专题8.2 函数与数学模型（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦函数与数学模型核心知识点，先系统比较指数、对数、幂函数的增长差异，再通过11个题型分层讲解一次、二次、分段、对勾函数等模型的应用，最后引导建立拟合函数模型解决实际问题，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料以“举一反三”设计11类题型，涵盖汽车耗油量、会员增长等真实情境，通过实例培养用数学眼光观察问题、用数学思维分析函数差异、用数学语言表达模型的核心素养。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过例题变式巩固提升，有效查漏补缺。

专题8.2 函数与数学模型（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 2 【题型2 选择合适的函数模型】 3 【题型3 一次函数模型的应用】 6 【题型4 二次函数模型的应用】 9 【题型5 幂函数模型的应用】 11 【题型6 指数函数模型】 13 【题型7 对数函数模型】 15 【题型8 分段函数模型的应用】 17 【题型9 分式型函数模型的应用】 20 【题型10 “对勾”函数模型的应用】 24 【题型11 建立拟合函数模型解决实际问题】 27 知识点1 几个函数模型的比较 1．指数、对数、幂函数模型的增长差异 (1)指数函数和幂函数 一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn. (2)对数函数和幂函数 对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数 在区间(0,+∞)上，尽管函数y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn<ax. 2．几类不同增长的函数模型的应用 (1)一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. (2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. (3)幂函数模型：y=axn+b(a≠0，n>0). 幂函数模型应用的求解策略 ①给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. ②根据题意，直接列出相应的函数关系式. (4)指数函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (5)对数函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (6)分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. (7)“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 3．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 【题型1 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】运用各个函数的增长规律特点判定. 【解答过程】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的增长快慢差异判断. 【解答过程】解：因为指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快， 比幂函数，对数函数，一次函数增长的速度快， 所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是， 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）下列四个函数中增长速率最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断. 【解答过程】为一次函数，为对数函数，为幂函数，为指数函数， 指数函数，当时呈爆炸式增长，当x足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一·全国·单元测试）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三类函数的增长快慢判断即可 【解答过程】由于指数函数的底数大于1时，其增长速度随着时间的推移会越来越快，比幂函数和对数函数的增长速度快， 所以是更有前途的生意， 故选：A． 【题型2 选择合适的函数模型】 【例2】（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解题思路】根据表中数据，得到西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数判断. 【解答过程】解：根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数， 而，，，在时，均为单调函数，这与所提供的数据不符， 故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是， 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·广东·阶段练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 【答案】(1)选②，理由见解析，函数解析式为 (2)分钟 【解题思路】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①③,代入数据②中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【解答过程】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以. （2）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 【变式2-3】（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【答案】(1)选择③；， (2)预计平台建立年后会员数超过千人 【解题思路】（1）根据表格中的数据以及函数的增长速度可知，选择模型③较为合适，然后将表格中前三组数据代入函数解析式，解出、、的值，可得出函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式，解不等式，可得结果. 【解答过程】（1）解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢 所以，选择③， 代入表格中的前三个点可得：，解得：， 所以，函数解析式为，． （2）解：由（1）可知：，则． 所以，，则 ． 所以，预计平台建立年后会员数超过千人. 【题型3 一次函数模型的应用】 【例3】（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【解答过程】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 【变式3-1】（24-25高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长． SIZE 尺码对照表 中国鞋码实际标注 (同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法 (同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【答案】C 【解题思路】设出一次函数，采用待定系数法求出，令即可求解. 【解答过程】设脚长为，鞋号为码，由数据可知，脚长和鞋号符合一次函数关系：，将代入可得，当时，，故他最适合穿的鞋号是47码. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精． 【解答过程】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C. 【变式3-3】（2025高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项. 【解答过程】设目前车票价格为，支出费用为，则， 对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则， 显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）； 对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则， 显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）． 故选：C． 【题型4 二次函数模型的应用】 【例4】（24-25高一上·辽宁大连·期末）从甲地到乙地的距离为，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的关系式为，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度为（    ） A．60 B．80 C．100 D．110 【答案】B 【解题思路】根据题意列出函数关系，即可利用二次函数的性质求解. 【解答过程】由题意可得总耗油量为, 由于为开口向上的二次函数，对称轴为 故速度为80时，总耗油量最小， 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一上·四川南充·开学考试）如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（    ）平方米.    A．1800 B．1750 C．1700 D．1600 【答案】A 【解题思路】设BC长为x米，利用面积公式求出菜园面积，将二次函数的解析式化成顶点式，结合图像开口方向以及x的取值范围即可确定面积的最大值． 【解答过程】    设BC长为x米，∴， ∴由矩形的面积公式得：， ∴y与x的函数关系式为； ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为平方米． 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应的提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为 (1)写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； (2)投入成本增加的比例多大时，本年度预计的年利润最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)投入成本增加的比例为时，本年度预计的年利润最大，最大值是万元 【解题思路】（1）根据“年利润=（出厂价－投入成本）×销售量”公式即可求得解析式； （2）根据二次函数的性质即可得出最大值. 【解答过程】（1） . （2）函数的图象开口向下，对称轴为直线. ∴当时，取得最大值. ∴投入成本增加的比例为时，本年度预计的年利润最大，最大值是万元. 【变式4-3】（24-25高一上·浙江·阶段练习）临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20. (1)试将总利润表示成关于的函数； (2)当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？ 【答案】(1) （）. (2)100元，1980元. 【解题思路】（1）由每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤和供货价格＝固定价格＋浮动价格求解； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质求解. 【解答过程】（1）解：设每斤车厘子的售价定为元时，总利润为， 由得， （）. （2）总利润， ， 所以当售价元时，总利润达到最大； 总利润元， 即每斤车厘子售价定为100元时，车厘子总利润最大，为1980元. 【题型5 幂函数模型的应用】 【例5】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【解答过程】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 【变式5-1】（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解答过程】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 【变式5-2】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【解答过程】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 【变式5-3】（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据： ，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【解题思路】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【解答过程】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 【题型6 指数函数模型】 【例6】（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【解题思路】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案. 【解答过程】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时 【答案】A 【解题思路】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【解答过程】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要（t－1）小时， 由题意可得， 即， 两边同时取自然对数并整理，得 ， ， 则， 则给氧时间至少还需要0.5小时． 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·广西柳州·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，，初始时污染物的含量为，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（   ） A．70% B．85% C．81% D．72.9% 【答案】D 【解题思路】根据所给函数模型，利用指数幂的运算性质计算可求解. 【解答过程】当时，； 当时，，即； 当时，， 故选：D. 【变式6-3】（2025·四川攀枝花·模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（   ） A．2.9min B．3.4min C．3.9min D．4.4min 【答案】D 【解题思路】根据给定的函数模型，列式并借助对数运算求解即得. 【解答过程】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是， 得，解得， 该物体的温度降至需要冷却的时间为，则， 于是，两边取对数得， 所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为. 故选：D. 【题型7 对数函数模型】 【例7】（2025·广东广州·二模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得，即可求出的范围，从而得解. 【解答过程】依题意可得，所以，所以， 所以，即轻柔音乐的声强级范围是. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【解题思路】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【解答过程】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 【变式7-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得，即，再分析求解即可. 【解答过程】由题意知，所以， 即，计算得，即， 解得，所以燃料质量约为. 故选：C． 【变式7-3】（24-25高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 【答案】A 【解题思路】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，利用对数的运算性质结合指数与对数的互化可求得的值. 【解答过程】设里氏级、级地震所释放的能量分别为、，则， 上述两个等式作差可得，则，故. 故选：A. 【题型8 分段函数模型的应用】 【例8】（24-25高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】A 【解题思路】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解． 【解答过程】当时，则， 当时，设函数为， 将，代入可得，解得，所以， 所以， 要使，则或，解得或， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为个小时． 故选：A． 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为 (k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是（    ） A．40分钟 B．35分钟 C．30分钟 D．25分钟 【答案】C 【解题思路】由工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，求得，可得，代入即可求得答案. 【解答过程】由题意工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟， 所以当时，， 当时，，解得， 所以， 因为，所以， 即可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是30分钟． 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【解题思路】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【解答过程】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【变式8-3】（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)150台，万元 【解题思路】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可. 【解答过程】（1）当时，； 当时， ， 则. （2）当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 【题型9 分式型函数模型的应用】 【例9】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)，； (2)，，销售单价39元. 【解题思路】（1）取数据对代入求出即可求出解析式. （2）求出日销售利润函数，再利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）取数据对，则，解得， 由实际意义知，，解得， 所以与之间的函数解析式，. （2）由（1）得，日销售利润，， ，当且仅当，即时取等号， 所以当销售单价为39元时，获得最大日销售利润400元. 【变式9-1】（24-25高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】(1) (2)当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元 【解题思路】（1）由建造费与能源消耗费求和可得； （2）利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为， ∴. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值， ∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元. 【变式9-2】（24-25高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式9-3】（24-25高一上·广东·期末）某大学校园选择了一个八边形区域设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等的等腰直角三角形，主干路总面积（图中阴影部分和中间白色正方形面积之和）为，在重合的部分处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为600元；在四个空角（图中四个三角形）建造水池和喷泉，造价为1600元；四个矩形路（图中阴影部分）不处理，造价忽略不计.设长为（单位：），长为（单位：）. (1)求关于的函数关系式； (2)设校园景观总造价为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)40000元 【解题思路】（1）利用面积建立的关系，解得，并求得的范围即可得； （2）用表示出，变形后由基本不等式得最小值． 【解答过程】（1）由题意可知，即， 又，得，解得， 所以关于的函数关系式为. （2）由题意可得，凉亭总造价为元， 水池和喷泉总造价为元， 所以校园景观总造价 . 当且仅当，即时等号成立，经检验， 所以当时，取最小值40000元. 【题型10 “对勾”函数模型的应用】 【例10】（24-25高一上·重庆长寿·期末）某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. (1)以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； (2)求当年利润的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据利润收入成本即可得结果； （2）直接根据对勾函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）由题意得（） （2）由（1）可得：（）， 函数在区间单调递减，在区间单调递增， 当年产部时，，当年产部时，， 当年产部时，， 因此：当年产量为部时，公司所获利润最大，最大利润为万元，当产量为部时，公司所获利润最小，最小利润为万元， 综上所述：公司利润取值范围是：（单位万元）. 【变式10-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）如图，某学校准备利用一面长度20米的旧墙建造一间体育活动室，活动室为占地224平方米的矩形.工程费用情况如下: ①翻修1米旧墙的费用为25元; ②建造1米新墙的费用为100元; ③拆去1米旧墙，然后用所得的材料修建1米新墙的费用为50元. 记利用旧墙的一条矩形边长为米，建造活动室围墙的总费用为元.请问如何利用旧墙，能使得建造活动室围墙的总费用最低?并求出最低费用. 【答案】保留16米旧墙翻新，拆除4米旧墙修新墙能使建造活动室围墙的总费用最低，为元. 【解题思路】根据已知求得矩形另一边长为米，结合已知分别得到要建新墙、要翻修旧墙、要拆旧墙长度，进而写出总费用表达式，应用对勾函数性质求最小值，即可得结论. 【解答过程】由题设，一边为米，矩形另一边长为米， 则要建新墙为米，要翻修旧墙为米，要拆旧墙为米，且， 所以， 当且仅当时等号成立； 综上，保留16米旧墙翻新，拆除4米旧墙修新墙能使建造活动室围墙的总费用最低，为元. 【变式10-2】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某广场欲建一块 的矩形绿地，在绿地的四周铺设2宽的人行道，如图所示．设矩形绿地的长为 ，绿地与人行道一共占地 ． (1)试写出关于的函数关系式； (2)求为何值时，占地面积最小． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由矩形绿地的长，求出宽，得到绿地与人行道的总长与总宽，由面积公式写出关于的函数关系式； （2）利用基本不等式求最小值. 【解答过程】（1）由题意，易知绿地与人行道的长为 ，宽为 ， 故，； （2）由基本不等式可知， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故m时，占地面积的最小值为2916. 【变式10-3】（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【解答过程】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 知识点2 函数的实际应用 1．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型11 建立拟合函数模型解决实际问题】 【例11】（24-25高一上·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ （参考数据：） 【答案】(1)因为随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，且不再升高，所以选择模型①；解析式为 (2). 【解题思路】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得的值，即可得解析式； （2）根据（1）的解析式，将代入解析式求的值即可. 【解答过程】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，代入前三组数据 解得，所以函数模型解析式为. （2）由（1）知，即，所以， ， 所以刚泡好的茶水大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感. 【变式11-1】（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【答案】(1)选择模型③，，100千人． (2)4． 【解题思路】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；（2）由已知可得出，令，则，令，求出函数在区间上的最大值，即可得实数k的最小值. 【解答过程】（1）由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适， 由表格中的数据可得，解得 所以，函数模型的解析式为， 令，预测2024年年末的会员人数为100千人． （2）由题意可得， 令，则， 令，，则函数的定义域上单调递增， 又关于在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，， 即．所以的最小值为4． 【变式11-2】（24-25高一上·贵州安顺·期末）正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆该型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少? 【答案】(1)选择， (2)当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为 【解题思路】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式； （2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【解答过程】（1）对于，当时，它无意义，所以不合题意， 对于，易知是减函数，由图表知，随着的增大而增大，所以不合题意， 所以选，由表中数据可得， 解得，，所以当时，. （2）国道路段长为，所用时间为， 所耗电量为， 因为，当时，； 高速路段长为，所用时间为， 所耗电量为 ， 当且仅当即时等号成立. 所以： 故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时， 该车从地到地的总耗电量最少，最少为. 【变式11-3】（24-25高一上·云南大理·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系如下表： 2 3 6 9 12 15 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的，两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个. 【答案】(1)模型①，理由见解析 (2)，81个小时 【解题思路】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，故只有函数模型①符合； （2）将数据带入即可计算出，则当时即可求出答案. 【解答过程】（1）最符合实际的函数模型为①，理由如下： 根据图象知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足； 又随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度增长缓慢，所以③不符合， 只有①满足，故最符合. （2）将，代入， 得，即，解得. 则. 当时，，即，解得. 所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 函数与数学模型（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 2 【题型2 选择合适的函数模型】 3 【题型3 一次函数模型的应用】 4 【题型4 二次函数模型的应用】 6 【题型5 幂函数模型的应用】 7 【题型6 指数函数模型】 8 【题型7 对数函数模型】 8 【题型8 分段函数模型的应用】 9 【题型9 分式型函数模型的应用】 11 【题型10 “对勾”函数模型的应用】 12 【题型11 建立拟合函数模型解决实际问题】 14 知识点1 几个函数模型的比较 1．指数、对数、幂函数模型的增长差异 (1)指数函数和幂函数 一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn. (2)对数函数和幂函数 对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数 在区间(0,+∞)上，尽管函数y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn<ax. 2．几类不同增长的函数模型的应用 (1)一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. (2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. (3)幂函数模型：y=axn+b(a≠0，n>0). 幂函数模型应用的求解策略 ①给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. ②根据题意，直接列出相应的函数关系式. (4)指数函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (5)对数函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (6)分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. (7)“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 3．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 【题型1 指数、对数、幂函数模型的增长差异】 【例1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）下列四个函数中增长速率最快的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一·全国·单元测试）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是（    ） A． B． C． D． 【题型2 选择合适的函数模型】 【例2】（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 50 110 250 种植成本Q 150 108 150 根据上表数据，函数①，②，③，④．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2-2】（24-25高一上·广东·阶段练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 【变式2-3】（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【题型3 一次函数模型的应用】 【例3】（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·浙江·期中）网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”．为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长． SIZE 尺码对照表 中国鞋码实际标注 (同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法 (同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是（    ） A．45 B．46 C．47 D．48 【变式3-2】（24-25高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【题型4 二次函数模型的应用】 【例4】（24-25高一上·辽宁大连·期末）从甲地到乙地的距离为，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的关系式为，从甲地到乙地这辆车的总耗油最少时，其速度为（    ） A．60 B．80 C．100 D．110 【变式4-1】（24-25高一上·四川南充·开学考试）如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（    ）平方米.    A．1800 B．1750 C．1700 D．1600 【变式4-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应的提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为 (1)写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式； (2)投入成本增加的比例多大时，本年度预计的年利润最大？最大值是多少？ 【变式4-3】（24-25高一上·浙江·阶段练习）临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为元时，销售量为斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20. (1)试将总利润表示成关于的函数； (2)当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？ 【题型5 幂函数模型的应用】 【例5】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-3】（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据： ，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【题型6 指数函数模型】 【例6】（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【变式6-1】（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时 【变式6-2】（24-25高一下·广西柳州·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，，初始时污染物的含量为，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（   ） A．70% B．85% C．81% D．72.9% 【变式6-3】（2025·四川攀枝花·模拟预测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．1min后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：）（   ） A．2.9min B．3.4min C．3.9min D．4.4min 【题型7 对数函数模型】 【例7】（2025·广东广州·二模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式7-2】（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·四川凉山·期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（    ） A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍 【题型8 分段函数模型的应用】 【例8】（24-25高二下·北京朝阳·期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【变式8-1】（24-25高一上·全国·课后作业）某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为 (k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是（    ） A．40分钟 B．35分钟 C．30分钟 D．25分钟 【变式8-2】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【变式8-3】（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【题型9 分式型函数模型的应用】 【例9】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【变式9-1】（24-25高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和． (1)求的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【变式9-2】（24-25高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【变式9-3】（24-25高一上·广东·期末）某大学校园选择了一个八边形区域设计一个校园景观，如图所示，图中四个三角形为全等的等腰直角三角形，主干路总面积（图中阴影部分和中间白色正方形面积之和）为，在重合的部分处建一正方形特色凉亭，凉亭造价为600元；在四个空角（图中四个三角形）建造水池和喷泉，造价为1600元；四个矩形路（图中阴影部分）不处理，造价忽略不计.设长为（单位：），长为（单位：）. (1)求关于的函数关系式； (2)设校园景观总造价为（单位：元），求的最小值. 【题型10 “对勾”函数模型的应用】 【例10】（24-25高一上·重庆长寿·期末）某电脑公司为了提高产值，预计生产电脑的固定成本为万元，每生产千台电脑，需投入成本万元，.按前几年的统计数据，最少生产万台，最多每年生产万台电脑.已知每台电脑的售价为万元，且假设全年内生产的电脑当年能全部销售完. (1)以利润(万元)为函数，年产量（千台）为自变量，求函数解析式； (2)求当年利润的取值范围. 【变式10-1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）如图，某学校准备利用一面长度20米的旧墙建造一间体育活动室，活动室为占地224平方米的矩形.工程费用情况如下: ①翻修1米旧墙的费用为25元; ②建造1米新墙的费用为100元; ③拆去1米旧墙，然后用所得的材料修建1米新墙的费用为50元. 记利用旧墙的一条矩形边长为米，建造活动室围墙的总费用为元.请问如何利用旧墙，能使得建造活动室围墙的总费用最低?并求出最低费用. 【变式10-2】（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某广场欲建一块 的矩形绿地，在绿地的四周铺设2宽的人行道，如图所示．设矩形绿地的长为 ，绿地与人行道一共占地 ． (1)试写出关于的函数关系式； (2)求为何值时，占地面积最小． 【变式10-3】（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 知识点2 函数的实际应用 1．拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 【题型11 建立拟合函数模型解决实际问题】 【例11】（24-25高一上·广东佛山·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85 79 73.6 68.74 64.34 60.24 设茶水温度从85°C开始，经过min后温度为℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：①；② (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式； (2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ （参考数据：） 【变式11-1】（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据） 建立平台第年 1 2 3 4 会员人数（千人） 16 28 52 86 (1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数： ①，②且，③且； (2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值． 【变式11-2】（24-25高一上·贵州安顺·期末）正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示： 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，. (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆该型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少? 【变式11-3】（24-25高一上·云南大理·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系如下表： 2 3 6 9 12 15 3.2 3.5 3.8 4 4.1 4.2 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中的，两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $