专题02 函数导数7大考点（期末真题汇编，浙江专用）高三数学上学期

专题02 函数导数 7大高频考点概览 考点01 函数的性质及其应用 考点02 利用导数研究函数的性质 考点03 函数的零点问题 考点04 根据恒成立额零点求参数范围 考点05 利用导数证明不等式 考点06 利用导数求参数范围 考点07 导数综合 地 城 考点01 函数的性质及其应用 1．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由函数是奇函数，得， 整理得，取，得. 故选：A 2．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知函数是奇函数，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是奇函数，定义域为R， 所以， 所以，所以， ，满足题意， ，，故A正确，B、C、D错误. 故选：A 3．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知函数，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题设函数，由逆推，可有以下六种情况： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ . 综上，对于A，由情况⑥可知A不正确； 对于B，C，由情况①可知B不正确，C也不正确； 对于D，由上分析知，故D正确. 故选：D. 4．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A：因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图像关于对称，，而不一定为0，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故，所以， 所以函数是奇函数，故B错误； 对于选项C：函数的图像关于对称，所以， 因为为奇函数，所以，关于点对称， 所以函数的图像关于对称，所以， 所以，故选项C正确； 对于选项D：因为，所以令，得，即， 因为函数的图像关于对称，所以，即， 所以， 由，得，即， 所以关于对称，所以， 关于点对称，所以， 所以，即，所以函数周期为2， 所以由关于点对称得关于点对称， 所以，故选项D错误. 故选：C 5．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，， 根据指数函数、幂函数及对数函数的单调性可知： 在上，单调递减，值域为，即， 在上，单调递增，值域为，即， 在上，单调递减，值域为，即，所以. 故选：B 6．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则， 则， 即，所以，即 故选：B. 7．（多选）(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知函数，则（    ） A．当时， B．当时， C．当且时， D．当且时， 【答案】AC 【详解】对A：因为（），所以当时，，故A正确； 对B：因为当时，， 当时，，即在上单调递增，所以有，故B错误； 对C：当时，由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且， 由，所以，当时，成立，故C正确； 对D：因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以当且时，，故D错误. 故选：AC 8．（多选）(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知定义域是的函数不恒为0，满足，且则（   ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D． 【答案】ABD 【详解】令时，，A正确； 令时，，解得或， 若，令，得， 因为不恒为0，所以，B正确； 令，可得， 所以关于点对称，C不正确； 因为，所以， 令，可得，， ， ， 可以发现函数的周期为，且一个周期内 ， 因为， 所以，D正确. 故选：ABD 地 城 考点02 利用导数研究函数的性质 1．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故选：C 2．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 3．（多选）函数，则（   ） A． B．的单调递增区间为 C．最大值为 D．有两个零点 【答案】ABD 【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确； 对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确； 对于C，由上分析，当时，；当时，. 即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误； 对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且， 而当时，；当时，， 由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，y有，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A.令，得，故A错误. B.令，，得，解得， 令，，得，故B正确. 令，得， ∴， 令，得， ∴是以4为首项，4为公差的等差数列， ∴ ，故C，D都正确. 故选：BCD. 5．（多选）(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知函数是定义在上的函数的导函数.若函数，均为偶函数，则（   ） A．函数的图象关于点对称 B． C．函数的周期为4 D． 【答案】BCD 【详解】对A：∵函数是偶函数，， 即，则， 当时，有， ∴函数的图象关于点对称，故A错误； 对B：∵函数是定义在上的函数的导函数， ∴将两边同时求导得：， ∴，即，故B正确； 对C：∵函数是偶函数，， ∴，又，即， ∴，即， ， ∴函数的周期为4，故C正确； 对D：∵，故， 又，则， 则 ，故D正确. 故选：BCD. 地 城 考点03 函数的零点问题 1．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得在上有唯一解，即， 令，则， 则， 令，则， 则， 当时，的，开口向上，恒大于零，所以为递增函数，为递减函数， 因为，所以在上无解； 当时，必须成立，若，会出现蓝色图象的情况， 即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且）， 所以图象只能为红色，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得， 又， 所以的范围为. 故选：A. 2．函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令得 则的零点即为与交点的横坐标， 令得 则的零点即为与交点的横坐标， 画出的图象， 由图可知：从上到下的三条直线分别说明，，成立， 可得选项D、B、C可能成立， 故选：A 3．已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：为单调函数， 当时，单调递减; 故当时，也是单调递减，故 要确保在R上单调递减，则， 解得：， 所以满足在R上单调递减时，实数a的取值范围为 当时，， 又在上单调递减，， 所以， 即在上的值域为 令，则或3， 即或， 要使得有4个不同的实数解， 则， 解得： 综上，实数a的取值范围为：，即 故选：C. 4．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 5．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，由得：， 显然，是的一个零点， 再当时，有， 作出图象可得：当时，， 所以当时，在有两个零点； 再当时，由得：， 整理得，令，求导得， 令，得 当时，，所以在区间上递增， 当时，，所以在区间上递减， 作出图象： 所以由图可得：当时，在有两个零点； 又由于， 所以要使得有五个零点的参数， 故选： D. 地 城 考点04 根据恒成了和零点求参数的范围 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)设函数的定义域为.对于，定义集合.已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由对于任意的，都有 ， 这等价于函数在其定义域内为增函数. 由 ，所以函数的定义域为. 又，所以. 由，恒成立，得，. 因为 ， （当且仅当时取“”）. 所以. 故答案为： 2．(24-25高三上·浙江杭州·期末)设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 当时，，则在上单调递减， 所以，即； 要使得函数的值域为， 所以当时，，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是 . 【答案】3 【详解】设， 显然，集合A非空. 当时，显然， 以下设， 此时，. 易知，当且仅当对任意的，有， 即，故整数的最大值为3. 故答案为：3 4．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由条件得， 构造函数，对其求导得，令得， 于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 因为，，所以，，根据，得到， 分离参数得对恒成立， 只需 构造函数，，对其求导得， 令得，于是当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，于是，因此k的取值范围是 故答案为： 5．设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】方程有且仅有1个实数根， 即函数与直线的图象有且只有一个交点， 作出函数的图象，如图： 结合图象可得. 故答案为：. 地 城 考点5 利用导数证明不等式 1．已知函数． (1)当时，求的单调增区间； (2)证明：当时，． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增， 故的单调增区间为． （2）由，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 故， 设， 则，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，即， 所以，当时等号成立， 又，当时等号成立， 故，得证． 2．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知函数（其中）. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：当时，成立； (3)设，且函数有极大值点，求证：. 【详解】（1）当时，有，故，而，故. 从而函数的图象在处的切点坐标为，切线斜率为. 则切线方程为，即. （2）设，， 则， 所以，函数在上单调递减，故当时，，故原不等式得证. （3）由，得. 当，则对或均有， 所以在和上单调递增. 从而在上单调递增，不可能有极大值点，矛盾. 所以，此时. 从而根据的符号可知在和上单调递增， 在上单调递减. 所以的极大值点，同时，即， 从而 ， 因为， 由（2）知， 所以成立. 地 城 考点6 利用导数求参数范围 1．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知函数在定义域上有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值. 【详解】（1）由已知， 因为函数在定义域上有两个极值点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）得，， 即两个极值点为方程的两根， 则， 所以 代入得 ，其中， 则，得， 设， 则，当时，， 即在上单调递增，又， 所以. 2．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由题意可得当时，在上单调递增， 当时，，令解得， 若，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 若，当时，，单调递增，当时，，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递增，在单调递减. （2）由（1）可得若有极大值点，则，， 此时， 当时，；当时，，故为的极大值点， 故符合. 当时恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，只需即可， ， 令，则恒成立， 故在上单调递减，， 所以恒成立， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以的取值范围为. 3．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，当时，，求b的取值范围； (3)若，求a的取值范围. 【详解】（1）由得，则， 所以切线斜率，又，则切线方程为，即 （2）由，得， 当时，，所以 当时，转化为， 令，则， 因为，所以， 当时，，所以在递减， 当时，，所以在递增， 所以，得. 综上，. （3）设，则， 又，则， 即，解得，所以， 一方面，对任意，有，即 另一方面，若方程存在除a以外的其他解，则方程需无解. 求导得，由得或 ①当，时， ，在R上递增，方程有唯一解a，满足题意. ②当时，当时，，在区间递减； 当时，，在区间和上递增，此时极大值，所以方程有唯一解a，满足题意. ③当时，当时，，在区间递减； 当时，在区间和上递增， 此时极大值为，极小值为， （i）当时，则极小值，又时，， 所以存在，满足，且方程有解，不满足题意. （ii）当时，则极小值， 此时若方程有除a以外的其他解t，必有， 而极小值，且当时，， 所以无解，满足题意.综上， 4．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【详解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 5．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，，所以， 又，所以，即， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令（），则， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增， 但当时，，所以此时不满足题意； （ⅱ）当时，令解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以只需， 若，则显然成立； 若，令，则， 所以在上单调递减，又，所以； 综上所述，. 地 城 考点7 导数综合 1．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令， 则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ， 且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增， 所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 2．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以，解得或， 所以函数的不动点为和. （2）函数恒有两个相异的不动点，即方程有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根， 恒成立，即恒成立， 所以，解得， 故当时，函数恒有两个相异的不动点，则的取值范围为. （3）∵ ， 所以， 因为，所以， 由于对勾函数在单调递增， 所以， 所以.故的取值范围为. 3．(24-25高三上·浙江杭州·期末)若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 【详解】（1）显然直线切的图象于点， 直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”； 对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同， 所以函数的图象不存在“自公切线”. （2）由恒成立，且仅当时， 则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点， 令， 由 的图象是连续曲线，且， 因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点； 假设的图象存在“自公切线”，则存在且， 使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设， 切线，， 有相同截距，即，而， 则，即， 则有，即，令，， 即函数在上单调递增，，因此当时，， 即在上无解， 所以的图象不存在“自公切线”. （3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定， 又在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”， 则，又，则， 所以，且，从而存在， 使得，代入，可得，则，即是数列中的项； 反之，若是数列中的项，则存在，使得，即， 由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知， 令，则且， 即，可得，所以存在， 使得点与是函数的图象的一对“同切点”. 所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数导数 7大高频考点概览 考点01 函数的性质及其应用 考点02 利用导数研究函数的性质 考点03 函数的零点问题 考点04 根据恒成立额零点求参数范围 考点05 利用导数证明不等式 考点06 利用导数求参数范围 考点07 导数综合 地 城 考点01 函数的性质及其应用 1．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2．(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知函数是奇函数，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知函数，且若，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高三上·浙江丽水·期末)已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 5．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知函数，则（    ） A．当时， B．当时， C．当且时， D．当且时， 8．（多选）(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知定义域是的函数不恒为0，满足，且则（   ） A． B． C．是函数的一条对称轴 D． 地 城 考点02 利用导数研究函数的性质 1．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）函数，则（   ） A． B．的单调递增区间为 C．最大值为 D．有两个零点 4．（多选）(24-25高三上·浙江杭州·期末)已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，y有，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知函数是定义在上的函数的导函数.若函数，均为偶函数，则（   ） A．函数的图象关于点对称 B． C．函数的周期为4 D． 地 城 考点03 函数的零点问题 1．(24-25高三上·浙江金华十校·期末)已知函数（且）在上有唯一零点，则的范围为（   ） A． B． C． D． 2．函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数且在R上为单调函数.若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 5．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知函数，，若函数有5个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 根据恒成了和零点求参数的范围 1．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)设函数的定义域为.对于，定义集合.已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是 . 2．(24-25高三上·浙江杭州·期末)设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 . 3．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是 . 4．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 5．设函数，若方程有且仅有1个实数根，则实数的取值范围是 ． 地 城 考点5 利用导数证明不等式 1．已知函数． (1)当时，求的单调增区间； (2)证明：当时，． 2．(24-25高三上·浙江强基联盟·期末)已知函数（其中）. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)证明：当时，成立； (3)设，且函数有极大值点，求证：. 地 城 考点6 利用导数求参数范围 1．(24-25高三上·浙江绍兴第一中学·期末)已知函数在定义域上有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值. 2．(24-25高三上·浙江绍兴上虞区·期末)已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有极大值点，且时恒成立，求的取值范围. 3．(24-25高三上·浙江嘉兴·期末)已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)若，当时，，求b的取值范围； (3)若，求a的取值范围. 4．已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 5．(24-25高三上·浙江慈溪·期末)已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 地 城 考点7 导数综合 1．(24-25高三上·浙江杭州学军中学·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 2．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数. (1)当时，求函数的不动点； (2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围. 3．(24-25高三上·浙江杭州·期末)若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. (1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； (2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； (3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $