专题05 三角函数图像与性质（必备知识+10大考点+专练，复习讲义）（江苏专用）2026年春季高考数学

专题05 三角函数图像与性质 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一：任意角 5 考点二：弧度制 7 考点三：扇形的弧长与面积 9 考点四：三角函数的概念 10 考点五：三角函数定义域与值域 12 考点六：三角函数的周期性 14 考点七： 三角函数的单调性（重点）…………………………………………………………………………………………………………..16 考点八： 三角函数的奇偶性……………………………………………………………………………………………………………………..18 考点九： 三角函数的对称性（难点）……………………………………………………………………………………………………………20 考点十： 三角函数图像与变换（常考点）………………………………………………………………………………………………..22 实战精练与提升 24 考情解读 一、考试要求 掌握任意角概念，能熟练进行弧度制与角度制互化。理解三角函数定义，具备绘制三角函数图象的能力。了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性及最值等基本性质，重点掌握正弦函数、余弦函数在对应区间，以及正切函数在特定区间的性质。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 概念与弧度制 5年2考 行弧度制与角度制互化 预测2026年在选择题中考查集合的概念与运算 三角函数基本性质 5年4考 周期性、单调性、奇偶性及最大（小）值 预测2026年在选择题中考查三角函数的性质 三角函数图象 5年3考 三角函数图象变换 预测2026年在选择题中考查图像变换 知识梳理 知识点1、任意角 1.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 知识点2、角度与弧度的换算 ；；. 知识点3、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，为圆心角，则扇形的弧长公式为，；扇形的面积公式为，. 知识点4、三角函数及其定义域 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，. 知识点4、诱导公式一 ，，，其中，即终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点5、同角三角函数的基本关系 （1）； （2）. 知识点6、诱导公式 诱导公式一 ① ② ③其中.  诱导公式二：；；. 诱导公式三：；；. 诱导公式四：；；. 诱导公式五：；. 诱导公式六：；. 知识点7、三角函数的单调性 （1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”. （2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数. （3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 知识点8、.三角函数的奇偶性 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则. 知识点9、三角函数的周期性 求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解. 知识点10、三角函数的对称性 函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行. 知识点11、三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 考点精讲 考点一 ：任意角 解题策略 终边相同角与象限角 1.判断两个角终边是否相同的方法：(1)计算， (2)判断是否等于(或)的整数倍；若是，则终边相同；若否则终边不相同。 2.与角终边相同的角(连同)，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 3确定角的象限的方法：先求出在内与终边相同的角，则的象限就是的象限。 例1集合，，，则集合中的元素个数为( ) A． B． C． D． 例2所在的象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限( ) A．一 B．二 C．三 D．四 【变式训练1】已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是( ) A．或 B．或 C． D． 【变式训练2】如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是( ) A． B． C． D． 【变式训练3】设集合，集合，则与的关系为( ) A． B． C． D． 【变式训练4】若是钝角，则是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考点二： 弧度制 解题策略 角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad；(2)1 rad＝. 例1扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于( ) 例2某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是( ) A． B． C． D． 【变式训练1】)已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为( ) A． B． C． D． 【变式训练2】如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为( ) A． B． C． D． 【变式训练3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( )      A． B． C． D． 考点三： 扇形的弧长与面积 解题策略 扇形的弧长与面积 1.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ 2.相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝|α|r2. 例1若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（    ）. A．4 B．8 C．12 D．16 例2已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为( ) A． B． C． D． 【变式训练2】机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是( ) A． B． C． D． 【变式训练3】已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 考点四： 三角函数概念 解题策略 三角函数概念 1设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么： sin α＝. cos α＝. tan α＝(x≠0). 2注意定义中的关系：. 例1已知角终边上一点，若，则实数的值为( ) A．1 B．2 C．±1 D． 例2若，则（   ） A．1 B． C．3 D．5 【变式训练1】已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练2】已知角终边与单位圆交于点，则( ) A． B． C． D． 【变式训练3】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则( ) A． B． C． D． 考点五： 三角函数定义域与值域 解题策略 三角函数值域的两种常见模型 （1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 例1函数的定义域为 ． 例2求下列函数的值域： (1)； (2)． 【变式训练1】函数的定义域为 【变式训练2】函数是（   ） A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为 【变式训练3】在平面直角坐标系中，，与原点距离最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点六： 三角函数周期性 解题策略 三角函数周期的处理 （1）对形如或的周期为，对形如的周期为； （2）对形如或的周期为，对形如的周期为 例1下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】求函数的最小正周期． 考点七： 三角函数单调性 解题策略 三角函数单调性的处理 （1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”. （2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数. （3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 例1若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 例2已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】函数的单调增区间为 . 【变式训练2】若在上是减函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点八： 三角函数奇偶性 解题策略 三角函数奇偶性的处理 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则. 10.三角函数的周期性：求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解. 例1函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 例2函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知函数，若，则 ． 【变式训练2】已知常数，函数为偶函数，则 . 考点九： 三角函数对称性 解题策略 三角函数对称性的处理 函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行. 例1已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2函数在内恰有两个对称中心，，则 . 【变式训练1】若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为 . 【变式训练2】已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 考点十： 三角函数图像变换 解题策略 三角函数图像的三种基本变换 ①的图像向左或向右平移个单位得到的图像; ②图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,得到的图像; ③图像上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的倍,得到的图像. 例1要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 例2将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式训练2】要得到函数 的图象，只需将函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移π/6个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【变式训练3】已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4】若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 实战训练 1、下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 2、函数的初始相位为 . 3、要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 4、已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5、设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 6、如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 7、半径为的圆的边沿有一点，半径为的圆的边沿有一点，、两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，、两点再次重合小圆滚动的圈数为（       ） A． B． C． D． 8、已知角的终边在直线上，则的值为（       ） A． B． C．0 D． 9、若函数的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则（       ） A． B． C． D． 10、若函数图象的两个相邻最高点间的距离为，则在下列区间中单调递增的区间是（       ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数图像与性质 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一：任意角 5 考点二：弧度制 7 考点三：扇形的弧长与面积 9 考点四：三角函数的概念 10 考点五：三角函数定义域与值域 12 考点六：三角函数的周期性 14 考点七： 三角函数的单调性（重点）…………………………………………………………………………………………………………..16 考点八： 三角函数的奇偶性……………………………………………………………………………………………………………………..18 考点九： 三角函数的对称性（难点）……………………………………………………………………………………………………………20 考点十： 三角函数图像与变换（常考点）………………………………………………………………………………………………..22 实战精练与提升 25 考情解读 一、考试要求 掌握任意角概念，能熟练进行弧度制与角度制互化。理解三角函数定义，具备绘制三角函数图象的能力。了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性及最值等基本性质，重点掌握正弦函数、余弦函数在对应区间，以及正切函数在特定区间的性质。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 概念与弧度制 5年2考 行弧度制与角度制互化 预测2026年在选择题中考查集合的概念与运算 三角函数基本性质 5年4考 周期性、单调性、奇偶性及最大（小）值 预测2026年在选择题中考查三角函数的性质 三角函数图象 5年3考 三角函数图象变换 预测2026年在选择题中考查图像变换 知识梳理 知识点1、任意角 1.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 知识点2、角度与弧度的换算 ；；. 知识点3、扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，为圆心角，则扇形的弧长公式为，；扇形的面积公式为，. 知识点4、三角函数及其定义域 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数，；余弦函数，；正切函数，. 知识点4、诱导公式一 ，，，其中，即终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点5、同角三角函数的基本关系 （1）； （2）. 知识点6、诱导公式 诱导公式一 ① ② ③其中.  诱导公式二：；；. 诱导公式三：；；. 诱导公式四：；；. 诱导公式五：；. 诱导公式六：；. 知识点7、三角函数的单调性 （1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”. （2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数. （3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 知识点8、.三角函数的奇偶性 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则. 知识点9、三角函数的周期性 求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解. 知识点10、三角函数的对称性 函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行. 知识点11、三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1.对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 考点精讲 考点一 ：任意角 解题策略 终边相同角与象限角 1.判断两个角终边是否相同的方法：(1)计算， (2)判断是否等于(或)的整数倍；若是，则终边相同；若否则终边不相同。 2.与角终边相同的角(连同)，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 3确定角的象限的方法：先求出在内与终边相同的角，则的象限就是的象限。 例1集合，，，则集合中的元素个数为( ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解. 【解】解不等式，可得， 所以，整数的取值有、、， 又因为集合，， 则，即集合中的元素个数为.故选：B. 例2所在的象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C【分析】将，与的终边相同． 【解】，又终边在第三象限， 所在的象限为第三象限，故选：C． 例3若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限( ) A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B【分析】根据角的弧度判断该角的象限即可. 【解】因为，所以的终边位于第二象限.故选：B． 【变式训练1】已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是( ) A．或 B．或 C． D． 【答案】D【解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是． 【变式训练2】如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是( ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合. 【解】终边落在阴影部分的角为，， 即终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是．故选：B． 【变式训练3】设集合，集合，则与的关系为( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案. 【解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合； 由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合； 所以.故选：A. 【变式训练4】若是钝角，则是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A【分析】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限. 【解】若是钝角可得，因此；显然此时是第一象限角.故选：A 考点二： 弧度制 解题策略 角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad；(2)1 rad＝. 例1扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于( ) A．1 B． C．3 D．6 【答案】C【分析】根据扇形面积公式计算求解. 【解】设圆心角为，所以，所以3；故选：C. 例2某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是( ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据给定条件，求出大轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得 【解】由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为， 因此大轮每秒钟转的弧度数为，所以大轮每秒转过的弧长是. 【变式训练1】)已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据扇形的面积公式可以求出扇形的半径，从而求出扇形对应圆的面积. 【解】因为该扇形的圆心角为，面积为25， 根据，可得，所以.故选： 【变式训练2】如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解. 【解】因为圆的半径为1，劣弧的长为，所以， 则，所以阴影部分的面积为.故选：B. 【变式训练3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( )      A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可. 【解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则，所以.故选：D． 考点三： 扇形的弧长与面积 解题策略 扇形的弧长与面积 1.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ 2.相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝|α|r2. 例1若扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的弧长为（    ）. A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】直接利用扇形面积公式计算得到，再计算弧长得到答案. 【详解】， 故选： 例2已知扇形的半径是，圆心角为2，则该扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形的面积计算公式可得. 【详解】由扇形的面积公式，可得， 故选：A. 【变式训练1】已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为( ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据扇形的弧长公式求值. 【解】手表分针转动的弧度数为：，所以分针尖端所走过的弧长为：.故选：B 【变式训练2】机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是( ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据图形分析，利用扇形的圆心角、半径、弧长的关系，即可求解. 【解】由已知，．得，则莱洛三角形的周长是；故选：A． 【变式训练3】已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据周长确定扇形半径，再计算面积即可. 【详解】设扇形半径为，则，， 所以. 故选：D. 考点四： 三角函数概念 解题策略 三角函数概念 1设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么： sin α＝. cos α＝. tan α＝(x≠0). 2注意定义中的关系：. 例1已知角终边上一点，若，则实数的值为( ) A．1 B．2 C．±1 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【解】依题意，，解得.故选：A 例2若，则（   ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的关系结合已知条件可求得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B 【变式训练1】已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案. 【详解】将分子分母同除以可得： . 故选：D. 【变式训练2】已知角终边与单位圆交于点，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【解】由三角函数定义，横坐标即，纵坐标即，故有，．故选：D． 【变式训练3】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义计算即可. 【解】依题意，，且，解得，则，故选：D. 考点五： 三角函数定义域与值域 解题策略 三角函数值域的两种常见模型 （1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. （2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定. 例1函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，则， 化简可得，解得. 故答案为：. 例2求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又函数在区间上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以函数最小值为0，最大值为1；所以函数的值域为； （2）， 因为，所以当时，函数取最大值0； 当时，函数取得最小值-4， 所以函数的值域为． 【变式训练1】函数的定义域为 【答案】 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 【变式训练2】函数是（   ） A．奇函数，且最小值为 B．偶函数，且最小值为 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最小值为 【答案】B 【详解】由题意，函数的定义域为， 则， 故函数为偶函数， 因为， 且， 所以当时，函数的最小值为. 故选：B. 【变式训练3】在平面直角坐标系中，，与原点距离最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由已知得点到原点的距离为 因为，所以，即， 所以点到原点的距离的最大值为， 故选：. 考点六： 三角函数周期性 解题策略 三角函数周期的处理 （1）对形如或的周期为，对形如的周期为； （2）对形如或的周期为，对形如的周期为 例1下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，利用定义法， ，故A不符合题意． 对于选项B，作出函数的图象，由图可知， 函数的最小正周期为，故选项B符合题意． 对于选项C，根据公式法，的最小正周期为，故选项C不符合题意． 对于选项D，依题可得函数，其图象如图所示． 由图可知，函数不是周期函数，故选项D不符合题意． 故选：B 【变式训练1】函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由正弦函数的性质知，相邻两条对称轴之间的距离即为半个周期，而， 所以函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：A． 【变式训练2】求函数的最小正周期． 【答案】 【详解】化简函数， 由公式得：的最小正周期， 的图象为的图象位于轴下方部分向上进行翻折，故周期减半， ∴的最小正周期为． 考点七： 三角函数单调性 解题策略 三角函数单调性的处理 （1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”. （2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数. （3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 例1若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 例2已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得，结合，得的取值范围为． 故选：D． 【变式训练1】函数的单调增区间为 . 【答案】 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 【变式训练2】若在上是减函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】； 令，解得：， 的单调递减区间为， ，，， 的最大值为. 故选：B. 考点八： 三角函数奇偶性 解题策略 三角函数奇偶性的处理 对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则；若为偶函数，则.对于，若为奇函数，则. 10.三角函数的周期性：求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为或或（为常数，）的形式，再应用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解. 例1函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【详解】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 例2函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， ，即函数为奇函数，排除BC选项， 由可得或，解得， 故函数有无数个零点，排除A选项. 故选：D. 【变式训练1】已知函数，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 【变式训练2】已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 考点九： 三角函数对称性 解题策略 三角函数对称性的处理 函数（为常数，）图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线或点是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行. 例1已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 则，解得. 因为，所以时，取得最小值. 故选：D. 例2函数在内恰有两个对称中心，，则 . 【答案】2或 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 【变式训练1】若点是函数图像的一个对称中心，则的最小值为 . 【答案】 【详解】是图象的一个对称中心， ， ， ， ， 当时，， 故答案为： 【变式训练2】已知函数在上单调递增,且其图像关于点对称,则 ． 【答案】/0.5 【详解】在上单调递增 又关于点对称 , 当时,, 故答案为： 考点十： 三角函数图像变换 解题策略 三角函数图像的三种基本变换 ①的图像向左或向右平移个单位得到的图像; ②图像上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,得到的图像; ③图像上所有点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的倍,得到的图像. 例1要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据解析式确定的图象平移过程即可. 【详解】由，则可由的图象向右平移个单位得到. 故选：D 例2将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故图象向右平移个单位长度得到， 又， 令，，解得，， 当时，取得最小正值，最小正值为. 故选：A 【变式训练1】要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用三角函数图象变换判断即可. 【详解】函数的图象可由数的图象向右平移个单位长度而得， 所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：C 【变式训练2】要得到函数 的图象，只需将函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 C．向左平移π/6个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】A 【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需由图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度， 故选：A 【变式训练3】已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到 ， 又是奇函数，所以， 得，，当时，. 故选：D. 【变式训练4】若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位得 ， 由该函数为奇函数可知， 即，所以的最小正值为. 故选：A 实战训练 1、下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为， 所以函数为奇函数，故A不符题意； 对于B，函数的最小正周期， 因为， 所以函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，因为， 所以函数为奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的最小正周期，故D不符题意. 故选：B. 2、函数的初始相位为 . 【答案】 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 3、要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位 C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位 【答案】B 【详解】要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平行移动个单位, 故选：B 4、已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为，所以，因为，所以. 正弦函数在一个周期内，要满足上式，则， 所以，所以的取值范围是. 故选：D 5、设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，则， 因为，所以 所以 易知的最小值为. 故选：B 6、如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，过点作轴与点， 在直角中，， 所以， 因为，所以，可得， 由题意， 所以点的坐标次一个循环，即周期为， 又因为，所以. 故选：B. 7、半径为的圆的边沿有一点，半径为的圆的边沿有一点，、两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，、两点再次重合小圆滚动的圈数为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设、两点再次重合小圆滚动的圈数为，则，其中、， 所以，，则当时，. 故、两点再次重合小圆滚动的圈数为. 故选：D. 8、已知角的终边在直线上，则的值为（       ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【解析】由题知： 设角的终边上一点，则. 当时，，，， . 9、若函数的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正切型函数的性质可知，函数的最小正周期为， 因此，. 故选：B. 10、若函数图象的两个相邻最高点间的距离为，则在下列区间中单调递增的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为图象的两个相邻最高点间的距离为， 所以，解得，. ，解得，. 当，. 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $