第二章 二次函数（四川成都专用，单元测试·基础卷）数学北师大版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（四川成都专用） 第一章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 2．抛物线，，的共同性质是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 3．在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 4．若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 5．二次函数的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 6．函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．若抛物线的解析式是：， 点都在该抛物线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．函数的一次项系数是 ． 10．已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为 ． 11．若方程的解是，则方程的解是 ． 12．抛物线 绕其顶点旋转后得到抛物线的解析式是 ． 13．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间 时，的面积最大，为 ． 三、解答题（第14题12分；第15，16题，每题8分；第17，8题，每题10分；共5个小题，共48分） 14．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式． (1)已知抛物线的顶点坐标是，且过点； (2)已知抛物线过点、、； (3)已知抛物线过点、、． 15．已知二次函数，几组该函数x与y的对应值如表： x … 1 2 … y … 0 m 3 … (1)求此二次函数的解析式； (2)求m的值． 16．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________． 17．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 18．抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分） 19．当 时，是二次函数． 20．已知二次函数，当时，y的取值范围是 ． 21．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 22．如图，在矩形中，，．点是上的动点，点是的中点，，相交于点，则的最小值为 ． 23．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C． （1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）； （2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 ． 二、解答题（第24题8分；第25题10分；第26题12分；共3个小题，共30分） 24．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25．如图，二次函数的图象经过点，与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于 (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在线段上，过点M作轴于点N，以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 26．将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（四川成都专用） 第一章 二次函数·基础通关（参考答案） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D D C A C C 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9． 10． 11．2 12． 13． 2 4 三、解答题（第14题12分；第15，16题，每题8分；第17，8题，每题10分；共5个小题，共48分） 14． 【详解】（1）解：设其对应的二次函数的表达式为， 把代入得：，解得：， 二次函数的表达式为，即；...............4分 （2）设其对应的二次函数的表达式为：， 把代入得：，解得：， 二次函数的表达式为，即；...............8分 （3）设其对应的二次函数的表达式为， 则，解得：， 二次函数的表达式为：．...............12分 15． 【详解】（1）解：将点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：...............4分 （2）解；令，则...............8分 16． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线；...............4分 （2）解：∵， ∴该抛物线开口向上， ∴当y随x的增大而增大时，x的取值范围是． 故答案为：．...............8分 17． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为轴， 故答案为：，轴；...............3分 （2）点， 当时，， 点 点的对称点的坐标为， 故答案为：；...............6分 （3）如图   ...............10分 18． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即；...............2分 （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值；...............6分 （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．...............10分 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分） 19． 20．/ 21．一 22． 23． 或 二、解答题（第24题8分；第25题10分；第26题12分；共3个小题，共30分） 24． 【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：；...............3分 （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元），...............8分 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 25． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ∵对称轴为直线，经过， ∴，解得， 抛物线的解析式为；...............3分 （2）解：设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 设，则点， ∴， 连接，设与交E， ∵四边形是正方形， ∴，，， 轴， ， ， ∴点P的横坐标为， ， ∵点在抛物线上， ， 解得（舍去），， 点坐标为．...............10分 26． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 得， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为；...............3分 （2）∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值；...............7分 （3）抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴；...............9分 ②如图，是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，， ∴； 如图，当是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得，∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去），∴； 综上，点G的坐标为．...............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（四川成都专用） 第一章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、右边不是整式，不符合题意； C、，当时，不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，熟练掌握形如（a、b、c是常数，）的函数是二次函数是解题的关键． 2．抛物线，，的共同性质是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：抛物线，，共有的性质是： 顶点坐标是都是即原点，对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐项检验即可． 【详解】解：A. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； B. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； C. 当时，，所以点不在该抛物线上，不符合题意； D. 当时，，所以点在该抛物线上，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与抛物线的位置关系，熟练掌握图像过点，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 4．若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线 根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线， 则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：． 5．二次函数的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴方程的解是或， 故选：C． 6．函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别．首先分两种情况进行分析，当时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向；同理当时也可以，再结合两函数图象交于点即可得出答案． 【详解】解：当时，直线过一、三象限，抛物线开口向上； 当时，直线过二、四象限，抛物线开口向下， 可得选项B、C、D不符合题意，选项A符合题意，故选：A． 7．若抛物线的解析式是：， 点都在该抛物线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得抛物线开口向上，则在对称轴右边，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右边，y随x增大而增大， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了比较二次函数值的大小，对于二次函数，当时，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，当时，在对称轴右侧y随x增大而减小，在对称轴左侧y随x增大而增大． 8．抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 根据图象开口向下可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与轴的交点在原点上方可， ∴， ∴，即①正确； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴当时，；当时，， ∴两式相减可得，即②正确； ∵抛物线顶点坐标为，开口向下， ∴为最大值， ∴对于任意实数，都有，即③错误； ④由图象可得，当时，，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．函数的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的基本概念，中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．根据二次函数一般式的定义求解． 【详解】解：二次函数的一次项系数是， 故答案为：． 10．已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，涉及交点式，其中，是抛物线与轴的交点的横坐标，据此作答即可． 【详解】解：依题意，设抛物线的解析式为 把代入， 得， 则 所以， 故答案为： 11．若方程的解是，则方程的解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的问题，把求方程的解转化成二次函与x轴的交点问题是解题的关键． 由的解是，则的函数图像与x轴交点的横坐标为1，函数的图像是向右移动一个单位得到的，则的函数图像与x轴的交点为2，即可得到方程的解． 【详解】解：∵方程的解是， ∴的函数图像与x轴交点的横坐标为1， ∵的图像是向右移动一个单位得到的， ∴的函数图像与x轴的交点为2， ∴的解是． 故答案为：2． 12．抛物线 绕其顶点旋转后得到抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】考查二次函数的几何变换问题；得到新函数的顶点及一点是解决本题的关键．易得抛物线的顶点，由于是绕顶点旋转，所以新抛物线的顶点不变，得到原抛物线上的一点绕顶点旋转后得到的坐标，代入用顶点表示的新抛物线求解析式即可． 【详解】解：， 原抛物线的顶点为． 抛物线绕顶点旋转， 可得旋转后的抛物线的顶点坐标为，且． 旋转后的抛物线的解析式为． 故答案为： 13．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间 时，的面积最大，为 ． 【答案】 2 4 【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好． 本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：根据题意得， 三角形面积为： ∴当时，的面积最大为， 故答案为：2， 三、解答题（第14题12分；第15，16题，每题8分；第17，8题，每题10分；共5个小题，共48分） 14．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式． (1)已知抛物线的顶点坐标是，且过点； (2)已知抛物线过点、、； (3)已知抛物线过点、、． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据已知条件选择恰当的表达形式． （1）已知抛物线的顶点坐标，可设表达式为顶点式，然后代入点即可求解； （2）已知抛物线与的两交点坐标，可设表达式为交点式，然后代入点即可求解； （3）已知抛物线上的普通三点，可设表达式为一般式，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设其对应的二次函数的表达式为， 把代入得：， 解得：， 二次函数的表达式为，即； （2）设其对应的二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， 二次函数的表达式为，即； （3）设其对应的二次函数的表达式为， 则， 解得：， 二次函数的表达式为：． 15．已知二次函数，几组该函数x与y的对应值如表： x … 1 2 … y … 0 m 3 … (1)求此二次函数的解析式； (2)求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值等知识点．注意计算的准确性． （1）将点，代入即可建立方程组求解； （2）令代入解析式函数即可求m的值． 【详解】（1）解：将点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为： （2）解；令，则 16．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式可直接进行求解； （2）首先得到抛物线开口向上，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴该抛物线开口向上， ∴当y随x的增大而增大时，x的取值范围是． 故答案为：． 17．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 【答案】(1)，轴 (2) (3)图像见解析 【分析】（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论； （2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可； （3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得：， 二次函数的解析式为， 对称轴为轴， 故答案为：，轴； （2）点， 当时，， 点 点的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）如图    【点睛】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． 18．抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分） 19．当 时，是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义可得且，解之即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得， 故答案为：． 20．已知二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，将二次函数解析式化为顶点式，得出当时，二次函数由最小值为，结合得出当时，取最大值，即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为直线，开口向上， ∴当时，二次函数由最小值为， ∵， ∴当时，取最大值为：， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 21．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴位置得到，由抛物线与y轴的交点位置得，所以，然后根据第一象限点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴在y轴左侧， ∴ ∴， ∴， ∵图象与y轴的交点在正半轴上， ∴， ∴， ∴点在第一象限． 故答案为：一 22．如图，在矩形中，，．点是上的动点，点是的中点，，相交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在几何中的应用，矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；作于M，于N，设， ，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求得：，同理可证，可求得，由勾股定理得，再由二次函数的性质即可求解；掌握矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能构建相似三角形，熟练利用勾股定理得到二次函数是解题的关键. 【详解】解：如图，作于M，于N， 四边形是矩形， 设， ，， ，，，， 是中点， ， 四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， ， 整理得：①， 同理可证：， ②， 将代①入②得：， ， 在中，， ， 当时，的最小值为， 的最小值为， 故答案：． 23．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C． （1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）； （2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据直线与轴、轴交于A、．可得，，根据抛物线过，可得，根据一般式配方成顶点式即得抛物线的顶点坐标； （2）根据点向右平移3个单位长度，得到点，分①当抛物线与相交时，抛物线对称轴左侧部分在点B上方时, 得到；抛物线对称轴右侧部分在点C下方时，得到a不存在；②当抛物线顶点在上时，得到；即可． 【详解】解：（1）∵直线与轴、轴交于A、． ∴时，，， 时，， ∴，， ∵抛物线过， ∴，， ∴， ∴顶点为； 故答案为：； （2）∵向右平移3个单位长度，得到点C， ∴， ∵，抛物线开口向下，抛物线与线段恰有一个公共点， ①当抛物线与线段相交时， 若抛物线过点， ， 实际此时抛物线在点上方， ∴，； 若抛物线过点C， ， 实际此时抛物线在点C下方， ∴a不存在； ∴；    ②当抛物线顶点在上时． 此时顶点为， ∴，解得．    ∴综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数综合，熟练掌握一次函数与一元一次方程的关系，点的平移规律，待定系数法，结合图象解不等式或方程，分类讨论，解题的关键． 二、解答题（第24题8分；第25题10分；第26题12分；共3个小题，共30分） 24．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)售价为元，最大利润为元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 25．如图，二次函数的图象经过点，与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于 (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在线段上，过点M作轴于点N，以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出直线的解析式，设，则点，可得，连接，设与交E，根据正方形的性质可得，，，从而得到轴，，再代入二次函数的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ∵对称轴为直线，经过， ∴，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 设，则点， ∴， 连接，设与交E， ∵四边形是正方形， ∴，，， 轴， ， ， ∴点P的横坐标为， ， ∵点在抛物线上， ， 解得（舍去），， 点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及的有二次函数的图象和性质，正方形的性质，熟练掌握有二次函数的图象和性质，正方形的性质，利用待定系数法解答是解题的关键． 26．将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)点G的坐标为 【分析】（1）根据勾股定理得到，列得，求出，得到，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出函数解析式； （2）求出直线的解析式，得到，连接，，根据求出答案； （3）抛物线的对称轴为直线，设，分情况画出图形分别求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 得， 解得, ∴经过三点的抛物线的解析式为； （2）∵点为抛物线上第二象限一动点， ∴， 设直线的解析式为， 得， 解得， ∴， 当时，， 故， 连接，， ， ∵ ∴当时，有最大值； （3）抛物线的对称轴为直线， 设， ①如图：是等腰直角三角形，过点G作x轴的平行线，作， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线解析式得， 解得（舍去）， ∴； ②如图，是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得，∴， 代入抛物线解析式得，解得（舍去）， ∴； ③当点Q与点B重合时，点A与点Q对称，此时， ∴当是等腰直角三角形时，，∴； 如图，当是等腰直角三角形，过点Q作， 同理得，∴， 代入抛物线解析式得，解得（舍去）， ∴； 综上，点G的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，全等三角形的判定，特殊三角形与二次函数，综合掌握所学知识点并熟练应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（四川成都专用） 第一章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中是二次函数的是(   ) A． B． C． D． 2．抛物线，，的共同性质是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．都有最高点 D．随的增大而增大 3．在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 4．若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 5．二次函数的图象如图所示，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 6．函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．若抛物线的解析式是：， 点都在该抛物线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．函数的一次项系数是 ． 10．已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为 ． 11．若方程的解是，则方程的解是 ． 12．抛物线 绕其顶点旋转后得到抛物线的解析式是 ． 13．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AB向B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间 时，的面积最大，为 ． 三、解答题（第14题12分；第15，16题，每题8分；第17，18题，每题10分；共5个小题，共48分） 14．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式． (1)已知抛物线的顶点坐标是，且过点； (2)已知抛物线过点、、； (3)已知抛物线过点、、． 15．已知二次函数，几组该函数x与y的对应值如表： x … 1 2 … y … 0 m 3 … (1)求此二次函数的解析式； (2)求m的值． 16．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________． 17．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．    (1)则k的值为____；对称轴为_____． (2)若点A的坐标为，则该图象上点A的对称点的坐标为______． (3)请画出该函数图象． 18．抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分） 19．当 时，是二次函数． 20．已知二次函数，当时，y的取值范围是 ． 21．已知二次函数的图象如图所示，则点在第 象限． 22．如图，在矩形中，，．点是上的动点，点是的中点，，相交于点，则的最小值为 ． 23．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C． （1）抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式表示）； （2）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 ． 二、解答题（第24题8分；第25题10分；第26题12分；共3个小题，共30分） 24．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 25．如图，二次函数的图象经过点，与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于 (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在线段上，过点M作轴于点N，以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 26．将放置在如图①所示的平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，其中． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)若点为抛物线上第二象限一动点（如图②），连结分别与轴交于点，记的面积为的面积为，求的最大值． (3)若点为抛物线上另一动点（如图③），连结，以为斜边作等腰直角，若其直角顶点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标（请直接写出结果）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $