专题 数学建模与数学探究（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

专题　数学建模与数学探究 学业标准 1.了解数学建模的过程和意义． 2．掌握数学建模的步骤． 3．了解数学建模活动的主要过程． [教材梳理] 导学1　数学建模 对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用__数学方法构建模型__解决问题就是__数学建模__． 导学2　数学建模过程 数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，__分析问题__、__建立模型__，__确定参数__、__计算求解__，__验证结果__、__改进模型__，最终解决实际问题． 导学3　数学建模论文的主体结构 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 一、数学模型检验 　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润．(结果保留两位有效数字) [解析]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图． 根据图象，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系． y＝－a(x－4)2＋2(a＞0)① y＝bx② 把x＝1，y＝0.65代入①式， 得0.65＝－a(1－4)2＋2， 解得a＝0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝－0.15(x－4)2＋2表示； 把x＝4，y＝1代入②式，解得b＝0.25， 故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y＝0.25x表示．设下个月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元，xB万元，总利润为W万元，得 即W＝－＋×＋. 所以当xA＝≈3.2时， W取得最大值，约为4.1万元， 此时，xB＝≈8.8. [规律方法]　(1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 　某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表： 天数 1 2 3 4 5 6 病毒细胞的个数 1 2 4 8 16 32 已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%. (1)为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天，lg 2≈0.301 0) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天) [解析]　(1)由题意知第一次注射药物前病毒细胞个数y关于天数n(n∈N*)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N*).为了使小白鼠在试验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第一次最迟应在第27天注射该种药物． (2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%×2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋x lg 2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射该种药物． 二、数学建模实践 　茶水的最佳口感问题 1．发现问题，提出问题 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25 ℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 例如，某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得到下表的一组数据． 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型．为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型． 设茶水温度从85 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃.根据上表，画散点图(图1). 2．分析问题，建立模型 观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数y＝kax＋25(k∈R，0<a<1，x≥0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律． 3．确定参数，改进模型 根据实际情况可知，当x＝0时，y＝85，可得k＝60. 为了求出温度的衰减比例a，可从第2 min的温度数据开始，计算每分(y－25)的值与上一分(y－25)值的比值，列出下表． x 0 1 2 3 4 5 y－25 60.00 54.19 49.75 46.19 43.19 40.10 比值 0.903 2 0.918 1 0.928 4 0.935 1 0.928 5 计算各比值的平均值，得 a＝(0.903 2＋0.918 1＋0.928 4＋0.935 1＋0.928 5) ＝0.922 7. 我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型 y＝60×0.922 7x＋25(x≥0).① 4．验证结果，改进模型 将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律． 将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得 60×0.922 7x＋25＝60. 解得x＝log0.922 7≈6.699 97. 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7 min. [规律方法]　数学建模的一般步骤 (1)提出问题 实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的，原始的问题往往是一个希望得到优化的期待，或是某个不良现象的消失．这就需要透过现象，明确地提出问题． (2)建立模型 在一定的知识积累的基础上，预测建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃次要因素，做出适当简化和假设． 在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系．从不同角度，用不同知识表示同样的问题，就会得到不同的模型． (3)求解模型 这个过程是求解数学问题．值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解． (4)检验结果 用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际．如果不符合实际情况，就要重新建模． 　一定时间内通过路口的车辆问题 1．发现问题，提出问题 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为15 s，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过十字路口？ 2．分析问题，建立模型 这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，而不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，就需要作出假设．例如，虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此这次建模就只考虑小轿车的情况，它们的长度差距不大，可以假设车长都相同. 经过对相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的几个假设： (1)通过路口的车辆长度都相等； (2)等待时，前后相邻两辆车的车距都相等； (3)绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动； (4)前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等； (5)车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞． 将车辆长度记作l，车距记作d，经过实际调查，取l＝5 m，d＝2 m较为合理． 另据调查，一般的汽车按照十字路口的加速状态，10 s内可从静止加速到21 m/s，加速度记作a，计算可得a＝2.1 m/s2，为了简化，这里取a＝2 m/s2.汽车加速到最高限速后，便以这个最高限速行驶． 资料显示，城市十字路口的限速v*＝40 km/h≈11.1 m/s. 延时记作T，经观察，取T＝1 s较为合理．用tn表示第n辆汽车开始启动的时间，则tn＝nT.用t表示第n辆车到达最高限速的时间，则汽车做匀加速运动的时间是t－tn＝＝5.55(s). 为了简化，这里t－tn的值取为5.5 s. 用Sn(t)表示时刻t第n辆汽车所在的位置，停车线位置记作0，则Sn(0)＝－(n－1)(l＋d). 这样，实际问题就可以表述为数学问题：求满足Sn(15)＞0的n的最大值，其中 Sn(t)＝ 3．确定参数，计算求解 代入各个量的参数值，可以计算出绿灯亮至15 s时若干辆汽车的位置，如下表． 汽车序号 1 2 3 4 5 6 7 8 位置/m 124.6 106.5 88.4 70.3 52.2 34.1 16.0 －2.1 由表可见，绿灯亮至15 s时，第7辆车已经驶过停车线16.0 m，而第8辆车还距停车线2.1 m，没有通过．因此，15 s的绿灯最多可以通过7辆汽车． 4．验证结果，改进模型 到十字路口实地调查，对结论做检验．若没有明显误差，就可以使用这个模型．否则，再修改假设，重新建模． 三、数学建模论文的参考形式 论文标题 作者： 指导教师： 背景介绍：(论文的提出为什么会想到本论文的) 问题提出与分析：(本文所解决的主要问题是什么，通过哪些内容的研究完成这一目标) 模型的建立 模型的求解 模型的检验 模型的评价 指导教师意见 了解人口增长的规律，一直都是人们特别感兴趣的事情，与其他同学合作，查找某一地区或某一国家人口的历史数据，尝试建立相关的数学模型，并利用数学模型加以预测． 数学建模活动研究报告 ____________年级____________班　　　　完成时间____________ 1.课题名称 2.课题组成员及分工 3.选题的意义 4.研究计划(包括对选题的分析，解决问题的思路等) 5.研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等) 6.研究结果 7.收获与体会 学科网（北京）股份有限公司 $$