3.3　二次根式的加法和减法 教案 2025-2026学年 湘教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的加减运算及混合运算，通过复习同类项合并、二次根式化简等旧知，类比整式运算导入新知，构建从旧知到新知的学习支架，梳理运算规则的形成脉络。 特色在于情境创设与分层探究，土楼面积计算、线段围三角形等实例培养数学眼光，变式训练与拓展题（如小明探索完全平方公式）发展运算能力和推理意识，知识网络框架图帮助构建体系。提升学生探究能力，为教师提供丰富教学资源，优化课堂效率。

3.3　二次根式的加法和减法 第1课时　二次根式的加法和减法 课题 第1课时　二次根式的加法和减法 授课人 教 学 目 标 1.理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地对二次根式进行加减运算. 2.通过实例分析,从中正确地掌握二次根式加减运算的基本步骤. 3.对二次根式的正确化简和合并被开方数相同的二次根式的分析与思考. 4.对二次根式加减法法则的思考,能熟练地运用二次根式的加减法法则进行加减运算. 教学 重点 　　二次根式加减法法则的原理的理解与运用. 教学 难点 　　最简二次根式的合并及二次根式的加减法法则的运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.计算:(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2; (3)x+2x+3y;(4)3a2-2a2+a3. 2.思考:合并同类项的原理是什么? 　　通过类比复习,导入新课. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 (师生互动)观察下列三组式子,找出其中的异同: (1),3,-2,10, ; (2),3,-3, ; (3),,-,,. 结论:(1)(2)都是最简二次根式;(3)每个式子化简后都含. 你会把每组数据进行加减运算吗? 　　通过师生互动,在寻找异同的过程中,形成学习与探究的氛围. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 二次根式的加减法法则 (抛出问题1)计算:(1)2+3;(2)5-3. 学生从系数及共同的特点讨论,归纳出被开方数相同的二次根式加减法的法则:将根号外的系数相加减,根号及被开方数保持不变. (问题2)对于式子:+,该如何计算呢? (通过对引入的引导)先将两个二次根式化简为2,3,再对2,3进行加法运算. 归纳出二次根式加减法运算的步骤: (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)对被开方数相同的二次根式进行运算. 　　探究二次根式的加减法法则. 【应用举例】 例1　计算:2-+. 变式一:计算:5+--. 例2　如图3-3-1①是一土楼,图②是其水平切面图,它由两个圆心圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02 m2和150.72 m2,求圆环的宽度d(π取3.14). 图3-3-1 变式二:已知三条线段的长度分别为,,,你能以这三条线段的长为边围成三角形吗?若能,求出围成的三角形的周长;若不能,请说明理由. 　　分别从计算与应用两个角度对二次根式的加减法进行运用,突出二次根式加减法的综合性. 【拓展提升】 例3　计算:+++…+. 例4　若a,b为有理数,且++=a+b,求ba的值. 解:因为++=a+b, 所以2+3+= =a+b,所以a=0,b=,所以ba=()0=1. 　　以计算的形式及其变形的形式对二次根式的加减运算进行加大难度、扩大知识面的考查,提高学生的综合应用能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P77练习T1,T2. 　　实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P79习题3.3 T1,T2. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过复习导入,能直接将本课所需的知识通过提示,达到激起情趣的目的,同时也为讲解新课做了必要的铺垫. ②[讲授效果反思] 本课的重点是利用二次根式加减法法则进行计算,在讲述时做到例题精讲,要点:(1)将每个二次根式化为最简二次根式;(2)合并被开方数相同的二次根式. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 第2课时　二次根式的混合运算 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　二次根式的混合运算 授课人 教 学 目 标 1.掌握二次根式的混合运算及其应用. 2.掌握乘法公式在二次根式混合运算中的应用. 3.在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法. 4.培养各种乘法公式及分母有理化在二次根式混合运算中的运用. 5.通过各种实际问题,能综合运用各种乘法公式及运算法则去解决不同的实际问题. 6.通过二次根式的混合运算,培养学生的运算能力. 7.通过混合运算知识的拓展,培养学生的探索精神. 8.通过例题由浅入深,层层深入,激发学生求知的欲望,体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法. 教学 重点 　　二次根式的四则混合运算. 教学 难点 1.将整式的乘法公式和法则迁移到二次根式的运算中. 2.二次根式混合运算的应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体、实物投影仪 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.复习二次根式化简的方法及原则. 2.复习二次根式的加减混合运算、乘除混合运算的性质及法则. 　　为二次根式的混合运算在运算顺序上和运算法则上作依据. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 已知一块长方形菜地的长为2(+),宽是,求长方形菜地的面积. 解:由长方形的面积=长×宽,得长方形菜地的面积为2(+)×. 大家试着用实数的运算律和整式的运算法则求解一下吧! 　　通过计算混合式子的值,充分利用了二次根式加减乘除的运算法则,并将二次根式的计算与整式的运算结合起来,实现类比教学. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 探究二次根式的混合运算 对于二次根式(4+6)××500的计算: 1.运算顺序:有括号的先算括号内的(注意在乘除的运算中按照从左到右的顺序进行); 2.运算律:与整式的运算一样,二次根式的运算满足乘法对加法的分配律、结合律、交换律等; 3.指数运算:在运算之前,有指数运算的要先算. 例1　计算:(-4)+. 解:(-4)+ =3-4+2 =3-2. 例2　计算:(-)(+)-. 解:(-)(+)-=3-2-(-1)=2-. 归纳:在二次根式的运算中,在分母有根号的情况下要先把分母中的根号去掉,将分母变成有理数后,再按照有理数的运算方法进行运算,并注意一定要将计算的结果化成最简二次根式或整式. 　　通过探究并结合例题的演示,实现纯理论的补充,将解题中易出现的问题呈现在课堂上,让学生通过计算、观察、思考多方面的结合,在小组互助合作的基础上全面提高. 【应用举例】 例1　计算:(1)×;(2). 变式一:计算:×÷+. 解:原式=××+×=2+5=7. 例2　计算:(1)(3+)(3-);(2). 变式二:计算:(-1)2+×. 解:原式=(-1)2+×2=5-2+1+10=16-2. 变式三:已知a,b,c为互不相同的有理数,且满足=(a+)(c+),则符合条件的a,b,c共有 (A) A.0组　　　　B.1组　　　　C.2组　　　　D.4组 活动 二: 探究 与 应用 [解析] 因为(b+)2=(a+)(c+), 所以b2+2b=ac+(a+c). 因为a,b,c为有理数,所以无理数的系数部分相等,有理数部分也相等, 即b2=ac①,2b=a+c②. 将②代入①,得(a-c)2=0, 所以a=c,这与a,b,c为互不相同的有理数矛盾, 所以符合条件的a,b,c共有0组.故选A. 变式四:计算:+. 解:原式=5+2+3+5-2+3=16. 例3　计算:÷. 变式五:计算:-÷3. 解:原式=-=--=-. 例4　计算:(1);(2)+. 变式六:计算:-+. 解:原式=-+ =+1-(+)- =+1--- =1-2. 　　通过多个例题的配合讲解,从不同的角度实现了混合运算的计算顺序与计算方法的演练,达到示范的作用. 变式题的目的在于将例题的形式在运算数据的处理和运算顺序的变化上做了全面的补充,达到讲解全面的效果. 【拓展提升】 例5　设的整数部分是a,小数部分是b,试求a2+b2的值. 解:因为=2+,1<<2,所以a=3,b=-1, 所以a2+b2=9+(-1)2=9+4-2=13-2. 例6　小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索: 设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为整数),则有a+b=m2+2n2+2mn,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为完全平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题: (1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得a=　　　　,b=　　　　;  (2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:　　　　+　　　 =(　　　　+　　　 )2;  活动 二: 探究 与 应用 (3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值. 解:(1)因为a+b=(m+n)2, 所以a+b=m2+3n2+2mn, 所以a=m2+3n2,b=2mn. 故答案为m2+3n2,2mn. (2)答案不唯一,如设m=1,n=1, 所以a=m2+3n2=4,b=2mn=2. 故答案为4,2,1,1. (3)由题意,得a=m2+3n2,4=2mn. 因为4=2mn,且m,n均为正整数, 所以m=2,n=1或m=1,n=2, 所以a=22+3×12=7或a=12+3×22=13. 　　从更高层次的角度出发,展现计算与应用技巧,联系多个知识点进行综合应用,拓宽教材计算范围. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材P79练习T1,T2,T3. 实时训练,实时指点,能有针对性地掌握课堂效果,能有效地弥补学生掌握知识的缺陷. 【作业布置】 教材P79习题3.3 T3,T4,T5. 　　根据内容,重点设置作业,巩固课堂教学效果. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 导入比较直接,突出讲述要点,达到补充的功能. ②[讲授效果反思] 在补充的例题讲解中,突出了难点和易错点,在拓展中展示了二次根式的计算的应用性与创新性,不过本节的内容量是比较大的,最好采用多媒体省去抄题的时间,增加学生动手计算的时间. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $