第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷（提高篇）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·北京·开学考试）若，我们记，那么以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 6．（5分）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·江苏南京·月考）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 11．（6分）（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有四个零点，，，且，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）计算： ． 13．（5分）（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则满足不等式的实数的取值范围为 . 14．（5分）（24-25高一上·北京延庆·期末）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 16．（15分）（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 17．（15分）（25-26高一上·上海·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 18．（17分）（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 19．（17分）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二次根式的意义来判断AB选项，利用指数幂的运算来判断CD选项即可. 【解答过程】对于A，，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 2．（5分）（25-26高一上·北京·开学考试）若，我们记，那么以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数式与指数式的等价转化，利用指数幂的运算公式，结合特殊值法举反例，可得答案. 【解答过程】对于A，设，则， 由，则，即，故A正确； 对于B，设，则，可得，故B正确； 对于C，设，则，即，可得，故C正确； 对于D，设，则，显然不成立，故D错误； 故选：D. 3．（5分）（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】因为在上单调递增，且， 所以，得，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 所以. 故选：A. 4．（5分）（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 5．（5分）（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】B 【解题思路】根据声强级的定义分别求出声强级为和声强级为的声强度，然后计算它们的比值即可. 【解答过程】由题意得，， 当声强级为时，，； 当声强级为时，，， . 故选：. 6．（5分）（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围． 【解答过程】函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若要满足题意，则，得. 综上，的取值范围是． 故选：C． 7．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解答过程】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 8．（5分）（24-25高三上·江西萍乡·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解. 【解答过程】由函数恰有5个零点， 得方程有5个根， 在平面直角坐标系中作出函数的图象，      令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点， 当时，直线与的图象有2个交点， 令， 由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，， 因此或，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·江苏南京·月考）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【解答过程】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 10．（6分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABC 【解题思路】应用对数运算计算判断A；应用复合函数单调性判断B；反证法判断偶函数即可求参判断C；应用对数函数值域计算得出参数判断D. 【解答过程】对于A：，A选项正确； 对于B：若，函数，函数，都是定义域上的增函数， 则由复合函数的单调性知，在定义域内是增函数，B选项正确； 对于C：若存在实数，使得为偶函数，则， 即， ， 而偶函数定义要求等式对定义域内所有成立，不仅仅是， 故不存在实数使得为偶函数， 所以不存在实数，使得为偶函数，C选项正确； 对于D：若的值域为，则要取遍所有正数， 所以或，解得，D选项错误； 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数，若函数有四个零点，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】由已知可得函数与有四个不同的交点，作出两函数的图象，逐项判断即可. 【解答过程】函数的图象如图所示， 对于A，设，则，故A正确； 则直线与函数图象的4个交点横坐标分别为，，，． 对于B，函数的图象关于直线对称，则，因，故，故B错误； 对于C，由图象可知，且，所以，即，所以，因，故，故C错误； 对于D，由图象可知，则，， 因为函数在上单调递增，故可得， 则的取值范围为，故D正确． 故选：AD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）计算： ． 【答案】 【解题思路】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算． 【解答过程】，， ， ． 故答案为：． 13．（5分）（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则满足不等式的实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据题意，可得函数在上单调递增，不等式可化为，利用单调性求解. 【解答过程】由，又由当时，， 易知函数在上单调递增，可得函数在上单调递增. 所以不等式可化为， 有，解得. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·北京延庆·期末）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论： ①等级为0dB的声音的强度为； ②函数在定义域上是增函数； ③等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10； ④等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【解题思路】对于①，由求出即可；对于②，利用复合函数的单调性判断即可；对于③，令，，分别求出，，计算即可；对于④，令，，分别求出，，计算即可. 【解答过程】对于①，由即，可得， 因此等级为0dB的声音强度为，故①正确； 对于②，令，则，易知和在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故②正确； 对于③，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故③正确； 对于④，设，则，解得． 设，同理可得． 因此所求两种等级声音的强度之比为，故④错误. 故答案为：①②③. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【解题思路】（1）由指数幂的运算可； （2）由对数的运算性质计算可得. 【解答过程】（1）原式 （2）原式 . 16．（15分）（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为. （2）当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 17．（15分）（25-26高一上·上海·期中）为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 【答案】(1)选③，理由见解析，函数解析式为. (2)20分钟到40分钟 【解题思路】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①②,代入数据③中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【解答过程】（1）模型①:假设；， 当时，不是，故①不符合题意； 模型②:假设；时， 当时，不是，故②不符合题意； 模型③:假设；时符合， 当时，得， 当时，，故③符合题意； 最符合上述规律的是模型③，. （2）由题意，所以分钟， 因为单调递增，故，当且仅当. 设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为， 则且，故分钟，又 所以曹同学小组使用篮球场的时长范围是分钟到分钟. 18．（17分）（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若存在实数使得方程有4个不同实根，且． (1)求的取值范围； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合函数图像，即可求出的取值范围； （2）是方程的两根，则有，即，是方程的两根，根据韦达定理得，进而可求的值． 【解答过程】（1）由，得，作出的大致图象， 如图所示， 结合图像可知的取值范围是． （2）由知，是方程的两根，所以， 故，即； 又是方程的两个根，即方程的两个根， 所以，所以． 19．（17分）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $