专题02 二次函数 8大高频考点（期末真题汇编，河南专用）九年级数学上学期人教版

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数 ☆8大高频考点概览 考点01二次函数y=ax2的图象与性质 考点02二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 考点03二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 考点04待定系数法求二次函数解析式 考点05线段周长问题、面积问题 考点06求抛物线与x轴、y轴交点坐标 考点07抛物线与x轴交点问题 考点08实际问题与二次函数 目目 考点01 一次函粘v=3v2的凤免与性质 1.(24-25九上河南开封杞县高中附属中学期末)请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达 式： 2.(24-25九上河南郑州中原区期末)二次函数y=-2x2+1的图象经过点A(1,0,B(2,b),则ab.(填 “>”、“<”或“=”) 3.(24-25上·河南安阳滑县期末)抛物线y=x2与y=-x2相同的性质是(） A,开口向上 B.有最高点 C.顶点是原点 D.x<0时，y随x的增大而增大 4.(2425九上河南周口郸城县名校联考期末)已知二次函数y1=a1x2,y2=a2x2,y3=a3x2，y4=a4x2 的图象如图所示，则a1,a2,a3,a4的大小关系是() 1/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y yi=ax2 //y2a2x2 y3=a3x2 y4-a4x- A,a3<a4<a1<a2 B.a4<a3<a1<a2 C.a4<a3<a2<a1 D.a3<a4<a2<a1 5.(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学期末)若点A(2,m)在二次函数y=-x2的图像上，则N-m的值为 () A.0 B.1 C.2 D.7 考点02 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 6.(2425九上·河南周口商水县·期末)将二次函数y=2x2+5的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1 个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为一· 7.(24-25九上河南驻马店平舆县完全中学期末)将抛物线y=-x2-5向左平移1个单位长度，得到的解析 式为一· 8,(24-25九上河南周口郸城县名校联考·期末)下列选项中，二次函数的图象的顶点在第三象限的是() A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2-1D.y=(x-1)2+1 9.(24-25九上河南新乡封丘县金瀚学校期末)写出一个图象开口向上，顶点为(-3,1)的二次函数的表达 式 10.(2425九上·河南新乡封丘县金瀚学校期末)请写出一个当x>1时，y随x的增大而增大的二次函数的表 达式一· 11,(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)二次函数y=6-(x+4)的顶点坐标是() A.(6,4) B.(6,-4) C.(-4,6) D.(4,6) 12.(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学期末)写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达 式： 13.(24-25九上河南周口太康县大许寨乡第一中学期末)若a>0,c<0,则二次函数y=ax2+c的图象大 2/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 致是() 14.(24-25九上河南南阳桐柏县·期末)抛物线y=-(x+2)2+5的顶点坐标是( A.(2,5) B.(2,-5) C.(-2,-5) D.(-2,5) 15.(24-25九上河南安阳安阳县期末)如果将二次函数y=x2-3的图象平移，使得平移后图象的解析式为y= (x+3)2-5,那么它平移的过程可以是() A,向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B,向右平移3个单位，再向上平移2个单位 C.向左平移3个单位，再向上平移5个单位 D.向右平移3个单位，再向下平移5个单位 16.(24-25九上河南南阳镇平县期末)将抛物线y=2x2+1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长 度，所得到的抛物线为() A.y=2(x-2)2-2 B.y=2(x+2)2+2 C.y=2(x-2)2+2 D.y=2(x+2)2-2 17.(24-25九上河南信阳狮河区·期末)把抛物线y=-(x-2)2-2先向左平移2个单位，再向上平移2个单位， 得到抛物线的解析式为—· 18.Q425九上河南漯河召陵区期末)抛物线y=-5(x-)-3的顶点坐标为（) A.(3) B.(-23) c.(-3) D.（G-3) 19.(24-25九上·河南信阳固始县期末)二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的对称轴是() A.直线x=-1B.直线x=1 C.直线x=-2 D.直线x=3 20.(24-25九上·河南周口沈丘县中英文等校·期末)抛物线y=3(x+2)2+1的对称轴为 21.(24-25九上·河南南阳宛城区期末)写一个对称轴是直线x=1的二次函数解析式_， 22.抛物线y=-(x+2)2-1的对称轴是（) A.直线x=2B,直线x=-2 C.直线x=1 D.直线x=-1 考点03 一次函粉v=Av2上hx土r的凤角与性质 3/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(24-25九上河南信阳狮河区·期末)若二次函数y=mx2+x+m(m-1)的图象经过原点，则m的值 为 24.(24-25九上河南信阳罗山县期末已知点A(1,y1),B(3,y2),C(4,y3)在二次函数y=x2-6x+c的图象上， 则y1,y2,y3的大小关系是() A,y2<y1<y3B.y1<y2<y3 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 25.(24-25九上·河南信阳潢川县期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则当y>0时，x的取值范 围是■ 26.(24-25九上河南南阳桐柏县·期末)若二次函数y=(m-2)x2-mx+m2-4的图象经过原点，则m的值 为一· 27.(24-25九上河南南阳镇平县期末)已知二次函数y=x2-4x+3 4 3 2 +43210 1234x -1 2 (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (②)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数y<0时，x的取值范围是 ②方程x+3=4的根是 ③试写出此函数的一条性质； ④己知点A(-1y1),B(V2,y2),C(4,y3)都在此二次函数的图象上，则y1,y2,y的大小关系是 4/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (用“<”连接) 0 0 0 28.(24-25九上·河南南阳邓州期末)已知点A(-2,y1),B(1y2),C(2,y3)都在二次函数y=ax2-2ax+5 (a<0)的图象上，则y1y2y3的大小关系用“<”表示为() A,y2<y3<y1B.y1<y3<y2 C.y2<y1<y3 D.y3<y2<y1 29.(24-25九上河南安阳内黄县期末)抛物线y=ax2+bx-4经过点(1,3)，则a+b=： 30.(24-25九上河南安阳内黄县·期末)己知点A(1y1),B(2,y2),C(3y3)均在抛物线y=-(x-1.4)2+4上， 则y1,y2,y3的大小关系是() A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1 C.y1<y3<y2 D.y3<y2<y1 31.(24-25九上河南洛阳·期末)己知抛物线y=x2+bx+c的图象经过A(-2,0),B(4,0),C(-3,y1),D(3,y2) 四个点，则y1与y2的大小关系是y1y2（填”或“=”或“<”) 32.(24-25九上·河南焦作期末)二次函数y=x2-3x的开口方向 33.(24-25九上·河南洛阳·期末)已知拋物线y=x2+bx+c的图象经过A(-2,0),B(4,0),C(-3,y1),D(3,y2)四 个点，则() A.y1>0>y2B.y1>y2>0 C.y1<0<y2 D.0<y1<y2 34.(24-25九上河南周口沈丘县中英文等校期末)己知点A(2y1),B(a,y2)在二次函数y=x2-2x+3的图 象上，若y1<y2,则a的值可以是() A.0 B.月 C.1 D.3 35.(24-25九上河南驻马店第二初级中学期末)在平面直角坐标系x0y中，己知点(n+1y1),(n-2y2), (n-1,y3)在抛物线y=ax2-2ax-2(a<0)上，若0<n<1,则y1,y2,y3的大小关系为·（用“>”表 示) 目目 考点04 待定系数法求二次函数解析式 36.(24-25九上河南平顶山宝丰县·期末)请写出一个开口向下，经过点(1,5的二次函数表达式： 37.(24-25九上河南新乡封丘县期末如图，抛物线y=ax2+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.若AB=6, 0C=2,P(,b)是抛物线上的一点，则b的值为一 5/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B衣 38,(24-25九上河南新乡第一中学期末)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为 P,且2a+b=0,对称轴与x轴相交于点D,点M(m,1)在抛物线上，m>1,O为坐标原点。 (1)当a=1,c=-1时，求该抛物线顶点P的坐标； (②)当0M=0P=时，求a的值. 39.(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学.期末)在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=α x2+bx-3a经过点A(3,0). (1)求该抛物线的的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)已知点B(3,2),将点B向左平移3个单位长度，得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函 数的图象，求a的取值范围， 40.(24-25九上河南南阳西峡县·期末)若一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，则这个二次 函数的表达式为 41.(24-25九上·河南南阳浙川县·期末)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点. (1)求抛物线的表达式. (2)已知点P(x,y)在抛物线y=-x2+bx+c上移动，结合函数图象解答下列问题： ①若y<0时，则x的取值范围为_， ②若x<h时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是； ③若当0≤x≤m时，函数y的最小值是3，最大值是4，直接写出m的取值范围. 42.(24-25九上河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校期末)请你写一个图象过点(1，-2)的二次函 数： 43.(2425九上河南周口郸城县名校联考期末)如图，这是抛物线形拱桥.当拱顶离水面3米高时，水面 6/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 宽为6米.以水面所在的直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的表达式. 6 44.(24-25九上河南周口川汇区期末)二次函数y=ax2+bx-5(a≠0)的部分图象如图所示，其图象与x轴 交于点A(-1,0),与y轴交于点C,且经过点D(3,-8). ()求此二次函数的解析式； (2)将此二次函数解析式配方成y=a(x-h)2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x 轴的另一个交点B的坐标， 考点05 线段周长问题、面积问题 45. (24-25九上·河南洛阳·期末)已知抛物线y=ax2+2ax+a+1(其中a≠0) (1)求该抛物线的对称轴及其顶点坐标： (②)①已知点B(0,-1),C(2,0),若抛物线经过线段BC的中点，求拋物线的解析式； ②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合图象，直接写出α的取值范围. 46.(24-25九上河南郑州巩义期末)如图，一次函数y=x+m的图象与二次函数y=-x2+bx+c的图象交 于点A(-2,0)和点B(3,n),点P(x1y1),Q(x2y2)是此二次函数的图象上的两个动点，且满足x2=x1+3. 7/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (图1) (图2) (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点Q在直线AB的上方，过点Q作QC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接BC,DP,PQ.求证： SpQP的 SABCD 值为定值； (3)如图2，若点P在x轴的上方移动，点M为线段PQ的中点，求点M纵坐标的取值范围 47.(24-25九上河南驻马店平舆县·期未)如图，矩形绿地的长、宽分别为30m,20m,现将矩形绿地的长、 宽各增加m.设新绿地的周长为ym,面积为Sm2,当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化， 则y与x,S与x满足的函数关系分别是() x m 20m 30m x m A.一次函数关系，二次函数关系 B.正比例函数关系，二次函数关系 C.二次函数关系，一次函数关系 D.正比例函数关系，一次函数关系 目目 考点06 求抛物线与x轴、y轴交点坐标 48.(24-25九上河南新乡获嘉县10校期末)若关于x的函数y=(a+2)x2+4x-4的图象与x轴只有一个交 点，则a的值是() A,-3 B.-2 C.0 D.-3或-2 49.(24-25九上河南驻马店泌阳县期末)在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-2024(x-2025)+5的图 象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则PQ=一· 50.(24-25九上河南南阳社旗县·期末)已知函数y=2x2-3x-2,解答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)观察图象，填空、回答：①抛物线y=2x2-3x-2与y轴的交点坐标是 ,与x轴的交点坐标是 8/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②x取什么值时，y≥0. 3 0 2 4 2 2 0 2 25 -2 0 日 51.(24-25九上河南南阳桐柏县·期末)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),M(-2,5), 2 (1)求抛物线的表达式和顶点坐标 (②)已知点C(4,m),抛物线与x轴另一个交点为B,求△ABC的面积； (3)当0≤x≤3时，y的取值范围； (4过y轴上的点E(0,n)作y轴的垂线l,若直线l与抛物线y=x2+bx+c在0≤x≤3部分有一个交点，求n的取 值范围（不用书写过程）· 52.(24-25九上河南新乡封丘县期末如图，这是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，对称轴是直线x=1, 则下列说法正确的是() A.b<0 B.c=-1 C.2a+b=0 D.4a+2b+c<0 53.(24-25九上河南驻马店平舆县完全中学期末)抛物线的顶点坐标为(-3,2)，且图像经过点(1,8). (1)求函数解析式. (2)求抛物线与坐标轴交点坐标， 54.(24-25九上河南濮阳·期末)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是() A.图象的对称轴在y轴的右侧 9/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.图象与y轴的交点坐标为(0，-9) C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0) D,x>-1时，y随x的增大而增大 目目 考点07 抛物线与x轴交点问题 55,(24-25九河南郑州郑州第一中学期末)对于二次函数y=-(x-1)2-3的图象，下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是x=-1 C.顶点坐标是(1，-3) D.与x轴只有一个交点 56.(24-25九上河南方城县六校联考·期末)二次函数y=Qax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过 点(-1,0)，对称轴为直线x=2,下列结论： ①4a+b=0; ②9a+c>3b: ③8a+7b+2c>0; ④若点A(-3)点B(-2),点C)在该函数图象上，则y1<⅓<y2: ⑤若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<-1<5<x2· 其中正确结论的个数是() 12 A.3 B.4 C.5 D.2 57.(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学.期末)如图所示为抛物线y=αx2+bx+c的图像，其对称轴为直 线x=1,且经过点(3,0)，则下列结论：①abc>0;②b2-4ac>0;③a-b+c<0;④9a+3b+c=0其 中，正确结论的个数是() 1 3 A.1 B.2 C.3 D.4 10/16 专题02 二次函数 8大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 二次函数的图象与性质 考点03 二次函数的图象与性质 考点04 待定系数法求二次函数解析式 考点05 线段周长问题、面积问题 考点06 求抛物线与x轴、y轴交点坐标 考点07 抛物线与x轴交点问题 考点08 实际问题与二次函数 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 1．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)请写出一个开口向上，对称轴为y轴的抛物线的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数开口向上，那么二次项系数为正，对称轴为y轴，则一次项系数为0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，符合题意的抛物线表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 2．(24-25九上·河南郑州中原区·期末)二次函数的图象经过点，，则 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了二次函数的性质，把把，分别代入，进行计算，得，即可作答． 【详解】解：依题意，把，分别代入， 得， ∵， ∴， 故答案为：>． 3．(24-25上·河南安阳滑县·期末)抛物线与相同的性质是（   ） A．开口向上 B．有最高点 C．顶点是原点 D．时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点是原点，为最高点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小， 抛物线开口向上，顶点是原点，为最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， ∴抛物线和的共同性质是：顶点是原点，对称轴是y轴， 故选：C． 4．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的开口大小的规律和开口方向，的绝对值越大，开口越小，根据此规律判断即可． 【详解】解：∵由图像可知，开口向上，并且开口小于的开口， ∴ ∵由图像可知，开口向下，并且开口小于的开口， ∴ 又 ∴ ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 5．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)若点在二次函数的图像上，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数图像上点的特征，算术平方根，根据题意求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图像上， ∴， ∴， 故选：C． 地 城 考点02 二次函数的图象与性质 6．(24-25九上·河南周口商水县·期末)将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先确定原二次函数的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标． 【详解】解：原二次函数的顶点坐标为． 根据平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移个单位长度，横坐标变为；再向下平移个单位长度，纵坐标变为． 所以新抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 7．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)将抛物线向左平移1个单位长度，得到的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．根据“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：向左平移1个单位长度即为， 故答案为：． 8．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)下列选项中，二次函数的图象的顶点在第三象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断． 【详解】解：A．的顶点坐标为，在第三象限，故A符合题意； B．的顶点坐标为，在第二象限，故B不符合题意； C．的顶点坐标为，在第四象限，故C不符合题意； D．的顶点坐标为，在第一象限，故D不符合题意； 故选：A． 9．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)写出一个图象开口向上，顶点为的二次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标为，当时开口向上，当时开口向下是解题的关键．根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵图象开口向上， ∴a可以取1， ∵顶点坐标为 ∴满足题意的二次函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 10．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)请写出一个当时，随的增大而增大的二次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数的增减性求解即可得． 【详解】解：要使得当时，随的增大而增大， 则只需抛物线的开口向上，对称轴为直线， 所以写出一个这样的二次函数的表达式为， 故答案为：． 11．(24-25九上·河南新乡封丘县金瀚学校·期末)二次函数的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，直接根据顶点式解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 12．(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． 根据题意写出符合题意的二次函数解析式即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴则一次项系数为0， 取常数项为，二次项系数为， ∴满足题意的二次函数的解析式可以为：． 故答案为：（答案不唯一） 13．(24-25九上·河南周口太康县大许寨乡第一中学·期末)若，，则二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 14．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据二次函数顶点式求抛物线的顶点坐标等知识．二次函数的顶点坐标为，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：D． 15．(24-25九上·河南安阳安阳县·期末)如果将二次函数的图象平移，使得平移后图象的解析式为，那么它平移的过程可以是（   ） A．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移3个单位，再向上平移5个单位 D．向右平移3个单位，再向下平移5个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：将二次函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到即 ∴平移方式正确的是向左平移3个单位，再向下平移2个单位； 故选：A． 16．(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．直接根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为，即为，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为， 故选：A． 17．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)把抛物线先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律得出即可． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：先向左平移2个单位，得到，再向上平移2个单位． 故得到抛物线的解析式为． 故答案为：． 18．(24-25九上·河南漯河召陵区·期末)抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 19．(24-25九上·河南信阳固始县·期末)二次函数的图象的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在中其顶点坐标为，对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线． 故选：B． 20．(24-25九上·河南周口沈丘县中英文等校·期末)抛物线的对称轴为 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 故答案为：直线． 21．(24-25九上·河南南阳宛城区·期末)写一个对称轴是直线的二次函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：符合题意的二次函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 22．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的顶点式得出其函数性质根据二次函数的性质抛物线，主要基于抛物线的标准形式，其中对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 抛物线的对称轴是直线． 故选：B． 地 城 考点03 二次函数的图象与性质 23．(24-25九上·河南信阳浉河区·期末)若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意可得、，然后计算即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴、，解得：． 故答案为：1． 24．(24-25九上·河南信阳罗山县·期末)已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象开口向上、离对称轴距离越远、函数值越小成为解题的关键． 根据二次函数的图象的性质解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象上， ∴对称轴为：直线，抛物线开口向上， ∵， ∴． 故选D． 25．(24-25九上·河南信阳潢川县·期末)二次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由函数图象可得二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而可得与轴的另一个交点为，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由函数图象可得：二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 故与轴的另一个交点为， 故当时，的取值范围是， 故答案为：． 26．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)若二次函数的图象经过原点，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的基本性质，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．利用待定系数法，转化为方程解决问题即可，注意二次项系数不能为0． 【详解】解：∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴， ∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴或2， ∵， ∴． 故答案为：． 27．(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)已知二次函数 (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程的根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 【答案】(1)见解析； (2)①；②；③当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；④． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：列表： 0 1 2 3 4 描点，连线，如图， ； （2）解：①根据图象可知，函数时，的取值范围是； ②方程即的根是； ③根据图象可知，此函数的一条性质为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 28．(24-25九上·河南南阳邓州·期末)已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系用“”表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数函数值的比较，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，函数增减性是解题的关键． 根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴离对称轴直线越远，函数值越小， ∵，，即点是顶点坐标，值最大，， 即， ∴， 故选：B ． 29．(24-25九上·河南安阳内黄县·期末)抛物线经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点代入函数解析式即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 30．(24-25九上·河南安阳内黄县·期末)已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点,根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵关于直线的对称点是，，， 而 ， ∴， 故选：D． 31．(24-25九上·河南洛阳·期末)已知抛物线的图象经过，，，四个点，则与的大小关系是 （填“>”或“”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据题意确定对称轴为直线，结合开口方向即可求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向上，， ∴， 故答案为： 32．(24-25九上·河南焦作·期末)二次函数的开口方向 ． 【答案】向上 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，根据a的符号即可做出判断． 【详解】解：∵， ∴开口向上， 故答案为：向上． 33．(24-25九上·河南洛阳·期末)已知拋物线的图象经过，四个点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由条件可知抛物线与x轴两个交点为，开口向上，据此判定即可． 【详解】解：由条件可知抛物线与x轴两个交点为，开口向上， ∴当时，，当或时，， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 34．(24-25九上·河南周口沈丘县中英文等校·期末)已知点，在二次函数：的图象上，若，则a的值可以是（   ） A．0 B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，得到点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴， ∴a的值可以是3； 故选D． 35．(24-25九上·河南驻马店第二初级中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为 ．（用“”表示） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴它的对称轴为直线，开口向下， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点04 待定系数法求二次函数解析式 36．(24-25九上·河南平顶山宝丰县·期末)请写出一个开口向下，经过点的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式， 根据开口向下可知，可设关系式为，再将点的坐标代入关系式可得答案． 【详解】解：设二次函数关系式为， ∵该函数经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 37．(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．若，，是抛物线上的一点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，先求出，然后用待定系数法求出，再把代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴是y轴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入，得． 故答案为：． 38．(24-25九上·河南新乡第一中学·期末)已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，对称轴与x轴相交于点D，点在抛物线上，，O为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)当时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，正确引出辅助线是解题的关键． （1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ． 39．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学，新乡第十中学·期末)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)已知点，将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于分类讨论． （1）把代入，得到，然后配方成顶点式即可求解； （2）先求出与坐标轴的交点，，与y轴交于点，根据平移求得，然后分类讨论，画出临界状态分析即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上 ，解得 ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：， 当， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为点，与y轴交于点 ∵将点向左平移3个单位长度 ∴点C的坐标为 由题意，分以下两种情况： ①当时， ∵，对称轴为直线， ∴与轴另一交点记为，如图： 由抛物线与x、y轴的交点可知，抛物线与线段无公共点 ②当时 若抛物线的顶点在线段上，则顶点坐标为，如图： 解得 若抛物线的顶点不在线段上，要使抛物线与线段恰有一个公共点，则抛物线与y轴的交点位于点C的上方，符合题意，如图： 解得 综上所述，a的取值范围是或． 40．(24-25九上·河南南阳西峡县·期末)若一个二次函数的图象经过、、三点，则这个二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．设二次函数的解析式为，把、、三点代入解析式求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把、、三点代入得 ， 解得． 则抛物线解析式为． 故答案为：． 41．(24-25九上·河南南阳淅川县·期末)如图，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)已知点在抛物线上移动，结合函数图象解答下列问题： ①若时，则的取值范围为______． ②若时，随的增大而增大，则的取值范围是______； ③若当时，函数的最小值是3，最大值是4，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②；③ 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和二次函数解析式求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）①根据抛物线与x轴的交点结合图象即可解答． ②求出对称轴，结合图象即可解答． ③根据二次函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①根据图象可知，时，的取值范围是或， 故答案为：或； ②根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 根据图象可知，当时，随的增大而增大， 若时，随的增大而增大， 则的取值范围是， 故答案为：； ③根据抛物线的解析式为可得抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点关于对称轴对称的点是， ∵函数的最小值是3，最大值是4， 故最大值在顶点处取得，最小值在或处取得， 则根据图象可知，的取值范围是． 42．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)请你写一个图象过点的二次函数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，设二次函数为，代入点即可求解． 【详解】解：设二次函数为， 代入点得， ∴过点的二次函数可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 43．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)如图，这是抛物线形拱桥．当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米．以水面所在的直线为轴，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意求得二次函数即可，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 【详解】解：设该抛物线的表达式为． 由题意可得该抛物线经过，，三点， ， 解得， 该抛物线的表达式为． 44．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)二次函数的部分图象如图所示，其图象与x轴交于点，与y轴交于点C，且经过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)将此二次函数解析式配方成的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据抛物线的对称轴与点的坐标求出与轴的另一交点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴交于点，且经过点 ∴， 解得：， 此二次函数的解析式为； （2）解：， 二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为， 设另一点坐标为， 则， 解得， 点的坐标是． 地 城 考点05 线段周长问题、面积问题 45．(24-25九上·河南洛阳·期末)已知抛物线（其中） (1)求该抛物线的对称轴及其顶点坐标； (2)①已知点，若抛物线经过线段的中点，求拋物线的解析式； ②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)①抛物线的解析式为：；②的取值范围 ． 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用对称轴公式求得对称轴为直线，再代入解析式求得的值，即可求得顶点坐标； （2）①求出中点坐标，代入抛物线求得的值，即可求得抛物线的解析式；②当时，，即，解得，当时，，即，解得，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：， 对称轴为直线， 把代入， 顶点坐标为； （2）解：①线段的中点坐标为，， 中点坐标为， 抛物线经过线段的中点， ， ， 抛物线的解析式为：； ②抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 且抛物线与线段恰有一个公共点， 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 的取值范围为． 46．(24-25九上·河南郑州巩义·期末)如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，点是此二次函数的图象上的两个动点，且满足． (1)求此一次函数和二次函数的表达式； (2)如图1，若点在直线的上方，过点作轴于点，交于点，连接．求证：的值为定值； (3)如图2，若点在轴的上方移动，点为线段的中点，求点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数以及一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数表达式得一次函数的表达式为：；将点坐标代入一次函数得出的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意可得，，，，；求得和的表达式，进而求比值，即可求解； （3）根据中点坐标公式得出点的纵坐标，根据，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即一次函数的表达式为：； 将点坐标代入一次函数表达式得， 将点的坐标代入二次函数 表达式得：， 则即抛物线的表达式为：； （2）证明：由题意可表示有关点的坐标为： ，，，， 则 同理可得： 则为定值； （3）解：点的两点的坐标分别为：， 点纵坐标可表示为 当，即， 解得： ∴二次函数的图象与轴的交点和点， 又若点在轴的上方移动， 当时，； 当时，； 故的取值范围： 47．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期末)如图，矩形绿地的长、宽分别为，现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为m，面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一次函数、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解题的关键． 根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：，， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选A． 地 城 考点06 求抛物线与x轴、y轴交点坐标 48．(24-25九上·河南新乡获嘉县10校·期末)若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 49．(24-25九上·河南驻马店泌阳县·期末)在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得拋物线与轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”是解题关键．先求出二次函数图象平移所得到的抛物线的解析式，再求出其与轴的两个交点坐标，由此即可得． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的解析式为，即为， 当时，，解得或， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为和， ∵抛物线与轴有两个公共点、， ∴， 故答案为：1． 50．(24-25九上·河南南阳社旗县·期末)已知函数，解答下列问题： (1)画出函数的图象； (2)观察图象，填空、回答：①抛物线与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______； ②x取什么值时，． 【答案】(1)见解析 (2)①，和；②或 【分析】此题考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握画二次函数图象的步骤． （1）根据画二次函数的图象的方法，列表、描点、连线画出图象即可； （2）①由图象求解即可； ②由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵ 列表如下： x 0 2 y 0 0 画图如下： （2）解：①由图象可得， 抛物线与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是和； ②由图象可得，当或时，． 51．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期末)已知抛物线经过，． (1)求抛物线的表达式和顶点坐标 (2)已知点，抛物线与轴另一个交点为，求的面积； (3)当时，的取值范围； (4)过轴上的点作轴的垂线，若直线与抛物线在部分有一个交点，求的取值范围（不用书写过程）． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化为顶点式，即可求得顶点坐标； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解； （4）求得和时的函数值以及顶点坐标，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得：，， 则， 当时，， 则， ； （3）解：， 当时，有最小值， 当时，，当时，， 当时，的取值范围为； （4）解：当时，，当时，， 抛物线与轴的交点为，顶点坐标为， 当或时，直线与抛物线在部分有一个交点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点，二次函数的图象与直线的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 52．(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)如图，这是二次函数的图象，对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系以及的符号；由抛物线与轴的交点位置可得，由判断，由，进而对所得结论进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线的开口向下知，对称轴为直线，则，故本选项错误； B、由图象可知，当时，，故本选项错误； C、由对称轴为直线， ， ，则，故本选项正确； D、由图象可知，当时，，则，故本选项错误； 故选：C． 53．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与坐标轴交点坐标． 【答案】(1) (2)与y轴的交点坐标为，与x轴无交点 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式． （1）设顶点式，然后把代入求出即可得到抛物线解析式； （2）通过解方程得抛物线与轴的交点坐标；计算自变量为0时的函数值得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：当时，， 整理：，无实数解， 故抛物线与轴无交点， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为． 54．(24-25九上·河南濮阳·期末)关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为 C．图象与轴的交点坐标为和 D．时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键． 把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，在y轴的左侧，故选项A错误； 当时，，即该函数与y轴交于点，故选项B错误； 当时，或，即图象与x轴的交点坐标为和，故选项C错误； 二次函数开口向上，当时，随的增大而增大，故选项D正确． 故选：D 地 城 考点07 抛物线与x轴交点问题 55．(24-25九·河南郑州郑州第一中学·期末)对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．与x轴只有一个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，抛物线与x轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质，逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：A．，故抛物线开口向下，原答案错误，不符合题意； B．函数的对称轴为：，原答案错误，不符合题意； C．顶点坐标是，正确，符合题意； D． 由得，则， 故二次函数与x轴没有交点，原答案错误，不符合题意； 故选C． 56．(24-25九上·河南方城县六校联考·期末)二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论： ①； ②； ③； ④若点，点，点在该函数图象上，则； ⑤若方程的两根为和，且，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．二次函数图象上点的坐标特征．根据抛物线对称轴为直线可得a与b的关系，从而判断①；由时可判断②；由抛物线经过点及抛物线对称轴可求出b与a，c与a的关系从而判断③；由A，B，C三点到对称轴的距离大小判断④；将方程的解转化为抛物线与直线的交点问题，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ，即，①正确； 由图象可得时，， 即． ，②错误； 抛物线经过， ． ， ． ． 抛物线开口向下， ． ，③正确； 点C，点B，点A到抛物线对称轴距离依次增大， ，④错误； 抛物线经过点，对称轴为直线， 抛物线经过点． 抛物线解析式为． 方程的两根为抛物线与直线的交点的横坐标． 由图象可得，⑤正确 故选：A． 57．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)如图所示为抛物线的图像，其对称轴为直线，且经过点．则下列结论：①；②；③；④其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．依据题意，由已知条件得出，，，抛物线与轴的另一交点为，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，即可解答． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴, ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴, ∴, 故①错误； ∵抛物线与轴有两个不同的交点， ∴, 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，， 故③错误； ∵抛物线经过点， ∴当时，， 故④正确； ∴正确结论的个数有2个， 故选：B ． 58．(24-25九上·河南信阳商城县第二初级中学·期末)已知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，可得，再根据对称轴可得，即可判断A；由抛物线与轴有两个的交点可判断B；由对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标为，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，又由图象可知时，抛物线位于轴上方，可得当时，，据此可判断C；由对称轴可判断D，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ， ∵对称轴为直线， ， ， ∴，故A错误，符合题意； ∵抛物线与轴有两个的交点， ∴，故B正确，不合题意； ∵对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵时，抛物线位于轴上方， ∴当时，， ∴，故C正确，不合题意； ∵， ∴，故D正确，不合题意； 故选：A． 59．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)将抛物线向下平移a个单位长度，此时抛物线的顶点恰好落在x轴上，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据向下平移的原则，结合顶点恰好落在x轴上，令纵坐标为0，计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向下平移a个单位长度，所得到的抛物线解析式为， 抛物线的顶点恰好落在x轴上， 故， 解得． 故选：A． 60．(24-25九上·河南开封杞县高中附属中学·期末)如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，y随x的增大而减小 C．关于x的方程的根为 D．当时，y的取值范围为 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线的增减性，抛物线的顶点坐标属性，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的最值，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标是3， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故A错误； 当时，y随x的增大而增大，故B错误； 设抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为m， 则， 解得， 故关于x的方程的根为，故C错误； 当时， ∵关于x的方程的根为， ， 解得， 故抛物线解析式为， 故当时，函数取得最大值，且最大值为4； ∵， ∴与对称轴的距离越大函数值越小， ∵， ∴时，函数取得最小值，且最小值为， ∴y的取值范围为；故D正确； 故选：D． 61．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期末)如图为二次函数的图象，则下列说法正确的有（   ） ①； ②； ③； ④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 故①是错误结论； ∵根据图象，得抛物线与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ， 故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故③错误； 根据图象，得当时，．    故④正确． 故选：B． 62．(24-25九上·河南南阳镇平县·期末)如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意可知，对称轴为直线，图象与轴有另一个交点的横坐标是1，当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵顶点坐标是， ∴对称轴为直线， ∴，选项A说法错误，不符合题意； 由图象可知，，顶点坐标是， ，选项B说法错误，不符合题意； 当时，，选项D说法错误，不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，且与轴的一个交点的横坐标是， ∴图象与轴有另一个交点的横坐标是1， ∴，选项C说法正确，符合题意； 故选：C． 63．(24-25九上·河南漯河郾城区·期末)如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（   ）    A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；①利用抛物线与轴有个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④根据抛物线与轴的交点即可判断；再根据④知抛物线与x轴的另一个交点为即可判断⑤． 【详解】解：①抛物线与轴有个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， , ，所以③正确； ④二次函数的图象过，， 方程的解是，，故④正确； ⑤由④知二次函数的图象过， 当时，，故⑤错误． 故选：A． 64．(24-25九上·河南新乡封丘县·期末)已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的根的判别式即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：令， 得方程，， 由二次函数的图象与轴有交点， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 地 城 考点08 实际问题与二次函数 65．(24-25九上·河南平顶山宝丰县·期末)为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的最大值，用代数式表示，长方形的面积相等，且，根据图示可知，则，设，根据面积相等得，再根据面积相等得出a，x的关系，即可判断A，B，C，再根据得出二次函数讨论极值即可． 【详解】解：如图所示，材料总长为80米，设，且， ∵长方形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 根据分析得， ∴． ∵用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形， ∴， 解得， ∴， ∴米． 所以①错误，不符合题意； 根据题意，设由①得， ∵. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 所以②不正确，不符合题意； 根据题意，设由①的论证结果可知， ∴， 所以③正确，符合题意； 根据②可知 ∴， ∴长方形的面积是， ∴根据抛物线的顶点可知， ∴（平方米）， 所以结论④正确，符合题意． 正确的有2个． 故选：B． 66．(24-25九上·河南南阳宛城区·期末)“南阳一个值得三顾的地方，南阳月季飘香醉五洲”，五一期间，某月季养殖户在网上售卖月季，第一天的收入为元，第三天的收入为元（每天收入的增长率相同）． (1)求该月季养殖户每天平均收入的增长率是多少？ (2)月季进校园，某校准备在教学楼旁边建一个矩形月季园，一边靠墙（墙长），另外三边用木栅栏围成，已知木栅栏总长．能不能设计出面积最大的月季园？若能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，面积最大的月季园的方案为：与墙垂直的一边为，与墙平行的一边为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解答本题的关键是能找准等量关系，正确列出一元二次方程以及根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式． （1）设该月季养殖户每天收入的增长率是，根据该月季养殖户第一天及第三天的收入，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）方法一：设与墙平行的一边为，与墙垂直的一边为，矩形月季园面积为，根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据函数的性质求最值即可解答； 方法二：设与墙垂直的一边为，与墙平行的一边为，矩形月季园面积为，根据矩形的面积公式列出函数关系式，根据函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设该月季养殖户每天收入的增长率是， 根据题意，得，， 解得，， 答：该月季养殖户每天收入的增长率是； （2）解：能，理由如下： 方法一：设与墙平行的一边为，与墙垂直的一边为，矩形月季园面积为，则 ， 由题意知， 当时，有最大值，此时， 所以面积最大的月季园的方案为：与墙平行的一边为，与墙垂直的一边为； 方法二：设与墙垂直的一边为，与墙平行的一边为，矩形月季园面积为，则， 当时，有最大值，此时，符合题意， 所以面积最大的月季园的方案为：与墙垂直的一边为，与墙平行的一边为． 67．(24-25九上·河南郑州郑东新区·期末)坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选B． 68．(24-25九上·河南驻马店平舆县完全中学·期末)某商场出售一种台灯，成本为每件30元，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价元（为正整数），每月的销量为件． (1)写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当定价为49元时，每月的利润最大为1178元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用， （1）利用每月的销量每件台灯降价的钱数，可找出y与x之间的函数关系式，结合售价不低于进价，即可确定自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为w元，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可找出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质及x的取值范围，即可解决最值问题． 熟练掌握根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式和根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵售价不低于进价， ∴， 解得 ， ∴自变量x的取值范围且为整数； （2）解：设每月的销售利润为元，    ， ∵ ，抛物线开口向下， ∴当时随x的增大而减小 ， 又∵ 且x为整数， ∴当时，有最大值 ， ， ∴当定价为49元时，每月的利润最大为1178元． 69．(24-25九上·河南新乡延津县·期末)信阳毛尖，中国十大名茶之一，产于河南省信阳市．茶叶颜色深绿，叶片肥厚，品质上乘，纯净清澈，香味持久，回味悠长．某茶农准备出售一批信阳毛尖茶叶．已知茶叶的进价为每斤80元，现在售价为每斤110元，每星期可卖100斤．经市场调研，发现若每斤茶叶每涨价1元，则每星期要少卖出2斤．设每斤茶叶涨价x元． (1)求每星期获得的利润y与x之间的函数关系式． (2)每斤茶叶涨价多少元时，每星期获得的利润最高？最高利润为多少？ 【答案】(1) (2)每斤茶叶涨价元时，每星期获得的利润最高，最高利润为元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确列出二次函数解析式是解此题的关键． （1）根据总利润每斤利润斤数即可得出利润y与x之间的函数关系式； （2）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：∵， ∴， ∴当时，每星期获得的利润最高， ∴每斤茶叶涨价元时，每星期获得的利润最高，最高利润为元． 70．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)从地面向上抛出的小球，小球的高度（单位）与运动时间（单位：）之间的关系是，则小球运动过程中，小球高于地面的时长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，可令h=25，则，求出后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴令，则． ∴或． ∴小球高于地面的时长为 故答案为：． 71．(24-25九上·河南郑州管城区·期末)阅读： 砸沙包游戏：通常涉及两组玩家，一组负责扔沙包，另一组负责躲避沙包．游戏规则如下： 扔沙包：扔沙包的玩家轮流将沙包从肩上方投出，试图击中躲沙包的玩家． 躲避：躲沙包的玩家需要躲避沙包，如果被沙包击中，则退出游戏；如果接住沙包，则可以多一条命或让本方被击中的玩家“复活”． 注：扔沙包时可有进攻和防守两种选择，若进攻，沙包的运行路线可近似看作是一条直线；若防守，可将沙包高抛给另一名同组玩家伺机进攻，这时沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线． 大课间活动中，小明、小亮和小红玩砸沙包游戏，小明和小亮扔沙包，小红接沙包．如图，以地面为x轴，以小明站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，小明一开始准备进行防守，他跳起在处高抛，将沙包传给小亮，小亮在横坐标为7的B处接到沙包．其运行路线可以看作是抛物线的一部分． (1)求抛物线的表达式和点B的坐标； (2)小红在小明和小亮之间运动，选择合适的方式躲避沙包和接住沙包，已知小红跳起后的最大高度为，请求出小红接住沙包的运动范围； (3)小明跳起后发现，小红在距离自己处未动，他决定选择进攻，若设沙包的运行路线的解析式为，小红的身高为，求能砸中小红时，m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质及二次函数的应用， （1）将代入抛物线表达式求出，进而求出点B的坐标； （2）根据题意得求出方程的解即可解决； （3）当直线经过点时及当直线经过点时，分别求出相应的m的值即可确定范围； 【详解】（1）解：将代入抛物线可得，， ∴抛物线的解析式为； ∵点B的横坐标为7，代入可得，， ∴点B的坐标为； （2）解：已知小红跳起后的最大高度为，即， ∴， ∴（舍去），， ∵小红在小明和小亮之间运动， ∴； （3）解：∵小红的身高为，距离y轴，沙包的运动路线的解析式为， 当直线经过点时， ，则， 当直线经过点时， ，则， ∴m的取值范围为 72．(24-25九上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期末)有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．当时，． (1)求函数关系式； (2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？ (3)请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，学生的接受能力逐步增强，最强时的值为 (3)老师在讲授此类概念所用时间应该控制在13分钟左右，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由当时，．从而，求出后即可判断得解； （2）依据题意，结合（1）．又＜，进而可以判断得解； （3）依据题意，结合（2），从而当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步减弱，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，． ． ． ． （2）由题意，结合（1）． ， 当时，学生的接受能力逐步增强，最强时的值为． （3）由题意，结合（）， 当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步减弱． 老师在讲授此类概念所用时间应该控制在分钟左右． 73．(24-25九上·河南周口郸城县名校联考·期末)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第一级运行的水平距离为时，达到最大高度． ①求的值及火箭落地点的坐标； ②若在火箭运行的正前方点处有一架飞行高度为3千米的飞行器，已知火箭能顺利越过飞行器，求的取值范围． (2)若火箭落地点与发射点的水平距离为，直接写出，的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①根据抛物线为，火箭第一级运行的水平距离为时，达到最大高度，得出解答求出解析式，令，求出火箭第二级的引发点的坐标为．再根据直线经过点，求出直线解析式，令，即可求解．②令，求出，（大于10，舍去），再令，求出，即可解答． （2）当时，，得出火箭第二级的引发点的坐标为．得出经过点，，代入求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可得，解得：， 火箭第一级运行路径的抛物线的表达式为． 当时，， 火箭第二级的引发点的坐标为． 直线经过点， ，解得：， 令，即，解得：， 火箭落地点的坐标为． ②令，则， 解得：，（大于10，舍去）， 令，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，， 火箭第二级的引发点的坐标为． 火箭落地点与发射点的水平距离为， 经过点，， ， 解得：． 74．(24-25九上·河南周口川汇区·期末)如图1所示是一个水桶的简易取水装置，图2是其示意图.从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线的一部分，点B是水流与杯子底部的接触点.水流运动的高度与运动的水平距离近似满足函数关系式：． (1)求抛物线的解析式；（不必写的取值范围） (2)为了取水便捷舒适，要将水桶垫高，若垫高后点B离出水口的水平距离不得小于，求水桶至少要垫高多少厘米? 【答案】(1) (2)取水装置至少要垫高 【分析】本题主要考查二次函数的应用： （1）运用待定系数法求解即可； （2）设垫高的高度为，写出垫高后的函数解析式为，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由已知，把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：设垫高，则垫高后的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴为了取水便捷舒适，取水装置至少要垫高． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $