专题07平面向量（必备知识+7大考点+专练，复习讲义）（江苏专用）2026年春季高考数学

专题07 平面向量 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一：平面向量的概念与表示…………………………………………………………………………………….. 5 考点二：向量的加减运算…………………………………………………………………………………………….. 7 考点三：相等向量与共线向量…………………………………………………………………………………………… 8 考点四： 平面向量的数量积定义（难点）………………………………………………………………………….. 11 考点五：平面向量的数量积运算（常考点）………………………………………………………………………………………..。.14 实战精练与提升 17 考情解读 一、考试要求 了解向量实际背景，理解平面向量的基本概念、几何表示及向量相等的含义；掌握向量的加、减、数乘运算，深刻理解向量数量积的几何意义，明晰两个向量共线的含义；理解向量线性运算的性质及其几何意义；了解平面向量基本定理及其意义，并会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 平面向量线性运算 5年3考 向量的加、减、数乘运算 预测2026年在选择题中考查向量的加、减、数乘运算 平面向量数量积运算 5年4考 平面向量数量积运算 测2026年在选择题中考查平面向量数量积运算 向量的方法解决简单的几何问题 5年1考 向量方法解决简单的问题 预测2026年在选择中考查向量方法解决简单的问题 知识梳理 知识点1、平面向量有关概念 1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度或模. 2．向量的表示:向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模..向量几何表示(有向线段);向量符号表示(箭头+字母);向量坐标表示(实数对). 3．零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为.当有向线段的起点与终点重合时,. 4．单位向量:长度为1的向量叫做单位向量.(在坐标系中)与共线的单位向量为:(即). 5．共线向量:方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量.,规定. 6．相等向量:长度相等且方向相同的向量称为相等向量. 7．相反向量:与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.(的相反向量仍是0)若为相反向量,则. 知识点2、平面向量的线性运算(加、减运算,数乘运算) 1．向量加法运算及其几何意义: (1)三角形法则:(首尾相接、首尾连).规定:. (2)平行四边形法则:以向量为邻边作平行四边形,则. 2．向量减法运算及其几何意义: (1)三角形法则:(共起点、连终点,指向被减向量终点). (2)平行四边形法则:以向量为邻边作平行四边形,则. 3．向量数乘运算及其几何意义: (1)规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作. ① ②当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,. 【中的:对起到同向或反向、伸长或缩短的作用.】 知识点3、平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使. ①不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. ②向量的夹角：已知非零向量,作,则叫做向量与的夹角.显然,当时,与同向;当时,与反向;当时,. 2．平面向量的坐标运算:设,则 (1), (2), (3), (4)设点,则, 3．共线定理的坐标表示:若,则. 知识点4、平面向量数量积的有关概念 1.已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3.平面向量数量积的几何意义 4.设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  知识点5、 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 知识点6、 平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 4.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 知识点7、 平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 1.向量的夹角 考点精讲 考点一 平面向量的概念与表示 解题策略 解决向量的概念问题要注意两点 一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向； 二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 例1下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 例1以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1】（多选）下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 【变式训练1】（多选）下列四个命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若四边形中有，则四边形为平行四边形 C．若，，，，则，可以作为平面向量的一组基 D．若向量，，则向量在向量上的投影数量为 考点二 向量的加减运算 解题策略 向量的加减运算 1. 在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； 向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量. 2. 三角形法则与平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 例1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 例2化简等于(　　) A. B.0 C. D. 【变式训练1】已知ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 考点三 相等向量与共线向量 解题策略 共线向量解题技巧 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1. 例1如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 例2设，，，为平面内的四点，且，，. (1)若，求点的坐标； (2)设向量，若与平行，求实数的值. 【变式训练1】如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【变式训练2】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 考点四 向量的数乘运算 解题策略 (1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 例1已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示） 例2如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】已知向量与的夹角为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 考点四 平面向量数量积的定义 解题策略 平面向量数量积的定义 1.已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2.平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 例1已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例2已知边长为4的菱形的一个内角为，则 ． 例3已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【变式训练1】如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 考点五 平面向量数量积的运算 解题策略 平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 例1已知向量与的夹角为，，，则（   ） A．1 B． C． D． 例2已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 例3已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练1】已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知，则 . 【变式训练3】已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 实战训练 1、在平行四边形中，为上的点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 2、已知向量，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3、已知，，，，若与共线，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．或1 4、已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 5、已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 6、若，，下列正确的是（ ） A． B． C．方向上的投影向量是 D． 7、在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 8、已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C．37 D． 9、若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（    ） A． B． C． D． 10、已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平面向量 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一：平面向量的概念与表示…………………………………………………………………………………….. 5 考点二：向量的加减运算…………………………………………………………………………………………….. 7 考点三：相等向量与共线向量…………………………………………………………………………………………… 9 考点四： 平面向量的数量积定义（难点）………………………………………………………………………….. 13 考点五：平面向量的数量积运算（常考点）………………………………………………………………………………………..。.18 实战精练与提升 21 考情解读 一、考试要求 了解向量实际背景，理解平面向量的基本概念、几何表示及向量相等的含义；掌握向量的加、减、数乘运算，深刻理解向量数量积的几何意义，明晰两个向量共线的含义；理解向量线性运算的性质及其几何意义；了解平面向量基本定理及其意义，并会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 平面向量线性运算 5年3考 向量的加、减、数乘运算 预测2026年在选择题中考查向量的加、减、数乘运算 平面向量数量积运算 5年4考 平面向量数量积运算 测2026年在选择题中考查平面向量数量积运算 向量的方法解决简单的几何问题 5年1考 向量方法解决简单的问题 预测2026年在选择中考查向量方法解决简单的问题 知识梳理 知识点1、平面向量有关概念 1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度或模. 2．向量的表示:向量用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模..向量几何表示(有向线段);向量符号表示(箭头+字母);向量坐标表示(实数对). 3．零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为.当有向线段的起点与终点重合时,. 4．单位向量:长度为1的向量叫做单位向量.(在坐标系中)与共线的单位向量为:(即). 5．共线向量:方向相同或相反的非零向量叫做共线向量或平行向量.,规定. 6．相等向量:长度相等且方向相同的向量称为相等向量. 7．相反向量:与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.(的相反向量仍是0)若为相反向量,则. 知识点2、平面向量的线性运算(加、减运算,数乘运算) 1．向量加法运算及其几何意义: (1)三角形法则:(首尾相接、首尾连).规定:. (2)平行四边形法则:以向量为邻边作平行四边形,则. 2．向量减法运算及其几何意义: (1)三角形法则:(共起点、连终点,指向被减向量终点). (2)平行四边形法则:以向量为邻边作平行四边形,则. 3．向量数乘运算及其几何意义: (1)规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作. ① ②当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,. 【中的:对起到同向或反向、伸长或缩短的作用.】 知识点3、平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使. ①不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. ②向量的夹角：已知非零向量,作,则叫做向量与的夹角.显然,当时,与同向;当时,与反向;当时,. 2．平面向量的坐标运算:设,则 (1), (2), (3), (4)设点,则, 3．共线定理的坐标表示:若,则. 知识点4、平面向量数量积的有关概念 1.已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3.平面向量数量积的几何意义 4.设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  知识点5、 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 知识点6、 平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 4.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 知识点7、 平面几何中的向量方法 (1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 1.向量的夹角 考点精讲 考点一 平面向量的概念与表示 解题策略 解决向量的概念问题要注意两点 一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向； 二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 例1下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【分析】根据零向量的定义可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用向量的定义可判断D选项. 【详解】对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确； 对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误； 对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误； 对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误． 故选：A． 例1以下命题中正确的是（   ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D. 【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A不符合题意； 对于B，当时，则不一定成立，故B不符合题意； 对于C，，两边平方可得，则与的夹角为0，则，故C正确； 对于D，若，则与不一定相等，例如，故D不符合题意. 故选：C． 【变式训练1】（多选）下列选项中，正确的是（   ） A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B．若向量，则 C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与共线，则，，三点共线 【答案】BD 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量，则根据向量的运算法则可得，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断选项D. 【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误； 若向量，则，所以，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误； 若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确. 故选：BD. 【变式训练1】（多选）下列四个命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若四边形中有，则四边形为平行四边形 C．若，，，，则，可以作为平面向量的一组基 D．若向量，，则向量在向量上的投影数量为 【答案】AC 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，由相等向量的概念可判断B；不共线的两个向量可作为一组基地，只需判断，是否共线即可；对于D，向量在向量上的投影数量为. 【详解】对于选项A，，则与不能比较大小，故A错误； 对于选项B，四边形中有，由平行四边形判定定理可得，四边形为平行四边形，故B正确； 对于选项C，，，则，即， 则，不能作为平面向量的一组基，故C错误； 对于选项D，向量，，则，， 故向量在向量上的投影数量为，故D正确. 故选：AC. 考点二 向量的加减运算 解题策略 向量的加减运算 1. 在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； 向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量. 2. 三角形法则与平行四边形法则的适用条件 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 例1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】如图，连接OM， 在△OAC中，M为AC的中点，所以＝2， 在△OBD中，M为BD的中点，所以＝2，所以＝4. 例2化简等于(　　) A. B.0 C. D. 【答案】B 【解析】－()＝＝0. 【变式训练1】已知ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，由向量的加法法则可得. 【详解】. 故选：C. 【变式训练1】在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件确定点的位置然后利用向量的线性运算用表示即可. 【详解】因为，所以为线段的三等分点，如图所示， . 故选：A 考点三 相等向量与共线向量 解题策略 共线向量解题技巧 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1. 例1如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 例2设，，，为平面内的四点，且，，. (1)若，求点的坐标； (2)设向量，若与平行，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解. 【详解】（1）设点，则,. 因为， 所以，即得. 所以点的坐标为. （2）由题意得， 所以，. 因为，所以， 解得. 【变式训练1】如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 【答案】(1) (2) (3)，，，； (4) 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 【变式训练2】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 考点四 向量的数乘运算 解题策略 (1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 例1已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示） 【答案】 【分析】根据向量的加减、数乘法则进行计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 例2如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【详解】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，所以． 故选：A． 【变式训练1】已知向量与的夹角为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，且，可得， 则， 所以. 故选：B. 【变式训练2】若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影公式计算即可得出结果． 【详解】根据题意， 则在方向上的投影向量为. 故选：A 【变式训练3】在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】 ， 其中， 故． 故选：B． 考点四 平面向量数量积的定义 解题策略 平面向量数量积的定义 1.已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 2.平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 例1已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【详解】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为． 故选：C. 例2已知边长为4的菱形的一个内角为，则 ． 【答案】或 【分析】由平面向量数量积的定义即可求解． 【详解】由题可知，或， 若，则， 若，则， 故答案为：或． 例3已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据向量坐标求得数量积以及模长，利用投影向量的计算，可得答案. 【详解】由，则，， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 【变式训练1】如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及余弦定理得，再由投影向量的求法求在上的投影向量. 【详解】由题设，，则，， 故， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 【变式训练2】已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】通过平方，求得，结合余弦定理求得，再结合面积公式求得点D到的距离，进而可求解. 【详解】已知，， 对平方得. 因为，， 设，，则， 所以，即，解得，有. 在中，由余弦定理有，可得， 设点到的距离为，有. 已知，设点D到的距离为， 由，解得， 则的最小值为. 故选：C 考点五 平面向量数量积的运算 解题策略 平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 例1已知向量与的夹角为，，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解. 【详解】因为向量与的夹角为，，，则， 可得，所以. 故选：D. 例2已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可. 【详解】由题意：，. 因为. 又， 当时取“”. 又，所以. 所以. 故选：C 例3已知，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法、数乘向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， 因为， 所以，解得. 故选：. 【变式训练1】已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出向量的数量积，然后求出向量的模，最后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案. 【详解】因为是两个垂直的单位向量，所以. 因为， 所以. 而，. 所以. 故选：D. 【变式训练2】已知，则 . 【答案】 【分析】利用数量积的运算律求得，然后利用数量积的运算律求解模即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式训练3】已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，向量，所以 向量在向量上的投影向量的模为， 故选：B. 【变式训练4】平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需求出，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意，，与的夹角为， 所以， 在方向上的投影向量为. 故选：A. 实战训练 1、在平行四边形中，为上的点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算得到. 【详解】因为，故， 所以. 故选：C. 2、已知向量，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求，即可得模长. 【详解】因为向量，则， 所以. 故选：D. 3、已知，，，，若与共线，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．或1 【答案】D 【知识点】用坐标表示平面向量、由向量共线（平行）求参数 【分析】首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，，， 所以，， 又与共线，故，解得或． 故选：D 4、已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【答案】B 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由题可求，再求值即可. 【详解】， ，， 所以. 故选：B. 5、已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 故选：A. 6、若，，下列正确的是（ ） A． B． C．方向上的投影向量是 D． 【答案】C 【知识点】由坐标判断向量是否共线、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】根据向量平行的坐标表示判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B、D，根据投影向量的定义判断C. 【详解】由已知，， 所以，， 因为，所以不平行，故A错误； 因为，所以不垂直，故B错误； 因为方向上的投影向量为，故C正确； 因为，所以不垂直，故D错误. 故选：C. 7、在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 8、已知平面向量，，且，则（   ） A．5 B． C．37 D． 【答案】B 【知识点】坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标表示及模长公式即可求解. 【详解】， 因为， 可得：，即，所以， 所以， 故选：B 9、若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量垂直、数量积的运算可得答案. 【详解】因为 ，所以， 即， 可得，因为，所以. 故选：C. 10、已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（    ） A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得 C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得 【答案】C 【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D. 【详解】因为向量，，则，， 对于A，当且仅当，即， 即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误； 对于B，当且仅当， 即，即， 当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得， 当时，此时，由此可知存在实数对，使得， 当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误； 对于C，当且仅当，解得，故C正确； 对于D，， 即，进而可得 故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误. 故选：C. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $