专题02 一元二次方程 9大高频考点（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期北师大版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01一元二次方程 ☆9大高频考点概览 考点01一元二次方程的定义 考点02由一元二次方程的解求参数 考点03配方法解一元二次方程 考点04根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点05根据一元二次方程根的情况求参数 考点06公式法解一元二次方程 考点07因式分解法解一元二次方程 考点08一元二次方程的根与系数的关系 考点09实际问题与一元二次方程 考点01 元二次方程的定义 1.下列方程是一元二次方程的是() A.3x+4=0B.x3-x=0 c.+=1 D.2x2-x=1 2.(24-25九上·河南南阳唐河县·期末)下列方程中是关于x的一元二次方程的是() A.3(x+1)2=2(x+1) B.是+2=0 C.ax2+bx+c=0 D.x+=2 3.(24-25九上河南南阳方城县·期末)关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程，则（) A.a>0 B.a≠0 C.as且a≠0 D.a≥0 4.(2025河南省郑州市)下列方程是一元二次方程的是() A.x-=5 B.2+月=4 C.2x2-8x=1 D.,(x+1)(x-2)=x2 5.(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学期末)若方程(a+4)xa-2+6x-1=0是关于x的一元二次方程， 则a的值为() 1/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.-4 C.4或-4 D.0 考点02 由一元二次方程的解求参数 6.(24-25九上河南驻马店平舆县完全中学期末)若x=m是一元二次方程x2-2x-15=0的解，则代数式2m2 -4m的值为-， 7.(24-25九上·河南开封通许县·期末)若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0的一个根，则2024- 2a+2b的值为() A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 8.(24-25九上·河南新乡牧野区期末)关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则k的值为 9.(24-25九上河南开封杞县高中附属中学期末)若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx-6=0的一个根， 则m=一· 10.(24-25九上河南漯河临颖县·期末)已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根，则m的 值为() A.1 B.2 C.3 D.4 11.(24-25九上河南三门峡陕州区·期末)已知t为一元二次方程x2-1011x+2023=0的一个解，则2t2 -2022t= 目目 考点03 配方法解一元二次方程 12.(24-25九上·河南南阳镇平县期末)若关于x的方程(x-2)2=-b是由x2+ax-b=0配方后得到的，则a、 b的值分别为() A.4,2 B.-4,-4 C.-4,-2 D.-4,2 13.(24-25九上河南信阳狮河区·期末)(1)解方程：x2-2V5x-4=0; (2)化简：(+1-3) y2-4y+4 y-1/ y-1 14.(24-25九上河南驻马店确山县部分私立初中·期末)解下列方程： (1)4(x+1)2-9(x-2)2=0;(开平方法) (2)x2-4x+2=0. 15.(24-25九上河南三门峡陕州区·期末)将一元二次方程x2-2x-1=0配方后所得的方程是」 16.(24-25九上河南许昌期末)方程x2-4=0的根是() A.x=2 B.x=4 C.x1=2,x2=-2D.x1=4,x2=-4 2/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(2425九上河南开封样符区期末)用配方法解方程x2-导-=0时，应将其变形为《) A.(x-)=号B.(x-)=号 c.(-)= D.(4-=0 18.(24-25九上河南驻马店平舆县完全中学期末)用配方法解方程x2-4x+5=0时，将其配方成(x+a)2=b 的形式，则2a-b的值为() A.5 B.-4 C.-3 D.2 19,(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校期末)一元二次方程x2-6x+5=0用配方法解方程，配方的结果 是() A.(x-3)2=4 B.(x-9)2=4 C.(x-3)2=14 D.(x-9)2=14 目目 考点04 根据判别式判断一元二次方程根的情况 20.Q425九上河南封丘县金瀚学校期对于4个实数a,bc,d现给出一种新的运算，规定？盘剑=ad-bc, 例如：3到=1×4-2×3=-2，则方程60到=-9的限的情况是() A,有两个相等的实数根 B,有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D,没有实数根 21.(24-25九上·河南驻马店正阳县·期末)在判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况时，用公 式得：4=32-4×(-2)×(-4)=-23，则此方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别为：（) A.2,3,-4B.-2,3,-4 C.2,-3,4 D.-2,-3,4 22.(24-25九上·河南安阳安阳县期末)在正比例函数y=kx(k≠0)中，y随x的增大而增大，则关于x的一元 二次方程x2-3x-2k=0的根的情况是（) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 23.(24-25九上河南信阳平桥区·期末)已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方程ax2 +bx+c=0的根的情况是一· 24,(2425九上河南漯河郾城区·期末)一元二次方程2x2-x-1=0的根的情况是（) A.只有一个实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D,有两个不相等的实数根 25.(24-25九上河南漯河召陵区期末)对于实数a,b定义运算“*”为a*b=a2-ab,例如3*1=32 3/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -3×1=6,则关于x的方程x*(k-5)=2k+5的根的情况，下列说法正确的是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 26.(24-25九上河南周口淮阳区·期末)已知关于x的一元二次方程x2-mx+6=0. (1)当m=3时，判断方程根的情况； (2)当m=6时，求方程的根 考点05 根据一元二次方程根的情况求参数 27.(24-25上河南安阳滑县期末)若关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，请写出 一个符合题意的整数m的值， 28.(24-25九上河南许昌·期末)已知方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根， (1)求m的取值范围； (2)当m=-2时，求方程的根 29.(24-25九上·河南安阳内黄县·期末)若关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是() A.k>-2 B.k>-2且k≠0 C.k<2 D.k<2且k≠0 30.(24-25九上·河南许昌禹州期末)设关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0.现有如下两组条件： ①b=-2,c=-4;②b=2,c=4.请从这两组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相 等的实数根，并解这个方程。 31.(24-25九上河南新乡延津县·期末)若关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，则m的值可以是() A.1 B.0 C.-1 D.-2 32.(24-25九上·河南新乡长垣·期末)嘉淇准备解一元二次方程x2+6x+■=0时，发现常数项被污染，若该 方程有两个相等的实数根，则被污染的数是() A.7 B.8 C.9 D.10 33.(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)嘉淇准备解一元二次方程x2+6x+■=0时，发现常数 项被污染，若该方程有两个相等的实数根，则被污染的数是() A.7 B.8 C.9 D.10 考点06 公式法解一元二次方程 34,(2425九上河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校期末)点P在一次函数y=-2x+3的图象上，过 4/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C、D.当矩形OCPD的面积为1时，满足条件的P点的坐标有 ()个 A.1 B.2 C.3 D.4 35.(2425九上河南新乡封丘县金灣学校期末)(1)计算：(-1)2025+3-m可2-后×V8, (2)解方程：2x2+8x+5=0. 36.(24-25九上·河南驻马店西平县第一初级中学期末)解方程： (1)3x2+x-5=0(公式法)； (2)x2-4x-1=0(配方法). 37.(24-25九上河南驻马店汝南县期末)(1)解方程：x2+2x-1=0; (2)已知=，求的值 38.(24-25九上河南安阳殷都区·期末)解下列方程： (1)9x2-121=0; (2)2x2+4x=3. 目目 考点07 因式分解法解一元二次方程 39,(24-25九上·河南南阳社旗县期末)下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：4(2y-5)2=9(3y-1)2. 解：4(2y-5)2-9(3y-1)2=0,.第一步 [(4y-10)+(9y-3)][(4y-10)-(9y-3)]=0,.第二步 (13y-13)(5y-7)=0,..第三步 13y-13=0或5y-7=0,..第四步 解得：1=1，y%=名第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据 来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直 接开平方法”)， ②第 步开始出现错误，错误的原因是 任务二：请正确地解该方程。 40,(24-25九上·河南信阳淮滨县·期末)一元二次方程x2=2025的解是（) A.x=0 B.x=2025 C.x1=0,x2=2025 D.X=-2025 5/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 41.(24-25九上河南信阳光山县期末)用适当方法解下列方程： (1)x2-8x+12=0 (2)(x-3)2=2x(x-3) 42.(24-25九上河南驻马店泌阳县·期末)(1)解方程：x2-2x=3 2》计第：18亚×息 43,(2425九上河南驻马店平舆县期末)请你用适当的方法解下列方程： (1)2x2+4x-3=0: (2)3x(x-1)=2(1-x). 44.(24-25九上河南南阳内乡县第一教育集团期末联考期末)用适当的方法解方程 (1)x2=2x: (2)x2-1=4x. 45.(24-25九上·河南南阳邓州期末)方程(x-1)2=2(x-1)的根是() A.x=1 B.x=2 C.x1=1,x2=2D.x1=1,x2=3 46.(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)解方程. (1)x(x-4)=2x-8; (2)x2-4x+2=0. 47.(24-25九上·河南驻马店平舆县期末)定义运算：a☆b=a2-ab-b,例如：3☆2=32-3×2-2=1，则 方程x☆2024=1的解为(） A,x1=-1,x2=2025 B.x1=-1,x2=-2025 C.x1=1,x2=2025 D.x1=1,x2=-2025 48.(24-25九上·河南洛阳·期末)一元二次方程x2+3x=0的两个根为（） A.x1=-3,x2=1 B.x1=-3,X2=0 C.x1=3,x2=-1 D.x1=3,x2=0 49.(24-25九上·河南焦作期末)解方程： (1)x2-4x-1=0: (2)(x+2)(x+4)=(2x-1)(x+2)· 50,(2425九上河南许昌长葛期末)解下列一元二次方程： (1)x2-16=0; (2)(x+2)2=3x+6 619 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 51.解方程 (1)x2-2x-1=0 (2)(x-5)2-2(x-5)=0 目目 考点08 一元二次方程的根与系数的关系 52.(24-25九上河南周口西华县期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x-3到m=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为a,B,且a+2B=5,求m的值. 53.(24-25九上·河南驻马店上蔡县期末)关于一元二次方程x2-2x+3=0的根的说法，正确的是() A,有两个相等实数根 B.没有实数根 C.两根之和为-2 D.两根之积为-3 54.(24-25九上河南周口准阳区期末)若a,b是一元二次方程x2-x-2024=0的两根，则a+b-ab的值为 () A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 55.(2425九上河南焦作期末)在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之 间存在深刻的联系，数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献.某数学兴趣小组在学习一元二次 方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的k倍或，我们 把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，k称为根倍数(k≠0)，请解决下列问题： (1)一元二次方程x2-3x+2=0和x2-6x+8=0(“是”或“不是”)倍根一元二次方程，k= (2)请求出方程x2-3x+2=0的一个倍根一元二次方程，根倍数为3. (3)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的倍根方程（设根倍数为k)是 56.(24-25九上河南许昌长葛期末)若m、n是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则 m+n+mn= 57.(24-25九上河南南阳桐柏县期末)若一元二次方程x2+4x-3=0的两个不相等的实数根为x1,x2,则x1 +x2的值是() A.-4 B.4 C.2 D.-2 目目 考点09 实际问题与一元二次方程 58.(24-25九上·河南新乡获嘉县10校期末)国家粮食安全是一个国家发展的重要保障，河南是我国重要的 粮食生产核心区，对国家粮食安全具有重要意义，河南某农科试验基地两年前有50种种子，经过两年的不 断培育，现在有128种种子.若培育的种子种类平均每年的增长率为x,则符合题意的方程为() 7/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.50x2+1=128 B.(50+1)x2=128 C.50(1+x)2=128 D.50(2+x)2=128 59,(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)随着节假日的到来，漯河繁城牛肉的销售量随之增长，某店原来每 月销售500盒，经过两次增长月销售量达到2000盒，两次增长的百分率相同，设这个增长率为x,可列方 程为() A.500(1+x)=2000 B.500(1-x)2=2000 C.500(1+2x)=2000 D.500(1+x)2=2000 60.(24-25九上河南新乡封丘县期末)某商场今年10月份的营业额为440万元，12月份的营业额达到633.6 万元.设10月份到12月份营业额的月平均增长率为x,则可列方程() A.440x2=633.6 B.440+440x+440x2=633.6 C.440(1+x)2=633.6 D,440+440(1+x)+440(1+x)2=633.6 61.(24-25九上河南驻马店泌阳县期末)如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长 为m. 62.(24-25九上·河南周口商水县期末)直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40 元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件，通过市场调查发现，单件商品的售价 每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件， (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 63.(24-25九上河南漯河召陵区·期末)交警部门提醒市民“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发 店准备分两次购入A、B两款头盔，第一次购进了A、B两款头盔共500个，A款头盔进价10元，售价20元B 款头盔进价16元，售价20元. (1)第一次购进头盔的金额不得超过6320元，则至少购进多少个A款头盔？ (②)第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，A款头盔进货量在(1)的 8/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 最少进货量的基础上增加了8m个，售价比第一次提高了2m元；B款头盔售价和第一次相同，进货量为300 个，但是在运输过程中有5%已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为5044元，求m的值 64.(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学期末)2024年4月23日是第二十九个世界 读书日，第三届全民阅读大会在昆明如期举行，共建书香社会，共享现代文明.学校积极响应“最是书香能 致远”，计划购买文学和科普两类图书.已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元.为弘扬中国传 统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本， 每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）， (1)如果每本文学类图书的单价是25元，则至少购买文学类图书本； (2)如果学校购进两类图书共100本，用去购书款3300元，求购进文学类图书多少本？ 9/9 专题01 一元二次方程 9大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 由一元二次方程的解求参数 考点03 配方法解一元二次方程 考点04 根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点05 根据一元二次方程根的情况求参数 考点06 公式法解一元二次方程 考点07 因式分解法解一元二次方程 考点08 一元二次方程的根与系数的关系 考点09 实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2．(24-25九上·河南南阳唐河县·期末)下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式是，并据此对各选项进行判断． 根据一元二次方程的定义，对每个选项逐一分析，判断其是否符合一元二次方程的形式． 【详解】A、对进行化简，即，进一步整理得，符合一元二次方程的定义； B、，方程中含有和，属于分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程； C、，当时，方程就变为，不是一元二次方程，只有当时才是一元二次方程； D、，方程中含有，是分式方程，不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 3．(24-25九上·河南南阳方城县·期末)关于的方程是一元二次方程，则（　　） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，形如（为常数、且）的方程，根据一元二次方程定义即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 故选：B． 4．(2025·河南省郑州市·)下列方程是一元二次方程的是   （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟知中是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：是分式方程，故A不符合题意； 是分式方程，故B不符合题意； 是一元二次方程，故C符合题意； 可以变形为，故D不符合题意； 故选：C． 5．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：A． 地 城 考点02 由一元二次方程的解求参数 6．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)若是一元二次方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将代入方程得到关于的等式，再对所求代数式进行变形，最后代入计算．本题主要考查了一元二次方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式进行合理变形是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的解 ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 7．(24-25九上·河南开封通许县·期末)若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，把代入，得到，的等式，转化为求代数式的值问题即可，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 故， ， 故选：D． 8．(24-25九上·河南新乡牧野区·期末)关于的方程的一个根是1，则的值为 ． 【答案】1 【分析】将代入，即可求解．本题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 【详解】解：关于的方程的一个根是1， ∴将代入， ， 解得：， 故答案为：1． 9．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)若是关于x的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，把代入方程，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为： 10．(24-25九上·河南漯河临颍县·期末)已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入已知方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，即， 解得：， 故选：A． 11．(24-25九上·河南三门峡陕州区·期末)已知t为一元二次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．利用一元二次方程的解，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：为一元二次方程的一个解， ， ， ． 故答案为：． 地 城 考点03 配方法解一元二次方程 12．(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)若关于的方程是由配方后得到的，则a、b的值分别为（   ） A．4，2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 首先将变形为，然后根据题意得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于的方程是由配方后得到的 ∴， ∴． 故选：C． 13．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)（1）解方程：； （2）化简：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查分式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）先计算括号内的，再计算除法即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ． 14．(24-25九上·河南驻马店确山县部分私立初中·期末)解下列方程： (1)；（开平方法） (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）题目要求用开平方的方法，所有需要把等号左右两边都变成是完全平方的形式，再开平方即可求解； （2）一元二次方程的一次项系数是偶数，所以运用配方法解一元二次方程，根据步骤一步一步解答即可． 【详解】（1）解：． ， 或， 或 （2）解：， 移项得，， 配方得， 即， 或， 解得，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——直接开平方和配方法，解决此题的关键是要熟练掌握解一元二次方程的各种方法，进而选择最优的方法解决问题． 15．(24-25九上·河南三门峡陕州区·期末)将一元二次方程配方后所得的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后写成完全平方式即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 16．(24-25九上·河南许昌·期末)方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查直接开平法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．先移项，再直接开平方，即可求解． 【详解】解：， 移项，得：， 直接开平方，得：， 即方程的解为：，， 故选：C． 17．(24-25九上·河南开封祥符区·期末)用配方法解方程时，应将其变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 先移项，再配方，即可得出答案． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即：， 故选：C． 18．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．先移项，再配方得出，得出，求出，，再代入求出答案即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 所以，， ∴． 故选：C． 19．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)一元二次方程用配方法解方程，配方的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的配方．方程整理后，两边都加上9，利用完全平方公式即可将原方程配方． 【详解】解：， 整理得， 配方得， 即， 故选：A． 地 城 考点04 根据判别式判断一元二次方程根的情况 20．(24-25九上·河南封丘县金瀚学校·期末)对于4个实数a，b，c，d，现给出一种新的运算，规定，例如：，则方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查新定义下的实数运算和一元二次方程根的情况，理解“有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根”是解题的关键． 根据新定义列出关于x的一元二次方程，再根据根的判别式判别根的情况 【详解】解：根据题干所给定义下的新运算，得， 整理得：， ∵， ∴方程的根的情况为有两个相等的实数根． 21．(24-25九上·河南驻马店正阳县·期末)在判断一元二次方程的根的情况时，用公式得： ，则此方程的二次项系数，一次项系数及常数项分别为：（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式为，其中二次项系数为、一次项系数为，常数项为． 【详解】解：在判断一元二次方程 的根的情况时， 公式得： ， 此方程的二次项系数为、一次项系数为，常数项为． 故选：B ． 22．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)在正比例函数中，随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据正比例函数的性质得到，再根据一元二次方程的根的判别式即可解答． 【详解】解：∵正比例函数中，的值随值的增大而增大， ∴， ∵关于的一元二次方程为， ∴， ∴一元二次方程为有两个不相等的实数根． 故选：B． 23．(24-25九上·河南信阳平桥区·期末)已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 24．(24-25九上·河南漯河郾城区·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式是解答本题的关键．直接运用一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 25．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)对于实数，定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查实数的新定义运算，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法是解题的关键．先利用实数的新定义运算化简，再利用一元二次方程的根的判别式判断即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 整理，得：， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A． 26．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1)方程没有实数根 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， （1）利用判别式的符号，来判断方程根的情况； （2）利用公式法解一元二次方程； 熟练掌握判别式与根的个数的关系以及公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为：， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根； （2）当时，方程为：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 地 城 考点05 根据一元二次方程根的情况求参数 27．(24-25上·河南安阳滑县·期末)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合题意的整数m的值 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以当取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 28．(24-25九上·河南许昌·期末)已知方程有两个不相等的实数根， (1)求m的取值范围； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由题意可得，求解即可； （2）当时，原方程为，再利用公式法解方程即可得解． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， ∴； （2）解：当时，原方程为， ，，； ； ， ，． 29．(24-25九上·河南安阳内黄县·期末)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得：且． 故选：D． 30．(24-25九上·河南许昌禹州·期末)设关于x的一元二次方程．现有如下两组条件：①，；②，．请从这两组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． 【答案】选条件①，， 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式；先计算根的判别式，根据条件判断只有①满足，再解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ，即． ∴条件①满足，条件②不满足，故选条件①．           此时方程为． 整理，得． 则． 解得，． 31．(24-25九上·河南新乡延津县·期末)若关于的方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得：， 故选项中只有选项A符合题意． 故选：A． 32．(24-25九上·河南新乡长垣·期末)嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有两个相等的实数根，则被污染的数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有两个相等的实数根，得出． 根据一元二次方程根的判别式可得，即可得出答案． 【详解】解：设被污染的数为，则 ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 则被污染的数是9． 故选：C． 33．(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有两个相等的实数根，则被污染的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，设常数为，根据列出方程解答即可，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：设常数为， ∵该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴被污染的数是， 故选：． 地 城 考点06 公式法解一元二次方程 34．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C、D．当矩形的面积为1时，满足条件的P点的坐标有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元二次方程，通过解一元二次方程，找出满足条件的P点的横坐标是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数的图象与x轴的交点坐标，设点P的坐标为，分或及两种情况考虑，根据矩形的面积为1，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由m的值均符合题意，可得出满足条件的P点的坐标有4个． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴一次函数的图象与x轴交于点． 设点P的坐标为， 当或时，， 整理得：， 解得：，； 当时，， 整理得：， 解得：，． ∴满足条件的P点的坐标有4个． 故选：D． 35．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，一元二次方程的解法； （1）先计算乘方，化简二次根式，二次根式的乘法，再合并即可； （2）先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 36．(24-25九上·河南驻马店西平县第一初级中学·期末)解方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）． 【答案】(1)， ； (2)， ． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先利用根的判别式判定根的情况，然后再运用求根公式求解即可； （2）先将常数项移至等号右边，然后等号两边同时加上一次项系数一半的平方，配方成完全平方式，再直接开平方求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ∴， ； （2）解： ， ∴， ． 37．(24-25九上·河南驻马店汝南县·期末)（1）解方程：；                 （2）已知，求的值． 【答案】（1），（2） 【分析】本题主要考查解一元二次方程，二元一次方程中用一个未知数表示另一个未知数的值； （1）可得，，，求出利用公式法求解即可； （2）化简得，代入分式，即可求解； 掌握一元二次方程的解法，能用解一元一次方程的方法求两未知数的关系是解题的关键． 【详解】解：（1），，， ， ， ，； （2）， ， 解得：， ． 38．(24-25九上·河南安阳殷都区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）将方程整理后利用开平方法解一元二次方程即可． （2）将方程整理后利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 整理得： （2）解： 移项，得： 方程有两个不等的实数根， 即 地 城 考点07 因式分解法解一元二次方程 39．(24-25九上·河南南阳社旗县·期末)下面是壮壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 或，……第四步 解得：，……第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据______来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”或“直接开平方法”）． ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请正确地解该方程． 【答案】任务一：①因式分解法；②三，合并同类项出错 任务二：， 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用因式分解法解一元二次方程的步骤判断即可； ②根据题目中所解的步骤检查即可清楚第三步合并同类项错误； 任务二：利用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】任务一：①以上解方程过程中，主要是依据因式分解法来求解的； ②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错； 任务二：解：， 或 解得：，． 40．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期末)一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 先移项、然后运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以，． 故选C． 41．(24-25九上·河南信阳光山县·期末)用适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 42．(24-25九上·河南驻马店泌阳县·期末)（1）解方程： （2）计算：． 【答案】（1），；（2）0 【分析】本题考查解一元二次方程，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算法则和一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 43．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)请你用适当的方法解下列方程： (1)； (2). 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法； （1）先配方，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先移相，再合并同类项，进而解方程即可． 【详解】（1）解：， 配方，得：， ∴， ∴，； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得：， ∴，． 44．(24-25九上·河南南阳内乡县第一教育集团期末联考·期末)用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 所以，； （2）解：， ， ，，， ， ， ，． 45．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 故选：D． 46．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）移项，运用提公式分解因式法解一元二次方程，即可求解； （2）移项，运用配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 整理，得． 因式分解，得． 由此可得或． 解得，． （2）移项，得． 配方，得， ∴． 由此可得． 解得，． 47．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)定义运算：，例如：，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查新定义和解一元二次方程，理解定义和利用因式分解的方法解一元二次方程是解题的关键． 根据新定义得出方程，再解方程，求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 故选：A． 48．(24-25九上·河南洛阳·期末)一元二次方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先提公因式，得，再解出，，即可作答． 【详解】解：， ， 则或， 所以， 故选：B 49．(24-25九上·河南焦作·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择恰当的方法解一元二次方程是解答此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）先整理，然后运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 解得． 50．(24-25九上·河南许昌长葛·期末)解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法及直接开平方法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）方程移项后利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， ， 解得：，； 51．解方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解方程即可； （2）先利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （2）解：， 因式分解得， ∴，， 解得，． 地 城 考点08 一元二次方程的根与系数的关系 52．(24-25九上·河南周口西华县·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、绝对值及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及绝对值的性质是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出，再结合即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题知， 方程的两个实数根分别为，， ， 又， ， 将代入方程得，， 解得． 53．(24-25九上·河南驻马店上蔡县·期末)关于一元二次方程的根的说法，正确的是（   ） A．有两个相等实数根 B．没有实数根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式可得出，进而可得出该方程没有实数根． 【详解】解：由题意可知：， ∴方程没有实数根，则不存在两根之和，两根之积， 故选：B． 54．(24-25九上·河南周口淮阳区·期末)若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值和一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 55．(24-25九上·河南焦作·期末)在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和______（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，______． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是______． 【答案】(1)是，2或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系； （1）分别解方程与，再结合新定义判断即可； （2）由方程的根为和，结合根倍数为3，可得倍根方程的两个根分别为：和或和，再进一步求解即可； （3）设一元二次方程两个根分别为，可得，一元二次方程的倍根方程的两个根分别为：或；再进一步求解即可； 【详解】（1）解：，即， 解得：和， ，即， 解得：和， 故一元二次方程和是“倍根方程”，且或． （2）解：，即， 解得：和， ∵根倍数为3， ∴倍根方程的两个根分别为：和或和， 当两个根为和时， ∴方程为， 当两个根为和时， ∴方程为，即； （3）解：设一元二次方程两个根分别为， ∴， ∴一元二次方程的倍根方程的两个根分别为：或； 当倍根方程的两个根分别为：时， ∴方程为， ∴， ∴方程为：， 当倍根方程的两个根分别为：时， ∴方程为， ∴， ∴方程为：， 综上：一元二次方程的倍根方程为或. 56．(24-25九上·河南许昌长葛·期末)若m、n是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个实数根，则，．利用一元二次方程根与系数的关系，可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 57．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此得到即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根为，， ∴， 故选：A． 地 城 考点09 实际问题与一元二次方程 58．(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)国家粮食安全是一个国家发展的重要保障．河南是我国重要的粮食生产核心区，对国家粮食安全具有重要意义．河南某农科试验基地两年前有50种种子，经过两年的不断培育，现在有128种种子．若培育的种子种类平均每年的增长率为x，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握平均增长率问题的解法是解题关键．培育的种子种类平均每年的增长率为x，根据题意列出方程即可． 【详解】解：培育的种子种类平均每年的增长率为x， 则， 故选：C． 59．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)随着节假日的到来，漯河繁城牛肉的销售量随之增长，某店原来每月销售500盒，经过两次增长月销售量达到2000盒，两次增长的百分率相同，设这个增长率为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，根据增长率的等量关系列出方程是解答的关键．根据题意，利用原来每月销售500盒销售量达到2000盒建立方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 60．(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)某商场今年10月份的营业额为440万元，12月份的营业额达到万元．设10月份到12月份营业额的月平均增长率为，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设10月份到12月份营业额的月平均增长率为，则可列方程，解答即可． 【详解】解：设10月份到12月份营业额的月平均增长率为，则可列方程， 故选：C． 61．(24-25九上·河南驻马店泌阳县·期末)如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，准确找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键； 设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为， 根据题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴长为． 故答案为：5． 62．(24-25九上·河南周口商水县·期末)直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)售价应定为60元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数关系式（方程）是解题的关键． （1）原销售量500减去减少的件数即可得到提价后的日销售量，于是可得与的函数表达式，再根据题意列出不等式，然后解不等式可得x取值范围； （2）根据“每件利润日销售量日销售利润”列出方程，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 整理得：， ∵日销售量， ∴，解得； 又∵售价要大于成本价40元，且原售价为每件50元，提价后为x元， ∴， ∴x的取值范围为， 与的函数表达式为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：售价应定为60元． 63．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备分两次购入、两款头盔，第一次购进了、两款头盔共个，款头盔进价元，售价元；款头盔进价元，售价元． (1)第一次购进头盔的金额不得超过元，则至少购进多少个款头盔？ (2)第一批头盔销量不错，批发店准备再购进一批，第二批两款头盔的进价不变，款头盔进货量在（1）的最少进货量的基础上增加了个，售价比第一次提高了元；款头盔售价和第一次相同，进货量为个，但是在运输过程中有已经损坏，无法销售，结果第二批头盔的销售利润为元，求的值． 【答案】(1)个 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元一次不等式以及一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据“第一次购进头盔的金额不得超过元”列出一元一次不等式，解之即可求解； （2）根据“第二批头盔的销售利润为元”列出一元二次方程，解之即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进款头盔个，则购进款头盔个， 根据题意，得：， 解得， 答：款头盔至少购进个； （2）解：根据题意，可得， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为． 64．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学·期末)2024年4月23日是第二十九个世界读书日，第三届全民阅读大会在昆明如期举行，共建书香社会，共享现代文明．学校积极响应“最是书香能致远”，计划购买文学和科普两类图书．已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元．为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）． (1)如果每本文学类图书的单价是25元，则至少购买文学类图书____本； (2)如果学校购进两类图书共100本，用去购书款3300元，求购进文学类图书多少本？ 【答案】(1)80 (2)30本或60本 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出不等量关系与等量关系，正确列出不等式与方程． （1）设购买文学类图书m本，根据若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元，列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设购进文学类图书x本，则科普类图书本，分三种情况，①当时，②当时，③当时，根据用去购书款3300元，分别列出一元一次方程或一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设购买文学类图书m本， 由题意得：， 解得：， 即至少购买文学类图书80本， 故答案为：80； （2）解：设购进文学类图书x本，则科普类图书本，分情况讨论： ①当时，， 解得：； ②当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），； ③当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：购进文学类图书30本或60本． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $