5.1 变量与函数（1）--函数的概念 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 5.1变量与函数（1） --函数的概念 学习目标 、借助简单实例，初步感知用常量与变量刻画 简单数学问题，指出具体问题中的常量、变量； 2、初步理解存在一类变量可用函数方式刻画， 能判断两个变量间是否有函数关系。 3、感知现实世界中变量之间联系的复杂性， 体会数学知识的乐趣。 学习重点：借助简单实例，从两个变量间的特殊 对应关系抽象出函数的概念 。 学习难点：理解“唯一对应”的含义。 一、情境创设： 问题： 某列车从甲地驶往乙地，在13:25到13:30 这个时段列车速行驶，该时段中涉及哪些量? 这些量之间有怎样的关系? 二、探索新知： 在上述问题中，列车的速度、 甲乙两地的      保持不变； 列车与甲地的距离随时间的变化而变化，当时间确定时， 列车与甲地的距离随之      。 像这样的情况还有很多， 距离 确定 例如：用30m长的篱笆靠墙围成一个 长方形小兔乐园，篱笆的长度保持不变，面积随一边长的变化而变化， 当一边长      时，面积随之确定。 确定 购买某种橘子，橘子的       保持不变， 花费的金额随购买数量的变化而变化， 当购买数量       时，花费的金额随之确定。 讨论： 请你再举出一些类似的实例，并指出其中哪些量 是不变的，哪些量是变化的，是如何变化的。 单价 确定 1、数值保持不变的量叫作        (constant)， 数值发生变化的量叫作       (variable)。 小结： 常量 变量 变量与常量是相对而言的,判断变量与常量的前提是“在某一变化过程中”.一个量在某一变化过程中是常量,而在另一变化过程中则可能是变量. 例如s=vt,当s一定时,s是常量,v,t是变量； 当t一定时,t是常量，s,v是变量. 2、在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有     的值与它对应， 那么称y是的函数(function)，x是自变量，对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为 函数值(function value). 唯一 【概念深化】函数的本质是两个变量的对应关系, 即自变量x的每一个取值,y都有唯一的值与它对应, 但对于自变量x的几个不同值,,的值可以相同. 试一试： 1、分别指出下列关系式中的变量和常量. (1)圆的面积S(cm2)与圆的半径r(cm)之间的关系式是S=πr2. (2)每支钢笔7元,购买钢笔的花费w(元)与钢笔支数 n(支) 之间的关系式是w =7n. (3)以初始速度v0(单位:m/s)向上抛一个小球,小球的高度 h(单位:m)与小球的运动时间(单位:s)之间的关系式 是h=v0t-4.9t2. (3)变量:h,t；常量:vo,-4.9。 解:(1)变量:S,r；常量:π。 (2)变量:w,n；常量:7。 2、某轮船从甲港匀速驶向相距500nmile的乙港，全程用时th是速度vn mile/h的函数吗?如果要在12.5h内到达，那么速度至少要达到多少? 例题精讲： 例1、轮船从甲港以30nmile/h的速度匀速驶向相距500n mile 的乙港，设轮船与乙港的距离为s(nmile)，s是航行时间(h)的函数吗?用含t的代数式表示s。 解：s是t的函数。轮船与乙港的距离s随航行时间t的变化 而变化，当t取一个确定的值时，s有唯一的值与它对应， s是t的函数,t是自变量 s与t之间的函数关系可以表示 为s=500-30t 例2、给出下列各式：① ；②y=x+2z；③y=2； ④y=｜x｜；⑤y2=2x.其中表示y是x的函数的有（ ） A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个 序号 分析 判断 ① ② ③ ④ ⑤ 当x取一个正值时,y有两个不同的值与它对应 分析： 对于x的每一个取值,y都有唯一的值与它对应 是 存在三个变量 不存在两个变量 对于x的每一个取值,y都有唯一的值与它对应 不是 不是 是 不是 C 三、独立训练： 1、下列说法不正确的是                 （      ） A、函数 中， 是常量，r是自变量， V是πr的函数 B、函数式 中，V是它所含字母r的函数 C、公式 可以看作球的体积是球的 半径的函数 D、函数 ,当r=0时，V=0 A 2、如图是某人在医院体检时心电图的一部分，图上横轴 表示时间，纵轴表示心脏的心肌在活动中产生的动作电位， 动作电位是时间的函数吗?为什么? 解：动作电位是时间的函数。由图可知动作电位随时间的 变化而变化，当时间取一个确定的值时，动作电位有唯一的值与它对应，动作电位是时间的函数,时间是自变量。 3、判断下列变量之间的关系是否为函数关系: (1)在平静的湖面上投入一粒石子，激起的圆形 波纹的面积Scm2和半径rcm; (2)沿倾角为30°的斜坡登山，爬升的高度hm 和前进的水平距离lm; (3)长方形的面积y和长x. 4、如图,在一个边长为20 cm的正方形的四角上,各剪去一个大小相同的小正方形,当小正方形的边长由小到大变化时,图中阴影部分的面积也随之发生变化. (1)在这个变化过程中,自变量是什么? (2)若小正方形的边长为x cm(0<x<10),图中阴影部分的面积为ycm2,请直接写出y与x之间的函数关系,并求出当x=3时,图中阴影部分的面积. 解：(1)由题意可得自变量是小正方形的边长. (2)由题意可得y=202-4x2=400-4x2 (0<x<10). 当x=3时,y=400-4×32=364, 即当x=3时,图中阴影部分的面积为364cm2. 四、拓展延伸 一个梯形,它的下底比上底长2cm,它的高为3cm, 设它的上底长为xcm,面积为ycm2. (1)列式表示y与x之间的函数关系,并指出哪个变量是自变量； (2)当x由5变到7时,y如何变化? (3)用表格表示出当x从3变到10(每次增加1)时,y的相应值； (4)当x每增加1时,y如何变化?并说明理由； (5)这个梯形的面积能等于9cm2吗?能等于2cm2吗?为什么? (4)当x每增加1时,y增加3.理由:3(x+1)+3-(3x+3)=3. 五、总结反思： 1、函数概念的三个要点： ①都是一个变化的过程有两个变量； ②一个变量随另一个变量的变化而变化； ③对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应. 3、写函数关系式的一般步骤： ①找相等关系　　 ②列关系式    ③将式子变形为用含自变量的代数式表示函数的式子 2、用“三看法”判断一个关系是不是函数关系。 (1)一看:是否在一个变化过程中. (2)二看:是否存在两个变量. (3)三看:每当自变量取一个确定的值时，另一个变量 是否都有唯一的值与它对应， 六、随堂检测 2.下列关系中,y是x的函数的是 (　　) A.x=y2 B.y=5x+2 C.|y|=2x D.y2=2x+1 1、下列两个变量之间不存在函数关系的是(　　) A.圆的面积S和半径r之间的关系 B.某地一天的气温T与时间t之间的关系 C.一个正方形的周长l与其边长m之间的关系 D.一个正数b的平方根a与这个正数b之间的关系 4、声音在空气中的传播速度约340m/s. (1)判断传播距离d(m)是否是传播时间t(s)的函数， 并用含t的代数式表示d； (2)如果听到雷声比看到闪电延迟了7s,那么雷电 大约发生在离观察者多远的高空?   3、如图,在△ABC中,BC=8.如果BC边上的高AH=x在发生 变化,那么△ABC的面积S=　　　.在这个问题中, 变量有　　、　　,其中,　　可以看成　　 的函数。