第8章 函数应用（举一反三单元测试·拔尖卷）高一数学苏教版必修第一册

第8章 函数应用（举一反三单元测试·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·辽宁大连·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 5．（5分）（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）      A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7．（5分）（24-25高一上·北京·期中）在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（    ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A．①② B．①②③ C．①③ D．① 8．（5分）（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025高一上·全国·专题练习）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·浙江温州·期中）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 11．（6分）（25-26高一上·江苏无锡·期中）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 13．（5分）（24-25高一上·北京延庆·期末）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是 . 14．（5分）（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）对于实数和定义运算“”：，设，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高一·上海·专题练习）判断函数的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度) 16．（15分）（25-26高一上·广东深圳·期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 17．（15分）（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； (3)设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点. 18．（17分）（24-25高一上·浙江丽水·期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 19．（17分）（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 函数应用（举一反三单元测试·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 2．（5分）（25-26高一上·辽宁大连·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】计算函数值，再根据零点存在性定理可判断. 【解答过程】因为，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为 故选：B. 3．（5分）（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 4．（5分）（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875 1 0.1719 0.01245 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65 D．5，0.65 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【解答过程】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，精确度为， 又，，，精确度为， 又，，，精确度为 又，，，精确度为， 需要求解的值， 然后达到零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次. 故选：C. 5．（5分）（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【解答过程】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B. 6．（5分）（24-25高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）      A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【解题思路】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象． 【解答过程】设行进的速度为 ，行走的路程为 ， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②． 故选：A． 7．（5分）（24-25高一上·北京·期中）在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（    ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A．①② B．①②③ C．①③ D．① 【答案】A 【解题思路】利用对数函数的单调性与增长速度可判断①；利用对数的运算性质可判断②③. 【解答过程】对于①，因为对数函数为增函数，且， 由对数函数的单调性可知，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢，①对； 对于②，由， 即令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍，②对； 对于③，由 ， 由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到， 则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约，③错. 故选：A. 8．（5分）（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【解答过程】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象，      令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2025高一上·全国·专题练习）下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】利用二分法知识对选项中的函数逐一判断即可. 【解答过程】对于选项A： 函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B： 函数，故函数有唯一零点， 但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C： 当时，， 当且仅当时，等号成立，此时无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，， 且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，C正确； 对于选项D： 当时，，当时，， 所以能用二分法求零点的近似值，D正确． 故选：ACD. 10．（6分）（25-26高一上·浙江温州·期中）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 【答案】ABD 【解题思路】根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式即可判断A，再由题意得到的解析式，代值即可判断B，最后根据分段函数求得最值即可判断C，D． 【解答过程】由题意，当时,； 当时，设 由已知得， 解得， ∴； 所以时，，故A正确； 由上可得， 时，，故B正确； ①当时，为增函数， ∴当时，取得最大值，且最大值为 ， ②当时，， ∴当时，取得最大值，且最大值为．， 所以的最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确； 故选：ABD. 11．（6分）（25-26高一上·江苏无锡·期中）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 【答案】BCD 【解题思路】分析函数的性质，将方程零点问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再作出函数图象，利用图象，结合二次函数性质逐项求解判断. 【解答过程】函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为；在上单调递减，函数值集合为， 方程恰有3个不同的实数根，即函数的图象与直线有3个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图： 对于A，的取值范围是，A错误； 对于B，为方程，即的两个根，，B正确； 对于C，由，得，又，解得， 因此，C正确； 对于D，由选项B知，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，而，则， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ． 【答案】7 【解题思路】根据二分法，n次此操作后，区间长度变为，再解即可. 【解答过程】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 13．（5分）（24-25高一上·北京延庆·期末）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【解题思路】对于①，由求出即可；对于②，利用复合函数的单调性判断即可；对于③，令，，分别求出，，计算即可；对于④，令，，分别求出，，计算即可. 【解答过程】对于①，由即，可得， 因此等级为0dB的声音强度为，故①正确； 对于②，令，则，易知和在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确； 对于③，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确； 对于④，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误. 故答案为：①②③. 14．（5分）（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）对于实数和定义运算“”：，设，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】先画出函数的图象，由不等式恰有3个整数解，则这3个整数解为：，得，进行求解． 【解答过程】依题意，得 即， 作图： 得函数的值域为， 由，得， 由于， 得， 由于关于的不等式恰有3个整数解， 则这3个整数解为：， 得，即， 得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高一·上海·专题练习）判断函数的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度) 【答案】 【解题思路】首先由结合的单调性可知有且只有一个零点，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【解答过程】因为， 所以， 因为，所以在区间内有零点， 因为在上为增函数， 所以有且只有一个零点， 取区间的中点，， 所以，可得， 取区间的中点，， 所以，可得， 取区间的中点，， 所以，可得， 取区间的中点，， 所以，可得， 因为， 所以零点的近似值可取为. 16．（15分）（25-26高一上·广东深圳·期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元 【解题思路】（1）利用，即可求解； （2）分、两种情况，结合二次函数性质以及基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）根据题意可得， 所以 ； （2）由（1）可得： 当时，因为的图象开口向上，对称轴为， 可得； 当时，可得 ， 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元. 17．（15分）（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并给出证明； (3)设函数，求证：函数在区间上有且只有一个零点. 【答案】(1)； (2)单调递减，证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）利用奇函数的定义求出值. （2）求出并判断单调性，再利用函数单调性定义推理证明. （3）由（2）的结论，结合对数函数单调性判断的单调性，再利用零点存在性定理推理得证. 【解答过程】（1）函数的定义域为，由是奇函数，得， 即，整理得， 而不恒为0，所以. （2）由（1）知，，函数在区间上单调递减， 任意，， 由，得，因此，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（1）知，函数， 则函数，由（2）知，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 而，则存在唯一，使得， 所以函数在区间上有且只有一个零点. 18．（17分）（24-25高一上·浙江丽水·期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 【答案】(1)选择是最合适的模型，理由见解析 (2)；千件 【解题思路】（1）可利用特殊点与单调性，排除不合适的函数模型； （2）可将表中数据代入（1）中所选函数模型，求出函数，则每件的广告费用为,继而求其最值即可. 【解答过程】（1） ，在区间上单调递减， 与表中数据矛盾，该模型不合适, ，则函数在处无意义, 与表中数据矛盾，该模型不合适, 故选择是最合适的模型. （2）将表中的数据代入可得， 解得 所以； 设每千件的广告费用为， 则 ， 所以当时，最小值为， 故销售量增加达到千件时，才能使每千件的广告投入费用最少. 19．（17分）（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据函数的单调性定义即可证明； （2）令可得或.由函数零点与方程根的关系结合函数的图象即可求解. 【解答过程】（1）在上单调递增. 证明如下：当时，.设， 则. 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）的图象如图所示. 因为函数恰有4个零点， 所以方程恰有4个解. 即或共有4个解. 由图知，且或或， 解得或或， 即实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $