精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二数学试题 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 2 D. 6或10 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出、，再根据双曲线的定义求出，即可得解. 【详解】因为双曲线的方程为，所以，. 已知，由双曲线的定义可得，即， 所以或. 由于双曲线上的点到焦点距离的最小值为，故或. 故选：D 2. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用点到平面的距离公式结合空间向量数量积公式计算求解. 【详解】由题意知，则，， 所以点P到平面的距离. 故选：C. 3. 已知p:直线与直线平行，q:，则q是p的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行的条件求出命题，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】直线与直线平行， 则解得或， 所以p等价于或，而q:， 故q是p的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在正方体中，E是棱AD上一点， ，F是棱上一点，，则异面直线与BF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】不妨设,以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 所以， 所以=，所以异面直线与BF所成角的余弦值为. 故选：A 5. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球心到底面的距离为，底面外接圆的半径为，球的半径为，首先通过计算出进而得到，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】因为直三棱柱的各顶点在同一球面上， 所以球心到底面的距离. 又因为，所以，所以， 所以底面外接圆的半径.又因为球的表面积为，所以球的半径， 而，所以，. 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设异面直线和所成的角为， 则. 故选：C 6. 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为50 cm，短轴长为48 cm，小椭圆的短轴长为16 cm，则小椭圆的长轴长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】易知大小椭圆的离心率相同，根据和离心率的定义计算即可求解. 【详解】由大椭圆和小椭圆的扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同. 大椭圆的长轴长为50 cm，短轴长为48 cm， 得焦距长为cm，故离心率e=； 所以小椭圆的离心率. 小椭圆的短轴长为16 cm，即cm，得, 由e=，解得 cm， 所以小椭圆的长轴长为cm. 故选：A 7. 已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于不同的M，N两点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由抛物线定义求出方程，再设直线与抛物线联立，将面积之比转化为坐标关系，代入韦达定理化简即可. 【详解】由题意知抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相等，因此，，抛物线的方程为. 设直线的方程为，且，，,， 由得， 所以，， 则， 所以=·=. 综上，. 故选：B. 8. 已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线为，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由两条渐近线均与圆相切，得到圆心到直线的距离等于半径，从而得到双曲线C的离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，即， 因为两条渐近线均与圆相切，所以点到直线的距离等于半径， 即，故双曲线C的离心率. 故选：C. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B. 若对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，有=++，则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则直线 【答案】BC 【解析】 【分析】法向量和平面垂直；对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，有，若，则P，A，B，C四点共面；不共面的三个向量可以作为基底，利用定义和结论进行求解. 【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点， 当，即使，也不能说明，故选项A错误； 因为++=1，所以选项B正确； 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 若共面，则存在实数使， 又，所以，即， 由线性无关可知，，出现矛盾， 所以不共面，故也是空间的一个基底，故选项C正确； 因为直线l的方向向量为，平面α的法向量为，，所以直线或，故选项D错误. 故选：BC. 10. 已知双曲线C:，若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为x±y=0 B. 双曲线C的实轴长为6 C. 双曲线C的离心率e= D. 过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长|AB|=2 【答案】AD 【解析】 【分析】由圆与双曲线C的渐近线相切，利用圆心到渐近线的距离等于半径求出，依次可求出渐近线方程，实轴长，离心率，由双曲线的右焦点是圆M的圆心得到弦长为直径，从而求出. 【详解】双曲线的渐近线方程为x±ay=0，圆M的圆心为，半径为1， 所以圆心到渐近线的距离，得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为，故选项A正确； 双曲线C的方程为，双曲线C的实轴长为，故选项B错误； ，所以双曲线的离心率，故选项C错误； 因为双曲线的右焦点是圆M的圆心，所以弦长即为直径，所以，故选项D正确. 故选：AD. 11. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的半径为2 B. 的最大值为14 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，首先将圆的一般方程化简为标准方程，即可判断A，对于B，C，分别设和，转化为直线与圆有交点，列式求解，判断B，C，对于D，为圆上的点与原点连线的距离，判断D. 【详解】对于A，圆的一般方程化简为圆的标准方程为，所以圆的半径为2，故A正确； 对于B，设，化为，可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，得，所以的最大值为21，故B错误； 对于C，设，即，直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，得或，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆心到坐标原点的距离为=，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆C:，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若P为的中点，则直线AB的方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】先由点差法求解直线AB的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设点A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，所以. 由两式作差得+=0，整理得-， 即·=，所以， 因此直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 已知 若三向量共面，则实数____. 【答案】3 【解析】 【分析】由空间向量共面定理，待定系数求解即可. 【详解】因为三向量共面，故存在实数，使得， 所以 则 解得. 故答案为：3. 14. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，两条渐近线的夹角的正切值为，且点在双曲线上，则的面积为____. 【答案】 【解析】 【分析】借助渐近线定义结合二倍角公式计算可得，结合点坐标计算可得双曲线方程，再利用三角形面积公式计算即可得. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 设其中一条渐近线的倾斜角为， 因为两条渐近线的夹角的正切值为，则， 即，解得或， 由，故，故， 则，即， 则，即， 代入，得，解得，故，， 故. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. （1）求向量的坐标; （2）求在上的投影向量的坐标. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可； （2）利用投影向量公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，， 故． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，． 所以在上的投影向量的坐标为． 16. 已知是双曲线C:（a>0，b>0）的左、右焦点，圆与双曲线C的一条渐近线切于点P，过的直线l与C交于A，B两个不同的点.若双曲线C的离心率，求: （1）的长; （2）当A，B都在双曲线C的左支上时，直线l的斜率的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）应用相切得出，再结合及余弦定理计算求解； （2）联立方程组结合韦达定理及判别式计算求解. 【小问1详解】 设双曲线C:（a>0，b>0）的一条渐近线方程为，即， 则点到直线的距离为. 因为以为圆心的圆与l相切于点P，所以. 因为，即=，所以.又，即，所以 如图，在中，， 在中，| 所以. 【小问2详解】 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 设点，联立 可得. 因为直线l与双曲线C交于左支的两点， 所以， 解得或， 故直线l的斜率的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，，为棱上靠近点的四等分点，，． （1）证明: . （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理得出平面，再应用线面垂直的性质推理作答. （2）根据给定的几何体建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用空间向量求解二面角的余弦. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面平面， 则，又平面， 因此平面平面，所以. 【小问2详解】 由题意，平面，分别以所在直线为轴,轴,轴，建立空间直角坐标系， 因为为棱上靠近点的四等分点，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，平面的一个法向量为， 平面与平面所成角为， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . （1）求椭圆C的标准方程; （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，结合离心率求得，，即可得方程； （2）设，，直线的方程为，将直线与椭圆方程联立消去，求出，再由可得求出，由即可求解. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为c， 当点到直线l的距离取最大值时，则轴，此时， 又椭圆C的离心率，则，即， 解得，，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，即， 可知直线l与椭圆必相交，且直线l的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x得， 则，， 又因为，且， 则，结合可得， 代入可得，解得，即， 则， 所以的面积. 19. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4. （1）求抛物线C的标准方程. （2）设点是抛物线C上一点，则过点M的切线的斜率.若过焦点F的直线l与抛物线C交于两点，且抛物线C在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点. ①求（用表示）; ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由题可得。从而得到抛物线方程； （2）由题可设直线方程为，与抛物线方程，结合韦达定理可得，， ①直线的方程为，则，利用两点间的距离公式可得; ②由①同理可得，化简即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点到其准线的距离为4，所以，故抛物线的标准方程为 【小问2详解】 由已知可判断直线l的斜率存在， 设斜率为，因为，所以. 由消去y得，所以，. ①由已知可得直线的斜率为，则直线的方程为. 令，解得，所以，从而. ②由①同理可得 所以， 因为，所以的取值范围， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 （120分钟　150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点在以、分别为左、右焦点的双曲线上，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 2 D. 6或10 2. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知p:直线与直线平行，q:，则q是p的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在正方体中，E是棱AD上一点， ，F是棱上一点，，则异面直线与BF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为50 cm，短轴长为48 cm，小椭圆的短轴长为16 cm，则小椭圆的长轴长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 7. 已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于不同的M，N两点，则=（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B. 若对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，有=++，则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D. 若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则直线 10. 已知双曲线C:，若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为x±y=0 B. 双曲线C的实轴长为6 C. 双曲线C的离心率e= D. 过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A，B两点，则弦长|AB|=2 11. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的半径为2 B. 的最大值为14 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆C:，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若P为的中点，则直线AB的方程为____. 13. 已知 若三向量共面，则实数____. 14. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，两条渐近线的夹角的正切值为，且点在双曲线上，则的面积为____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. （1）求向量的坐标; （2）求在上的投影向量的坐标. 16. 已知是双曲线C:（a>0，b>0）的左、右焦点，圆与双曲线C的一条渐近线切于点P，过的直线l与C交于A，B两个不同的点.若双曲线C的离心率，求: （1）的长; （2）当A，B都在双曲线C的左支上时，直线l的斜率的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，，为棱上靠近点的四等分点，，． （1）证明: . （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . （1）求椭圆C的标准方程; （2）若，求的面积. 19. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4. （1）求抛物线C的标准方程. （2）设点是抛物线C上一点，则过点M的切线的斜率.若过焦点F的直线l与抛物线C交于两点，且抛物线C在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点. ①求（用表示）; ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $