣4x+m＝2x﹣1，可得x2﹣6x+1＝﹣m，从而二次函数y＝x2﹣6x+1的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，此时即可得m的范围； （3）依据题意，令x2﹣4x+m＝2x﹣1，可得x2﹣6x+1＝﹣m，又二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点等价于二次函数y＝x2﹣6x+1的图象在x≤4的部分与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，结合y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8（x≤4），作出图象即可判断分析得解． 【详解】解：（1）由题意，∵y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点， ∴Δ＝16﹣4m＞0． ∴m＜4． （2）变式：由题意，联列方程组， ∴x2﹣4x+m＝2x﹣1． ∴x2﹣6x+m+1＝0． ∵两个图象有两个公共点， ∴Δ＝36﹣4（m+1）＞0． ∴m＜8． 由x2﹣4x+m＝2x﹣1， ∴x2﹣6x+1＝﹣m． ∴等价转化：若二次函数y＝x2﹣6x+1的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，此时m＜8． 故答案为：m＜8；y＝x2﹣6x+1；m＜8． （3）由题意，令x2﹣4x+m＝2x﹣1， ∴x2﹣6x+1＝﹣m． ∴二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点等价于二次函数y＝x2﹣6x+1的图象在x≤4的部分与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点． 由题意，y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8（x≤4）． 作图如下． ∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点， 结合图象， ∴﹣8＜﹣m≤﹣7． ∴7≤m＜8． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a＜0）与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）． （2）当B的纵坐标为3时，求a的值； （3）已知点，Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）a的取值范围为． 【分析】（1）令x＝0，求出点A坐标根据平移得出结论； （2）将B的纵坐标为3代入求出即可； （3）由对称轴为直线x＝1得出，当y＝2时，解得，，结合图象得出结论； 【详解】解：（1）在（a＜0）中，令x＝0，则， ∴， 将点A向右平移2个单位长度，得到点B，则． （2）∵B的纵坐标为3， ∴， ∴． （3）由题意得：抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a， ∴， 当y＝2时，， 解得，， 当时，结合函数图象可得，抛物线与PQ恰有一个公共点， 综上所述，a的取值范围为． 18．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将点B（1，5）向下平移6个单位，向左平移m个单位（m＞0）后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1）该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+3； （2）m的值为； （3）n的取值范围为当． 【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点A（﹣1，3）代入求得c的值即可； （2）先求出点B（1，5）平移后的坐标，然后代入函数解析求得m的值； （3）根据二次函数的开口方向，对称轴分、、n＞1三种情况求函数的最值，再根据该二次函数的最大值与最小值的差为求n的范围即可． 【详解】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线x， ∴x， ∴b＝﹣1， 将点A的坐标代入y＝﹣x2﹣x+c得： ∴﹣1+1+c＝3， ∴c＝3， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+3； （2）根据题意，点B（1，5）平移后的点的坐标为（1﹣m，﹣1）（m＞0）， ∵点B（1，5）平移后恰好落在抛物线上， ∴﹣1＝﹣（1﹣m）2﹣（1﹣m）+3， 解得：m（舍去）或m， 即m的值为； （3）∵抛物线y＝﹣x2﹣x+3开口向下且对称轴为直线， 当﹣2≤x≤n时，分三种情况求最值： ①当时， 当x时，， 当x＝﹣2时，函数取得最小值ymin＝1， 此时最大值与最小值的差为符合题意， ②当时， x＝﹣2时，函数取得最小值ymin＝1， ， 不合题意，舍去； ③当n＞1时， x时，， x＝n时，函数取得最小值， ∵该二次函数的最大值与最小值的差为， ∴n2+n﹣3， 解得 ∴， 解得n1＝1或n2＝﹣2，不合题意，舍去， 综上所述，n的取值范围为当． 19．（10分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 20．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点D是抛物线的顶点． （1）求B、C、D三点的坐标； （2）连接BC，BD，CD，若点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当S△PBC＝S△BCD时，求m的值（点P不与点D重合）； （3）连接AC，将△AOC沿x轴正方向平移，设移动距离为a，当点A和点B重合时，停止运动，设运动过程中△AOC与△OBC重叠部分的面积为S，请直接写出S与a之间的函数关系式，并写出相应自变量a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）令y＝0，解方程即可求得A、B的坐标，令x＝0，即可求得C的坐标，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据待定系数法求得直线BC的解析式，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，则xD＝1＝xE，求得yE＝﹣2，DE＝2，进而得出S△BCD＝S△BED+S△CDE2×12×2＝3，然后分两种情况分别讨论求得即可； （3）分三种情况：①当0＜a≤1时，根据S＝S△AOC﹣S△A′OE﹣S△FGC′即可求得；②当1＜a≤3时，如图4，根据S＝S△AOC﹣S△FGC′＝即可求得；③当3＜a≤4时，如图5，S（4﹣a）（4﹣a）． 【详解】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）； （2）设BC：y＝kx+b 将B（3，0），C（0，﹣3）代入得：解得， ∴直线BC为y＝x﹣3， 过点D作DE∥y轴，交BC于点E， ∵xD＝1＝xE， ∴yE＝﹣2， ∴DE＝2， ∴S△BCD＝S△BED+S△CDE2×12×2＝3， 过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（m，m﹣3） ①当P是BC下方抛物线上一点时，如图1， ∴． ∴m1＝﹣1（舍），m2＝2， ②当P是BC上方抛物线上一点时，如图2， S△PBC＝S△PQC﹣S△PQBm2m＝3， 解得m1，m2， 综上：m的值为； （3）①当0＜a≤1时，如图3， ∵OA′＝1﹣a，O′C′＝OC＝3， ∵ 即， ∴OE＝3﹣3a， ∴CE＝3a， ∵， 即， ∴O′G＝3﹣a， ∴GC′＝a， ∵， ∴△FC′G边CG′上的高为a， ∴S＝S△AOC﹣S△A′OE﹣S△FGC′1×3（1﹣a）×（3﹣3a）aaa2+3a； ②当1＜a≤3时，如图4， ∵GC＝a，△FC′G边CG′上的高为a， ∴S＝S△AOC﹣S△FGC′1×3aaa2； ③当3＜a≤4时，如图5， ∵A′B＝4﹣a，CC′＝a， 设△A′FB边A′B上的高为h，则△CFC′边CC′的高为3﹣h， ∵△A′FB∽△C′FC， ∴，解得h（4﹣a）， ∴S（4﹣a）（4﹣a）a2﹣3a+6； 综上，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（深圳专用） 第二章 二次函数·提升通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝50+x2 C．y＝x+2 D．y＝（x+1）2﹣x2 2．（3分）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x D．y＝﹣2x+1 3．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（　　） A．y＝x2+8x+14 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+3 5．（3分）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3，若点（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（0，m），B（2，﹣m），C（﹣2，n），D（﹣6，﹣m），其中m，n为常数，那么的值为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是　 　 ． 10．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为　 　 ． 11．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣3ax+4与x轴交于两点，其中一点的坐标为（﹣1，0），则方程ax2﹣3ax+4＝0的根是 　 　 ． 12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 　 　 ． 13．（3分）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P（0，1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为（4，5）．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L′，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L′的对称轴为直线 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（6分）用配方法求下列二次函数的对称轴、顶点坐标、最大值或最小值． （1）y＝1+2x﹣x2 （2）yx2． 15． （7分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，经过（﹣5，0），（0，），（1，6）点；求（1）二次函数的解析式；（2）顶点坐标和对称轴；（3）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 16．（8分）探究问题1： （1）若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围． （2）变式：若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，则m的取值范围是 　 　 ． 等价转化：若二次函数 　 　 （m为常数）的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，则m的取值范围是 　 　 ． 探究问题2： （3） 若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，求m的取值范围． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a＜0）与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）． （2）当B的纵坐标为3时，求a的值； （3）已知点，Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围． 18．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将点B（1，5）向下平移6个单位，向左平移m个单位（m＞0）后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 19．（10分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 20．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点D是抛物线的顶点． （1）求B、C、D三点的坐标； （2）连接BC，BD，CD，若点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当S△PBC＝S△BCD时，求m的值（点P不与点D重合）； （3）连接AC，将△AOC沿x轴正方向平移，设移动距离为a，当点A和点B重合时，停止运动，设运动过程中△AOC与△OBC重叠部分的面积为S，请直接写出S与a之间的函数关系式，并写出相应自变量a的取值范围． 试题 第7页（共6页） 试题 第8页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（深圳专用） 第二章 二次函数·提升通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A D C A B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.y＝﹣0.04x2+1.6x 10.3 11．x1＝﹣1，x2＝4 12．﹣2＜x＜4 13．x＝6 三、解答题（第14题6分；第15题7分；第16、17题，每题8分；第18，19题，每题10分；第20题12分，共7小题，共61分） 14．（6分） 【详解】解：（1）y＝1+2x﹣x2， ＝﹣（x2﹣2x+1）+2 ＝﹣（x﹣1）2+2， ∴对称轴为x＝1、顶点坐标（1，2）、最大值是2；...............3分 （2）yx2 （x2x） （x）2， ∴对称轴为x、顶点坐标（，），最小值是．...............3分 15．（7分） 【详解】解：（1）把点（﹣5，0），（0，），（1，6）代入y＝ax2+bx+c中， 得，， 解得：， 所以二次函数的解析式为yx2+7x．...............3分 （2）顶点坐标是（） 对称轴为x．...............2分 （3）∵a＞0， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而减小．...............2分 16．（8分） 【详解】解：（1）由题意，∵y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点， ∴Δ＝16﹣4m＞0． ∴m＜4．...............2分 （2）变式：由题意，联列方程组， ∴x2﹣4x+m＝2x﹣1． ∴x2﹣6x+m+1＝0． ∵两个图象有两个公共点， ∴Δ＝36﹣4（m+1）＞0． ∴m＜8． 由x2﹣4x+m＝2x﹣1， ∴x2﹣6x+1＝﹣m． ∴等价转化：若二次函数y＝x2﹣6x+1的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，此时m＜8． 故答案为：m＜8；y＝x2﹣6x+1；m＜8．...............3分 （3）由题意，令x2﹣4x+m＝2x﹣1， ∴x2﹣6x+1＝﹣m． ∴二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点等价于二次函数y＝x2﹣6x+1的图象在x≤4的部分与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点． 由题意，y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8（x≤4）． 作图如下． ∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点， 结合图象， ∴﹣8＜﹣m≤﹣7． ∴7≤m＜8．...............3分 17．（8分） 【详解】解：（1）在（a＜0）中，令x＝0，则， ∴， 将点A向右平移2个单位长度，得到点B，则．...............2分 （2）∵B的纵坐标为3， ∴， ∴．...............2分 （3）由题意得：抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a， ∴， 当y＝2时，， 解得，， 当时，结合函数图象可得，抛物线与PQ恰有一个公共点， 综上所述，a的取值范围为．...............4分 18．（10分） 【详解】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线x， ∴x， ∴b＝﹣1， 将点A的坐标代入y＝﹣x2﹣x+c得： ∴﹣1+1+c＝3， ∴c＝3， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣x+3；...............3分 （2）根据题意，点B（1，5）平移后的点的坐标为（1﹣m，﹣1）（m＞0）， ∵点B（1，5）平移后恰好落在抛物线上， ∴﹣1＝﹣（1﹣m）2﹣（1﹣m）+3， 解得：m（舍去）或m， 即m的值为；...............3分 （3）∵抛物线y＝﹣x2﹣x+3开口向下且对称轴为直线， 当﹣2≤x≤n时，分三种情况求最值： ①当时， 当x时，， 当x＝﹣2时，函数取得最小值ymin＝1， 此时最大值与最小值的差为符合题意， ②当时， x＝﹣2时，函数取得最小值ymin＝1， ， 不合题意，舍去； ③当n＞1时， x时，， x＝n时，函数取得最小值， ∵该二次函数的最大值与最小值的差为， ∴n2+n﹣3， 解得 ∴， 解得n1＝1或n2＝﹣2，不合题意，舍去， 综上所述，n的取值范围为当．...............4分 19．（10分） 【详解】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得： ， 解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．...............4分 （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．...............6分 20．（12分） 【详解】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）；...............3分 （2）设BC：y＝kx+b 将B（3，0），C（0，﹣3）代入得：解得， ∴直线BC为y＝x﹣3， 过点D作DE∥y轴，交BC于点E， ∵xD＝1＝xE， ∴yE＝﹣2， ∴DE＝2， ∴S△BCD＝S△BED+S△CDE2×12×2＝3， 过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（m，m﹣3） ①当P是BC下方抛物线上一点时，如图1， ∴． ∴m1＝﹣1（舍），m2＝2， ②当P是BC上方抛物线上一点时，如图2， S△PBC＝S△PQC﹣S△PQBm2m＝3， 解得m1，m2， 综上：m的值为；...............4分 （3）①当0＜a≤1时，如图3， ∵OA′＝1﹣a，O′C′＝OC＝3， ∵ 即， ∴OE＝3﹣3a， ∴CE＝3a， ∵， 即， ∴O′G＝3﹣a， ∴GC′＝a， ∵， ∴△FC′G边CG′上的高为a， ∴S＝S△AOC﹣S△A′OE﹣S△FGC′1×3（1﹣a）×（3﹣3a）aaa2+3a； ②当1＜a≤3时，如图4， ∵GC＝a，△FC′G边CG′上的高为a， ∴S＝S△AOC﹣S△FGC′1×3aaa2； ③当3＜a≤4时，如图5， ∵A′B＝4﹣a，CC′＝a， 设△A′FB边A′B上的高为h，则△CFC′边CC′的高为3﹣h， ∵△A′FB∽△C′FC， ∴，解得h（4﹣a）， ∴S（4﹣a）（4﹣a）a2﹣3a+6； 综上，． ...............5分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 二次函数·提升通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列函数中，y一定是x的二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝50+x2 C．y＝x+2 D．y＝（x+1）2﹣x2 2．（3分）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（　　） A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x D．y＝﹣2x+1 3．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（　　） A．y＝x2+8x+14 B．y＝x2﹣8x+14 C．y＝x2+4x+3 D．y＝x2﹣4x+3 5．（3分）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3，若点（0，y1），（1，y2），（3，y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2 6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象经过点A（0，m），B（2，﹣m），C（﹣2，n），D（﹣6，﹣m），其中m，n为常数，那么的值为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m，BC＝2m，AD＝4m，如图2所示，则点C到AD的距离为（　　） A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是　 　 ． 10．（3分）二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为　 　 ． 11．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣3ax+4与x轴交于两点，其中一点的坐标为（﹣1，0），则方程ax2﹣3ax+4＝0的根是 　 　 ． 12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 　 　 ． 13．（3分）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P（0，1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为（4，5）．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L′，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L′的对称轴为直线 　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（6分）用配方法求下列二次函数的对称轴、顶点坐标、最大值或最小值． （1）y＝1+2x﹣x2 （2）yx2． 15． （7分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，经过（﹣5，0），（0，），（1，6）点；求（1）二次函数的解析式；（2）顶点坐标和对称轴；（3）当x为何值时，y随x的增大而减小？ 16．（8分）探究问题1： （1）若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围． （2）变式：若二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，则m的取值范围是 　 　 ． 等价转化：若二次函数 　 　 （m为常数）的图象与一次函数y＝﹣m的图象有两个公共点，则m的取值范围是 　 　 ． 探究问题2： （3） 若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个公共点，求m的取值范围． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a＜0）与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）． （2）当B的纵坐标为3时，求a的值； （3）已知点，Q（2，2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围． 18．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣1，3），对称轴为直线． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将点B（1，5）向下平移6个单位，向左平移m个单位（m＞0）后恰好落在抛物线上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 19．（10分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 20．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点D是抛物线的顶点． （1）求B、C、D三点的坐标； （2）连接BC，BD，CD，若点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当S△PBC＝S△BCD时，求m的值（点P不与点D重合）； （3）连接AC，将△AOC沿x轴正方向平移，设移动距离为a，当点A和点B重合时，停止运动，设运动过程中△AOC与△OBC重叠部分的面积为S，请直接写出S与a之间的函数关系式，并写出相应自变量a的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $