专题7.4 三角函数的图象与性质（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题7.4 三角函数的图象与性质（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 4 【题型2 正、余弦函数图象的识别及应用】 5 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 6 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 7 【题型5 求三角函数的单调区间】 8 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 8 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 9 【题型8 三角函数的周期性问题】 9 【题型9 三角函数的零点问题】 10 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 11 知识点1 三角函数的图象与性质 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 【例1】（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【题型2 正、余弦函数图象的识别及应用】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·北京·期中）函数图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 【例3】（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·广西桂林·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）函数定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 【例4】（24-25高一下·湖北·阶段练习）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）若函数在区间上恰有两个最大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点2 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= (k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令(k∈Z)）求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z). 【题型5 求三角函数的单调区间】 【例5】（24-25高一下·重庆·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）下列函数在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 【例6】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例7】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．图象的对称中心是， C．的最小正周期是 D．是奇函数 【变式7-3】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【题型8 三角函数的周期性问题】 【例8】（2025高一·全国·专题练习）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·江苏连云港·期末）设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】（24-25高一下·北京·期中）下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【题型9 三角函数的零点问题】 【例9】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 【变式9-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式； (2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围. 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例10】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 【变式10-1】（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数，则下列命题中错误的是（   ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【变式10-2】（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【变式10-3】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 三角函数的图象与性质（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 4 【题型2 正、余弦函数图象的识别及应用】 7 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 9 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 10 【题型5 求三角函数的单调区间】 12 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 14 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 16 【题型8 三角函数的周期性问题】 18 【题型9 三角函数的零点问题】 19 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 22 知识点1 三角函数的图象与性质 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，，(π,0)，，(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 4．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点，(0,0)，；“两线”是指直线和.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间上的简图. 【题型1 五点法画正弦、余弦函数的图象】 【例1】（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【解题思路】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【解答过程】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦函数的性质即可求解. 【解答过程】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【解题思路】（1）（2）列出表格，利用五点法作出函数图象. 【解答过程】（1）取值列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 0 描点、连线，作出函数的图象： （2）取值列表如下： x 0 π 2π 1 0 0 1 描点、连线，作出函数的图象： 【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【解题思路】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解答过程】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 【题型2 正、余弦函数图象的识别及应用】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解答过程】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 【变式2-1】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】结合图象特点，分别计算和的值，进而得到答案. 【解答过程】当时，，所以，排除C，D； 当时，，所以，A正确，B错误， 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·河南信阳·期末）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解答过程】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一下·北京·期中）函数图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据函数图象的对称性排除AC，再结合函数值大小排除B，从而得正确结论． 【解答过程】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项， 但是，因此的图象关于直线对称，可排除AC， 又，排除B， 故选：D． 【题型3 三角函数的定义域、值域与最值】 【例3】（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【解答过程】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高一下·广西桂林·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，令，转化为二次函数求解. 【解答过程】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）函数定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【解答过程】由题意，函数有意义，则满足，即 解得， 所以函数的定义域. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求的范围，再根据余弦函数的性质求值域. 【解答过程】因为，所以，则， 故的值域为． 故选：C. 【题型4 由三角函数的值域（最值）求参数】 【例4】（24-25高一下·湖北·阶段练习）若函数在上的值域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据角的范围得出，再结合正弦函数的值域列不等式计算求参. 【解答过程】当时，，且值域为， 所以，则. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知在区间上的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出，再根据解方程即可. 【解答过程】因为，即， 又，所以，所以， 所以，． 故选：A． 【变式4-2】（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）若函数在区间上恰有两个最大值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角函数的图象和性质，利用整体代换计算即可. 【解答过程】当时，， 因为函数在区间上恰有两个最大值点， 所以，解得， 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦函数的图象性质求解即可. 【解答过程】当时，，结合余弦函数的性质知，若则该函数值域会出现大于的情况，则. 时，由值域为，， 所以， 所以 故选：A. 知识点2 三角函数的单调性、周期性、对称性与奇偶性 1．三角函数的单调区间的求解方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 3．三角函数周期的一般求法 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期. 4．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ= (k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令(k∈Z)）求x即可. 5．三角函数的奇偶性的判断方法 三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. 若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=(k∈Z). 【题型5 求三角函数的单调区间】 【例5】（24-25高一下·重庆·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【解答过程】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）下列函数在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】数形结合，判断各选项在给定区间上的单调性即可. 【解答过程】对A：函数在上单调递增，在上单调递减，故A不满足题意； 对B：函数在上单调递减，故B不满足题意； 对C：函数在上单调递增，故C满足题意； 对D：函数在区间无意义，所以D不满足题意. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【解答过程】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【解答过程】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，当时，，所以单调递增，故B错误； 对C：的最小正周期为，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 【题型6 根据三角函数的单调性求参数】 【例6】（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得，，结合解出即可得. 【解答过程】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·安徽·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又因为函数在区间上单调递减， 所以，,即， 故当时，. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【解答过程】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 【变式6-3】（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦函数的单调性结合已知函数的单调区间列出不等式组，解之即可. 【解答过程】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 且， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【题型7 三角函数的奇偶性与对称性问题】 【例7】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性及诱导公式得解. 【解答过程】由是奇函数，则是偶函数， 所以，即， 故当时，， 故选：A． 【变式7-1】（24-25高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【解答过程】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内是增函数 B．图象的对称中心是， C．的最小正周期是 D．是奇函数 【答案】B 【解题思路】求函数的定义域，和单调增函数即可判断A，令求出即可判断B，由周期公式即可判断C，由奇偶性的定义即可判断D. 【解答过程】对于A：令，函数的定义域， 由有， 所以函数的单调增区间为， 由单调性的定义可知，在定义域内不具有单调性，故A错误； 对于B：令有，所以图象的对称中心是 ，故B正确； 对于C：，所以的最小正周期是，故C错误； 对于D：，可知是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【解题思路】将选项A，B，C中的条件分别代入函数的解析式中，计算判断对应结论；取特值计算判断D作答. 【解答过程】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，，，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确. 故选：B. 【题型8 三角函数的周期性问题】 【例8】（2025高一·全国·专题练习）下列函数，最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于A、B直接由正弦函数的周期公式求出即可判断；对于C、D求出不带绝对值的函数的周期，再减半，即可判断. 【解答过程】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 【变式8-1】（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由正余弦型的三角函数的周期公式求解. 【解答过程】由正余弦型的三角函数的周期公式求解，要注意C项是绝对值函数的周期特点. 四个选项中的函数周期分别为，，，， 故选：D． 【变式8-2】（24-25高一上·江苏连云港·期末）设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用正弦型三角函数，代入计算即可. 【解答过程】由，且为正数，可得，解得. 故选：C. 【变式8-3】（24-25高一下·北京·期中）下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦函数最小正周期计算公式对选项逐一分析即可得出结论. 【解答过程】易知的最小正周期为，的最小正周期为； 而的最小正周期为，的最小正周期为. 故选：D. 【题型9 三角函数的零点问题】 【例9】（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为，，所以， 又在区间上恰有个零点，所以，解得， 即的取值范围为. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【解答过程】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意得出函数的最小正周期，可求出的值，然后利用余弦型函数的基本性质可求出函数在上的值域； （2）由可求出的取值范围，结合余弦函数的基本性质可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为， 因为，则，所以，， 当时，，则， 则， 因此，当时的值域为. （2）当时，， 因为函数在开区间内恰有个零点，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式9-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式； (2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意可得函数的周期求出，又过点B取最值求； （2）根据求，由已知条件及正弦函数的性质求的取值范围. 【解答过程】（1）依题意可知：，即，所以， 又过点，所以,即， 又，所以，即. （2）因为，且，所以，即， 又当时恰有两个零点，， 依题意：，即， 又在上单调，所以， 依题意;若，即，所以，因，故不合题意； 若，即，所以，因，故； 若，即，显然不等式组无解； 综上，的取值范围为. 【题型10 三角函数的图象与性质的综合应用】 【例10】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C． D．在上单调递减 【答案】D 【解题思路】利用代入检验法可判断ABC的正误，根据正弦函数的单调性结合同增异减可判断D的正误. 【解答过程】对于A，由题意可得，故不是奇函数，则A错误. 对于B，因为， 所以的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C，若，则图象的对称中心为， 而，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D，由，得， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确. 故选：D. 【变式10-1】（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数，则下列命题中错误的是（   ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【答案】B 【解题思路】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到不等式，四个选项一一进行求解，求出的范围. 【解答过程】对于A，当时，，又在上单调递增， 所以，又，解得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，解得，故B错误； 对于C，时，， 由题意得，解得，故C正确； 对于D，时，， 由题意得，解得，故D正确． 故选：B． 【变式10-2】（2025高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3). 【解题思路】（1）运用正弦函数周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由 时，得，结合函数单调性列出m的不等式即可求出； （3）方程有两个不相等的实数根，转化为函数与函数的图象有两个交点，结合图象求解即可. 【解答过程】（1），所以函数的最小正周期为. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，， 因为在区间上单调递减，所以，解得. 所以实数的取值范围是. （3）令，∵，∴， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以函数与函数的图象有两个交点. 结合图象得，，解得，. 所以实数的取值范围是. 【变式10-3】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【解答过程】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以 ，即， 解得或， 即的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $