专题01 集合与常用逻辑用语、复数（热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 集合与常用逻辑用语、复数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1、集合与复数：作为近三年高考高频考点，命题形式以选择题为主，呈现“内容聚焦、频率稳定、题型固定、难度适中”的特点。核心考查方向为：集合间的交集、并集、补集运算（常结合一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式为载体），但也要注意集合创新题型的出现；复数的基本概念（如实部、虚部、共轭复数、模）及四则运算． 2、常用逻辑用语：近三年未出现单独命题，偶尔以“隐含条件”形式融入其他考点题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题以及与函数、方程、不等式等其他章节知识的跨界结合． 预测2026年：集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题以及其他章节知识与充分必要条件相结合． 热点题型： 题型01 集合之间的关系及运算 题型02 集合的子集问题 题型03 集合的新定义问题 题型04 简单逻辑用语及充要条件 题型05 代数形式下的复数运算 题型01 集合之间的关系及运算 解｜题｜策｜略 分式不等式要注意分母不为0，对数不等式要注意真数大于0 【精选例题】 【例1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例5】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型02 集合中的子集问题 解｜题｜策｜略 若集合中有个元素，则子集的个数为个，真子集的个数为个 【精选例题】 【例1】已知集合， ，则的子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【例2】已知集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【例3】设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【例4】满足⫋的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【变式训练】 1.设集合，，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 2.已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 3.满足的集合的个数是 ． 题型03 集合的新定义问题 【精选例题】 【例1】定义集合运算⊕，A，，，表示集合A中元素的个数，则以下说法不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则的值可能为4 C． D． 【例2】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（    ） A．15 B．35 C．40 D．45 【例3】若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【例4】给定整数，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个n元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（   ） A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集 C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集 【例5】（多选题）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【例6】已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”. (1)试判断，是否为的“好集合”，并说明理由； (2)为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”； (3)若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值. 【例7】在一个圆周上依次写出（为奇数）个正实数，相邻两个数的乘积构成集合，且. (1)若，求集合； (2)当时， （i）求出满足条件的一个集合； （ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合都是无理数. 【例8】对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． (1)判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； (2)求证：集合一定不是“2-强可分集合”； (3)若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 【变式训练】 1．整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 2．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 3．设集合中元素均为正整数，且至少有两个元素，若满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则关于下面两个命题，说法正确的是（   ） 命题：若S有3个元素，则有4个元素． 命题：若有4个元素，则有7个元素． A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 4．（多选题）设集合是实数集的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得，称实数为集合的聚点，则在下列集合中，以1为聚点的集合有（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 6．已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数， . 7．对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质. (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求的值并证明：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 8．设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. (1)若集合具有性质，写出集合； (2)若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； (3)若集合具有性质，求的最大值. 9．已知是元数组集合，是的非空子集.对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数. (1)当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度； (2)当时，设是的子集.且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由： (3)设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明： 题型04 简单逻辑用语及充要条件 解｜题｜策｜略 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. ⑤若问命题成立的一个充分不必要条件为__________，要改为________是命题成立的充分不必要条件 【精选例题】 【例1】命题“，使得”的否定形式是（    ） A．, 使得 B．, 使得 C．，使得 D．，使得 【例2】已知命题：指数函数是减函数，命题，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4】“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【例5】“”是直线：与直线：平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例6】《齐民要术》是中国杰出农学家贾思嗯（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例7】集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例8】已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例9】若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 1．“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（    ） A． B． C． D． 3.“”是“满足对任意都有成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.下列四个选项中，使成立的充分不必要的条件是（   ） A． B． C． D． 5.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.“函数的图象关于对称”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10.已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 代数形式下复数的基本运算 解｜题｜策｜略 ①复数包含实数和虚数，形如，实部:，虚部： 当时为实数，当时为虚数，虚数不能比较大小（注意不能说复数不能比较大小，因为复数包含实数） ②纯虚数：当时，为纯虚数 ③复数的模：，复数模的性质：， ④共轭复数：若，则的共轭复数为 ⑤复平面：，表示点到原点的距离 【精选例题】 【例1】已知复数满足，则复数在复平面内的点到原点的距离为_______. 【例2】若复数满足，则的最大值为_________ 【例3】若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选题）设、为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则在复平面对应的点在一条直线上 【例5】（多选题）已知复数，复数所对应的向量分别为，其中O为坐标原点，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例6】若，其中是虚数单位，则 ． 【变式训练】 1．已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（    ） A． B． C．的周长 D．的面积 2.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （    ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则 3.若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．+1 4．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 5．为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为 . 6．（多选题）已知复数，，则下列命题成立的有（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 7．（多选题）设复数（且），则下列结论正确的是（    ） A．可能是实数 B．恒成立 C．若，则 D．若，则 8．（多选题）已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则为正三角形 9．（多选题）设复数，满足，，则下列结论中正确的是（    ） A．的共轭复数为 B． C．若是方程的根，则 D． 10．已知方程的两个虚根、满足，则m的值是 . （建议用时：60分钟） 1．(25-26高三上·山东济南第一中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 4．(25-26高三上·河北沧州沧县中学·期中)已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·上海行知中学·期中)已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(25-26高三上·辽宁实验中学·期中)已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·云南昭通镇雄县三校·月考)已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 8．(25-26高三上·吉林长春德惠实验中学等校·)设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．(25-26高三上·新疆部分学校·)已知p：，；q：，，则（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 10．若复数与都是纯虚数，则是（   ） A． B． C． D． 11．复数的虚部为（   ） A．1 B．I C．－1 D． 12．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 13．(25-26高三上·河北部分重点中学·)若复数满足，则（   ） A． B． C． D．5 二、多选题 14．设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 15．(25-26高三上·江苏常州六校教研联合体·调研)已知为虚数单位，以下选项不正确的是（ ） A．若复数满足，则的虚部为 B．，，，则 C．是的充分不必要条件 D．若复数满足，则的最大值为6 16．(25-26高三上·河南商丘青桐鸣大联考·月考)已知集合，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若集合N中仅含有2个整数元素，则 D．若，则 17．(25-26高三上·海南定安县定安中学·月考)以下四个命题中，是真命题的是（    ） A．， B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 18．若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 19．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 20．(25-26高三上·安徽华师联盟·期中)设，均为非零复数，下列命题中正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 21．(25-26高三上·宁夏灵武第一中学·期中)已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（    ） A． B．的共轭复数是 C．是纯虚数 D．复数在复平面内的对应点位于第一象限 22．(25-26高三上·江苏常州高级中学·)已知复数，则（    ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．z是方程的一个复数根 三、填空题 23．已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为 . 四、解答题 24．已知集合具有性质：对任意与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由. (2)具有性质，当时，求集合. (3)记，求. 25．记集合的元素个数为．例如：若，则．定义集合的相关数如下：且，使 (1)对集合，分别判断5、6是否相关数，并说明理由； (2)若为集合的相关数，求证：； (3)求集合（整数）的相关数的最小值（用表示）． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语、复数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1、集合与复数：作为近三年高考高频考点，命题形式以选择题为主，呈现“内容聚焦、频率稳定、题型固定、难度适中”的特点。核心考查方向为：集合间的交集、并集、补集运算（常结合一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式为载体），但也要注意集合创新题型的出现；复数的基本概念（如实部、虚部、共轭复数、模）及四则运算． 2、常用逻辑用语：近三年未出现单独命题，偶尔以“隐含条件”形式融入其他考点题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数、对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题以及与函数、方程、不等式等其他章节知识的跨界结合． 预测2026年：集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题以及其他章节知识与充分必要条件相结合． 热点题型： 题型01 集合之间的关系及运算 题型02 集合的子集问题 题型03 集合的新定义问题 题型04 简单逻辑用语及充要条件 题型05 代数形式下的复数运算 题型01 集合之间的关系及运算 解｜题｜策｜略 分式不等式要注意分母不为0，对数不等式要注意真数大于0 【精选例题】 【例1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】，，，.故选：C 【例2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，，所以是的真子集，故， 所以，故A错误， B正确；则，故D错误；因为，所以，故C错误.故选：B. 【例3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】，即，所以，即，由，得，所以，所以.故选：C. 【例4】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由题意，或，所以.故选：D. 【例5】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】函数在上单调递增，时，，所以，函数在R上单调递减，当时，，所以，则，得.故选：A 【例6】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由，得，于是或，解得，即，由，得，解得，即，，所以.故选：C 【变式训练】 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为集合，所以，又，所以.故选：C 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，，所以.故选：B. 3.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】由，得，则；由，得，则，所以.故选：B 4.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由可得，解得或；由.所以.故选：D. 题型02 集合中的子集问题 解｜题｜策｜略 若集合中有个元素，则子集的个数为个，真子集的个数为个 【精选例题】 【例1】已知集合， ，则的子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】D【详解】，由，解得，即，即，共有4个元素，则其子集个数为个.故选：D. 【例2】已知集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A【详解】将代入可得，，解得.又，所以可取.所以，，共有3个元素.所以，的子集有，，，，，，，，共个.故选：A. 【例3】设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D【详解】由得，解得，又，，由集合中共有个元素，故的真子集个数为.故选：D. 【例4】满足⫋的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B【详解】因为集合满足⫋，则集合中必有，集合还可以有元素，满足条件的集合有，共7个.故选：B 【跟踪训练】 1.设集合，，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】B【详解】依题意，，，则，所以的真子集的个数为．故选：B 2.已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【答案】A【详解】由不等式，解得，所以集合，所以集合的非空真子集的个数为.故选：A. 3.满足的集合的个数是 ． 【答案】【详解】满足的集合有：、、、、、、、，所以，满足条件的集合的个数为.故答案为：. 题型03 集合的新定义问题 【精选例题】 【例1】定义集合运算⊕，A，，，表示集合A中元素的个数，则以下说法不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则的值可能为4 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合B只有一个元素，分析集合A只有2个元素，设，可得，根据条件，分析计算，可求得集合A，即可判断A的正误；设，根据条件，计算可得的最大值为8，当有部分元素重合时，举例分析，可得，即可判断B的正误；根据所给定义，分析可得，，即可判断C的正误；举例时，计算可得，，即可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，只有一个元素，则集合A中只有2个元素，所以设，则，因为，不妨设，则，所以， 所以，解得，同理，若，则，所以，解得，综上，故A正确；选项B：由题意，设，所以中最多有4个元素，（c，d，e，f均不相同时）， 此时，当与没有共同元素时， ，当与有部分重复元素时，，例如时，，， 此时，则，所以的值可能为4，故B正确；选项C：，当A与B没有交集时取等号，因为a有种取法，b有种取法，所以，因为， 所以，故C正确；选项D：当时，， ，所以，则，，所以，此时，故D错误.故选：D 【例2】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（    ） A．15 B．35 C．40 D．45 【答案】D 【分析】设中，有个，个，则可得，再分、及进行讨论即可得. 【详解】设中，有个，个，则有个， 则需，解得， 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 则当时，，共有种情况； 故共有种情况， 即集合中满足条件“”的元素个数为. 故选：D. 【例3】若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D错误. 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 【例4】给定整数，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个n元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（   ） A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集 C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集 【答案】C 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【详解】由题意知集合中任意两个不同数的差的绝对值的最小值若为1，则该集合是规范数集. 集合，当时，， 即的相伴数集中最小元素小于1，故不是规范数集； 集合， 因为， 即的相伴数集中最小元素为1，所以是规范数集； 综上：不是规范数集，是规范数集. 故选：C. 【例5】（多选题）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【答案】BCD 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可. 【详解】对于A，因为⊕，所以,，故，故A错误； 对于B，，且⊕，则,， 即与是相同的，所以，故B正确； 对于C，，且⊕，则,， 故，且中元素不能出现在中，故，故C正确； 对于D，⊕,， 其中，， 故⊕，,， 而⊕,，故⊕⊕，故D正确． 故选：BCD． 【例6】已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”. (1)试判断，是否为的“好集合”，并说明理由； (2)为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”； (3)若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值. 【答案】(1)不是“好集合”， 是“好集合”；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）根据好集合的定义判断即可； （2）先就、分类讨论，后者再就不同的取值分类讨论后可得是的“好集合”； （3）先由特例得，再利用反证法证明任意个元素的子集必定为 “好集合”，从而可得的最小值. 【详解】（1）由题设有， 对于，任意两个元素的差的绝对值的最大值为， 故不存在两个元素，，满足，故不是“好集合”. 对于，因为，而， 故存在元素，满足，故是“好集合”. （2），中所有的偶数为， 对于，不妨设， 则，故， 若，则为“好集合”. 若，则， 若，则，此时， 若，则；若，则， 若，则或， 若，则， 若，则；若，则， 若，则， 若，则，若，则， 若，则， 若，则；若，则， 综上，是的“好集合”. （3）我们首先证明：， 取，此时中元素的差的绝对值的最大值为， 即此集合中没有相异元素差的绝对值大于，不合题设，故； 下证：当时，任意个元素的子集必定为 “好集合”. 假设存在一个个元素的子集，它不是好集合， 设该集合为，且， 由平移对称性，不妨设，则， 因为，故存在即非空， 取为集合中的最小元素， 若，则， 故中无元素， 此时中元素最多为：，这些元素共个， 而中元素个数恰为，故， 但，与假设矛盾，故 若，则， 故中无元素， 此时中元素最多为：，这些元素共个， 而中元素个数恰为，矛盾，故， 同理可证，这与非空矛盾， 故当时，任意个元素的子集必定为 “好集合”. 【例7】在一个圆周上依次写出（为奇数）个正实数，相邻两个数的乘积构成集合，且. (1)若，求集合； (2)当时， （i）求出满足条件的一个集合； （ⅱ）求证：对于满足条件的任何集合都是无理数. 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据题中条件可设且满足，解出，代入求值即可； （2）（i）令，记，则，继而求得，利用,解出方程，进一步计算即可； （ⅱ）记！，满足条件的，有，根据集合中，素数7只出现3次，可得，利用反证法证明即可. 【详解】（1）由条件设且满足， 解得， 代入，经计算，均为这三个数的排列， 所以； （2））当时，记， （i）令，记，由得 ，要使得，则有，则，满足条件，此时，；     （ⅱ）记！，对于满足条件的，有， 注意到在中，素数7只出现3次，故，否则，若，则有，则， 但中有偶数个7（可能有0个7），而中有奇数个7，矛盾，又假设存在，使得， 则，矛盾，所以均为无理数. 【例8】对于正整数集合，定义：若任意去掉个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能划分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“-强可分集合”． (1)判断集合是否为“2-强可分集合”，并说明理由； (2)求证：集合一定不是“2-强可分集合”； (3)若集合是“1-强可分集合”． ①证明：为奇数； ②求集合中元素个数的最小值． 【答案】(1)不是“2-强可分集合”，理由见解析；(2)证明见解析；(3)①证明见解析；②7. 【分析】（1）根据强可分集合分析求解即可； （2）根据强可分集合分析求解即可； （3）根据强可分集合分析求解即可. 【详解】（1）因为，若去掉2和10， 则剩余元素之和为，故划分成的两个集合的元素之和应均为， 但是该集合的元素都是偶数，不管如何分割，元素之和不能为奇数， 所以不是“2-强可分集合” （2）不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，或者； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“2-强可分集合” （3）①设集合所有元素之和为． 由题可知，均为偶数， 因此均为奇数或偶数． 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数． 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“1-强可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“1-强可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数． 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②当时，显然任意集合不是“1-强可分集合”． 当时，设，不妨设， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④． 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾． 因此当时，集合一定不是“1-强可分集合”；. 当时，集合， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为24， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为23， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为22， 当移除7时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为21， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为20， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为19， 当移除时，剩余集合为，可划分为与，这两个集合的和均为18， 则集合是“-强可分集合”． 所以集合A中元素个数的最小值是7． 【变式训练】 1．整数集合中，被4所除余数为的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（   ） A． B． C． D．，，则 【答案】D 【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解 【详解】对于A：因为，所以，故A错误；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：，则，，，，，，， 因为，，所以，所以，故D正确；故选：D 2．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且 ，则（    ） A．1025 B．3075 C．4050 D．4100 【答案】C 【分析】根据题意，得到，得到，再由，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合为型集合，则，因为对任意，与至少有一个属于，则，所以，又因为，则，根据集合元素的互异性，可得，所以.故选：C. 3．设集合中元素均为正整数，且至少有两个元素，若满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则关于下面两个命题，说法正确的是（   ） 命题：若S有3个元素，则有4个元素． 命题：若有4个元素，则有7个元素． A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 【答案】C 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除假命题，然后证明命题的正确性即可. 【详解】若取，则，此时，包含5个元素，则命题是假命题； 若取，则，此时，包含7个元素，则命题可能是真命题；下面来证明：设集合，且，，则，且，则，同理，，，，，若，则，则，故即，又，故，所以，故，此时，故，矛盾，舍.若，则，故即， 又，故，所以，故，此时. 若，则，故存在，使得，故，故，故，此时即中有7个元素.故选：C 4．（多选题）设集合是实数集的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得，称实数为集合的聚点，则在下列集合中，以1为聚点的集合有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案. 【详解】对于集合，对，不存在，使得， 所以1不是集合的聚点，A选项不正确； 对于集合，对于任意实数，存在，都有， 从而1是集合的聚点，B选项正确； 对于集合，， 对于任意实数时，存在，使得，从而1是集合的聚点，C选项正确； 集合中，存在，因为，所以 ∴1不是集合的聚点，D选项不正确； 故选：BC. 5．（多选题）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 【答案】ACD 【分析】根据集的定义求出，即可判断A，举反例判断B，根据集的定义判断C、D. 【详解】对于A：由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），故A正确； 对于B：若取，则，，显然不符合集的定义，故B错误； 对于C：由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，故C正确； 对于D：设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，故D正确. 故选：ACD. 6．已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数， . 【答案】 【分析】根据条件，分析可得当时，满足要求的元素个数，可得的个数，根据组合数的性质，即可求得答案. 【详解】因为，所以P中元素是中满足且的元素， 对于，则， 所以满足要求的元素有，共有个元素， 所以在不考虑顺序的情况下，共有对， 故. 故答案为： 7．对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质. (1)若集合，求集合，； (2)若集合，，且，求的值并证明：； (3)若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)，；(2)，证明见解析；(3)1350 【分析】（1）根据题目所给新定义，写出集合即可； （2）根据题目所给新定义，以及题干所给元素大小关系，求出元素差的大小关系，在根据条件列出方程，求出结果即可； （3）根据题目所给新定义，判断集合中元素满足的性质，分别讨论元素满足的条件，列出集合中元素个数满足的不等式，求出结果即可. 【详解】（1）因为集合，所以由，，，可得； ，，，可得. （2）由于集合，， 则集合的元素在0，，，中产生， 且，， 而，故中最大元素属于，而为4个元素中的最大者， 故，即， 故，故中的3个元素为0，，，所以只能与0或或重合， 而，故即. （3）设满足题意，设， 则， ，又，， ，，即， ， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ，即， . 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即，故的最小值为675， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合C中元素的个数的最大值是1350. 8．设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. (1)若集合具有性质，写出集合； (2)若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； (3)若集合具有性质，求的最大值. 【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)13 【分析】（1）假设，根据条件②来进行排除，同理排除，最终得出； （2）用反证法证明，根据三个条件寻找矛盾即可； （3）结合（2）先证明，最多属于中的4个集合，再列举出时符合题意，反证不符合题意即可. 【详解】（1）由题意可得集合A中有3个不同的元素， 若，要使与满足条件②，则均不属于，所以， 同理可判断均不属于， 则符合题意，所以. （2）不存在，理由如下： 假设存在使得. 不妨设，设， ，，，. 由①②可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同. 由③可知，存在集合与的交集不为， 且由②可知，集合与的交集中有且仅有一个元素， 不妨设集合为，且，故. 由②可知，的元素个数均为， 且均不为或， 所以集合或，或，或. 由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与①矛盾. 所以不存在使得. （3）设集合具有性质. 在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合， 否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合， 则与②或③矛盾. 不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合， 除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为， 设集合包含元素. 当时，若，则，与②矛盾， 所以互不相同，且均不为. 因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以. 所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 所以. 当时，集合具有性质，其中： ，，，， ，，，， ，，，， . 所以的最大值为. 9．已知是元数组集合，是的非空子集.对于任意元数组，定义与之间的距离为，记为子集的致密度，其中表示有限集中的最小数. (1)当时，直接写出的一个三元子集，使得其致密度； (2)当时，设是的子集.且满足致密度，求集合中元素个数的最大值，并说明理由： (3)设，记的致密度为，用表示集合中元素个数的最大值，证明： 【答案】(1)；(2)8，理由见解析；(3)证明见解析 【分析】根据致密度的定义逐项分析即可求解（1），（2）；根据组合数的性质可证得（3）. 【详解】（1）. 当时，满足题意. （2）中有个元素，与间的距离为4. 要想满足，集合T中的任意两个4元数组中至少有两个数不同. 不妨选定是的子集中含数组，则集合中的元素有如下几种情况： 含有与有两个不同数的数组中的任意数组； 含有与有三个不同数的数组中的任意数组； 含有与有四个不同数的数组中的任意数组； 同时含有与有两个不同数的数组和与有四个不同数的数组. 因为，所以集合中最多有个元素，即. 故集合中元素个数的最大值为8. （3）因为，所以集合中至少可以包含两个元素，故， 不等式右侧为。 对于，恒成立，因此，，原不等式得证 题型03 简单逻辑用语及充要条件 解｜题｜策｜略 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. ⑤若问命题成立的一个充分不必要条件为__________，要改为________是命题成立的充分不必要条件 【精选例题】 【例1】命题“，使得”的否定形式是（    ） A．, 使得 B．, 使得 C．，使得 D．，使得 【答案】D【详解】命题“，使得”的否定形式为“，使得”. 故选：D. 【例2】已知命题：指数函数是减函数，命题，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】命题：指数函数是减函数，则，解得，即：，所以可以推出，充分性成立；推不出，必要性不成立；故是的充分不必要条件.故选：B 【例3】已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意知，“，使”是真命题，当，即时，不等式可化为，符合题意；当，即时，则且，解得，综上，实数m的取值范围为，故选：C． 【例4】“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由方程有两个不等实数根可得，解得，观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是，故选：C. 【例5】“”是直线：与直线：平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【详解】由：与：平行，则，解得或，当时，，即，，满足；当时，，即，，两直线重合，不符合题意.所以“”是直线：与直线：平行的充要条件.故选：C. 【例6】《齐民要术》是中国杰出农学家贾思嗯（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】充分性：根据这句话的大意可知，如果顺应天时地利的万物规律，就能花费较少的力取得更多成功，所以充分性成立；必要性：“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时，量地利”，比如某种果实产量高，有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的，故“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的充分不必要条件．故选：B 【例7】集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】，，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，当时，，所以，即，当时，，此时，是的真子集，符合题意；当时，，所以，即，综上，所以实数的取值范围.故选：A 【例8】已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C【详解】∵，则，∴，同向，但当时不满足，因此充分性不成立.∵，∴，即，即，从而，同向，，由此可知必要性成立.故“”是“”的必要不充分条件，故选：C. 【例9】若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立，，，则或，必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A 【变式训练】 1．“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题设，令，所以在上递减，在上递增，而在定义域上递增，又在上单调递增，故，所以题设条件的一个充分不必要条件是.故选：A 2．下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】若关于x的不等式对恒成立，当时，不等式等价于恒成立，故满足要求，当时，原不等式恒成立当且仅当，解得，综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当，而选项中只有是的充分不必要条件.故选：B. 3.“”是“满足对任意都有成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】∵对任意都有成立，不妨令，则，∴，即，可知函数单调递减，∵满足对任意都有成立，∴可得，解得，∵是的真子集，∴“”是“满足对任意都有成立”的充分不必要条件．故选：A． 4.下列四个选项中，使成立的充分不必要的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】对于A，当时，显然，但；当时，显然，但.综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故A错误；对于B，由函数在上单调递增，且，则；当时，无意义，则不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当时，显然，但；当时，显然，但.综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D，根据函数在上单调递增，且，则；由，则.综上所述，“”是“”的既充分又必要条件，故D错误.故选：B. 5.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】由对数函数性质知，即充分性满足，但时，而不成立（不存在），必要性不满足，故为充分不必要条件，故选：B． 6.已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或，当时，，当时，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B 7.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线，可得，解得且，因为是的真子集，所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B. 8.“函数的图象关于对称”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】当函数的图象关于对称时，有，，得，，易知，，所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．故选：B． 9.在中，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】在中，，一方面，若，则，所以；另一方面，若，取，则；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 10.已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】A选项，的定义域为,则.当时，，解得，故定义域不是R，不满足题意；当时，由.故要想的定义域为R，实数的取值范围为，故，A错误；B选项，的值域为，则能取到所有正数.当时，能取到所有正数，满足要求，当时，要想能取到所有正数，需且，解得，综上，，故，故В错误；CD选项，所以，故C错误，D正确.故选：D 题型04 代数形式下复数的基本运算 解｜题｜策｜略 ①复数包含实数和虚数，形如，实部:，虚部： 当时为实数，当时为虚数，虚数不能比较大小（注意不能说复数不能比较大小，因为复数包含实数） ②纯虚数：当时，为纯虚数 ③复数的模：，复数模的性质：， ④共轭复数：若，则的共轭复数为 ⑤复平面：，表示点到原点的距离 【精选例题】 【例1】已知复数满足，则复数在复平面内的点到原点的距离为_______. 【答案】【详解】由，得，故该复数在复平面内的点的坐标为，其到原点的距离为． 【例2】若复数满足，则的最大值为_________ 【答案】【详解】设，则， 故，其中. 当时，. 【例3】若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】若是关于的实系数方程的一个复数根，则另一个复数根为，由韦达定理可得得，解得，则，所以，故有.故选：A． 【例4】（多选题）设、为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则在复平面对应的点在一条直线上 【答案】BD【详解】对于A，令，，则，此时，A错误；对于B，设，，则，所以，，即，则；若，则成立，此时；若，，由知；由知：，此时；同理可知：当，时，；若，，由得：，则，此时；综上所述：若，则或，B正确；对于，令，，则，此时，C错误；对于D，设，，，则，，由，可得，所以，又、不全为零，所以表示一条直线，即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.故选：BD. 【例5】（多选题）已知复数，复数所对应的向量分别为，其中O为坐标原点，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD【详解】对选项A：，则，即，即，故A正确；对选项B：，则，即，，，故B正确；对选项C：，则，，当时，，故C错误；对选项D：，则且，解得或，，故，故D正确；故选：ABD. 【例6】若，其中是虚数单位，则 ． 【答案】【详解】由，则，所以，则.故答案为： 【变式训练】 1．已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（    ） A． B． C．的周长 D．的面积 【答案】A【详解】因为复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），则，由可得，对于方程，则，解方程可得，所以，，所以，，中，由于不是定值，则的面积、均不为定值，故选：A. 2.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （    ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则 【答案】B【详解】对于A，设，则，，A错误；对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确；对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误；对于D，依题意，，整理得，而，因此，解得，D错误．故选：B. 3.若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．+1 【答案】C【详解】设，则.由已知可得，.设，，则.所以，.当，即时，该式有最大值，所以，，所以，.故选：C. 4．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 【答案】【详解】复数满足，即即复数对应的点到点的距离满足设，表示复数对应的点到点的距离数形结合可知的最大值 故答案为： 5．为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为 . 【答案】或【详解】，对比系数得，解得，或，所以原方程的虚根为，故原方程的一个虚根的实部为，或．故答案为：或． 6．（多选题）已知复数，，则下列命题成立的有（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD【详解】对于A，当时，，而，A错误；对于B，令，则，于是，而，即有，因此成立，B正确；设复数，，对于C，由，得，则，，因此，C正确；对于D，，则，，因此，D正确.故选：BCD 7．（多选题）设复数（且），则下列结论正确的是（    ） A．可能是实数 B．恒成立 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD【详解】对于A：若是实数，则，与已知矛盾，故A错误；对于B：由A项知，所以，，故B正确；对于C：若，则，因为，所以，故C正确；对于D：，则，因为，所以，所以，故D正确．故选：BCD． 8．（多选题）已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则为正三角形 【答案】ABD【详解】因为，，，所以，则，对于A，，故，，所以，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，设与的夹角为，若，则，即，即，所以，所以，即与的夹角为，故C错误；对于D，若，则，则，即，由C选项可知与的夹角为，同理与的夹角为，与的夹角为，又，所以，故D正确.故选：ABD. 9．（多选题）设复数，满足，，则下列结论中正确的是（    ） A．的共轭复数为 B． C．若是方程的根，则 D． 【答案】AD【详解】因为，所以，故A正确；因为，所以，故B不正确；因为是方程的根，且，所以，所以，所以，故C错误；因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：AD 10．已知方程的两个虚根、满足，则m的值是 . 【答案】【详解】由题意有两个虚根、，所以可设，,,不妨设则得由，得，即，由，得，故答案为： （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．(25-26高三上·山东济南第一中学·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解不等式得集合和，再利用集合的交集运算即可求解 【详解】或， ∴. 故选：A. 2．已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，讨论和，解方程并验证得到答案． 【详解】若，则，故或. 当时，，此时，集合A不满足元素的互异性，舍去； 当时，或， 时，，集合A不满足元素的互异性，舍去； 时，，满足条件． 综上所述：． 故选：C． 3．集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题先确定全集和集合的元素，再求补集并统计元素个数. 【详解】集合. 解不等式，得，又，故. 则，其元素个数为5. 故选：C. 4．(25-26高三上·河北沧州沧县中学·期中)已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与二次函数的性质，解得集合元素，利用交集运算，可得答案. 【详解】由，即，则； 由，虽然，但当时，所以. 所以. 故选：B. 5．(25-26高三上·上海行知中学·期中)已知，是两条不同的直线，为平面内的一条直线，则“”是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据线面关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，为平面内的一条直线， 由推不出，如且，此时得不到，故充分性不成立； 由也推不出，事实上当时，或与异面均有可能，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件。 故选：D 6．(25-26高三上·辽宁实验中学·期中)已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合中不等式的解集，然后根据集合的包含关系求出结果即可. 【详解】集合. 因为，所以. 因为，，所以有. 所以的取值范围是. 故选：C. 7．(25-26高一上·云南昭通镇雄县三校·月考)已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程无实数根，进而利用判别式进行求解即可. 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 8．(25-26高三上·吉林长春德惠实验中学等校·)设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】取，，， 则，但，此时， 即“”“”； 取，，则，， 则，但，此时， 即“”“”. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．(25-26高三上·新疆部分学校·)已知p：，；q：，，则（   ） A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题 C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题 【答案】C 【分析】举例说明命题p，q的真假，进而判断其否定的真假. 【详解】对于命题p：当时，， 可知p是假命题，即是真命题； 对于命题q：当时，， 可知q是真命题，即是假命题. 故选：C. 10．若复数与都是纯虚数，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设复数，利用复数的乘方运算，结合纯虚数与共轭复数的概念求解即得． 【详解】因为复数是纯虚数，所以设复数， 则， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以，． 故选：B． 11．复数的虚部为（   ） A．1 B．i C．－1 D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算化简，即可根据虚部的定义求解. 【详解】, 虚部为1， 故选：A 12．若复数满足（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法运算及共轭复数概念，再由模长公式即可求解. 【详解】， ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 13．(25-26高三上·河北部分重点中学·)若复数满足，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算以及复数模的求法即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A. 二、多选题 14．设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 【答案】ACD 【分析】根据集的定义求出，即可判断A，举反例判断B，根据集的定义判断C、D. 【详解】对于A：由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），故A正确； 对于B：若取，则，，显然不符合集的定义，故B错误； 对于C：由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，故C正确； 对于D：设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，故D正确. 故选：ACD. 15．(25-26高三上·江苏常州六校教研联合体·调研)已知为虚数单位，以下选项不正确的是（ ） A．若复数满足，则的虚部为 B．，，，则 C．是的充分不必要条件 D．若复数满足，则的最大值为6 【答案】AC 【分析】选项A，通过解方程求出复数，再求其共轭复数，进而确定虚部；选项B，利用复数模的平方与复数运算的关系（），结合已知条件进行推导计算；选项C，通过设复数的代数形式，分别分析充分性和必要性；选项D，利用复数模的几何意义，将复数问题转化为几何中的距离问题求解. 【详解】选项A，由已知，则，所以，则的虚部为，所以A不正确； 选项B，由已知得，，， 而，可得， 由，可得，则，所以B正确； 选项C，充分性：若，设，，其中， 则， 所以，而，，即，，显然不一定能推出，所以充分性不成立； 必要性：若，则，所以必要性成立.因此是的必要不充分条件，所以C不正确； 选项D，由可看作复平面内以原点为圆心的单位圆，而可看作点到该圆上点的距离，易得的最大值为，所以D正确. 故选：AC. 16．(25-26高三上·河南商丘青桐鸣大联考·月考)已知集合，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若集合N中仅含有2个整数元素，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A,利用交集的定义求解即可；对于B，利用并集的定义求解即可；对于C，求出集合的元素，即可得到的范围；对于D，根据子集的定义，画出数轴，从而得到的范围. 【详解】若，则，A正确； 若，则，B正确； 若集合N仅含有2个整数元素，即，，所以，C错误； 若，结合数轴可知，，D正确． 故选：ABD． 17．(25-26高三上·海南定安县定安中学·月考)以下四个命题中，是真命题的是（    ） A．， B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】AD 【分析】对A，配方即可判断；对B，根据真子集关系即可判断；对C，根据正切函数性质即可判断；对D，举例法即可判断. 【详解】对于选项A：，故A选项为真命题； 对于选项B：因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为假命题； 对于选项C：当，此时，则充分性成立， 若，则，则必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于选项D：若，满足，但此时，则充分性不成立； 若，满足，但此时，故必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件，故D为真命题. 故选：AD. 18．若，，则称集合为幸福集合．对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．含的幸福集合个数为4 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【分析】求出集合所有非空子集中“幸福关系”个数逐项判断可得答案. 【详解】具有“幸福关系”的元素组有：1；，2；三组． 含一组的幸福集合有，，，共3个； 含两组的幸福集合有，，，共3个； 含三组的幸福集合有，共1个， 所以的非空子集中幸福集合的个数为，故A错误； 其中含的幸福集合个数为4，不含1的幸福集合个数为3，故B正确，C错误； 元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确. 故选：BD. 19．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（    ） A．若A为一个“封闭集”，则 B．若A为一个“封闭集”，且，则 C．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 D．若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或 【答案】ABD 【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确. 【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确． 对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确． 对于C，不妨取“封闭集”， 则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误． 对于D，充分性：都是“封闭集”， 若或，则或，则是“封闭集”． 必要性：若是“封闭集”，令， 假设或不成立，则存在，同时， 因为是“封闭集”，所以， 分两类情况讨论， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 若，又当时，，所以，这与假设矛盾， 故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确． 故选：ABD. 20．(25-26高三上·安徽华师联盟·期中)设，均为非零复数，下列命题中正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】设，，根据共轭复数的概念、求模公式和运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：设，，a，b，c，， 则，，， 所以，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：若，则，，故C正确； 选项D：若，取，，满足条件，但，故D错误. 故选：ABC. 21．(25-26高三上·宁夏灵武第一中学·期中)已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（    ） A． B．的共轭复数是 C．是纯虚数 D．复数在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】AC 【分析】根据复数的加法计算判定A，应用共轭复数的定义判定B，应用纯虚数的定义判定C，应用复数的乘法及几何意义判定D. 【详解】由条件知，A正确； 的共轭复数是，B错误； 是纯虚数，C正确； 在复平面内的对应点为，D错误. 故选:AC. 22．(25-26高三上·江苏常州高级中学·)已知复数，则（    ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．z是方程的一个复数根 【答案】AC 【分析】对复数进行化简可得，再逐一分析选项即可． 【详解】对于A，，所以，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程左边， 即，也即不是该方程的根，故D错误． 故选：AC． 三、填空题 23．已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为 . 【答案】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为、、满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以、、一定各包含4个不同数值， 根据题意、、的最小元素必有，最大元素必有， 要使最小，则、、中最小元素分别为，而除外的另两个最大元素要尽量小， 如的最小元素为，最大元素为，此时要使、中最大元素尽可能小， 则，必属于，此时还剩下的最大数为， 则必为、中的最大元素，不妨令，要使中最大元素尽可能小， 则、必属于，此时还剩下的最大数为，即中最大元素为， 如，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 此时最小，最小值为； 同理，当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的积为. 故答案为：. 四、解答题 24．已知集合具有性质：对任意与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由. (2)具有性质，当时，求集合. (3)记，求. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析；(2)(3) 【分析】（1）根据定义，验证集合中的元素是否符合定义即可求解； （2）根据可判断，根据得，而可得，即可求解； （3）根据以及，可得，，，，，即可利用累加法得，进而可求解. 【详解】（1）对于集合中， 由， 所以集合具有性质； 对于集合中，因为，， 所以集合不具有性质. （2）因为且集合具备性质， 又由，所以，，所以， 又因为，所以，则， 根据集合元素的互异性知，， 因为，所以， 所以集合. （3）因为集合具有性质： 由，则，所以， 又因为，所以， 当时，且中元素不超过，所以； 当时”， 所以， 可得， 即， 所以， 当时，可得. 25．记集合的元素个数为．例如：若，则．定义集合的相关数如下：且，使 (1)对集合，分别判断5、6是否相关数，并说明理由； (2)若为集合的相关数，求证：； (3)求集合（整数）的相关数的最小值（用表示）． 【答案】(1)5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）由相关数的定义，可通过对任意4个元素之和的计算，分析说明即可； （2）由相关数的定义可得当时，通过构造集合，使其中最小的4个元素之和都大于，可得一定不是集合的“相关数”； （3）结合（2）中的结论，再将集合中的元素通过两种划分，说明对任意元子集，必存在集合，可得满足相关数的定义即可求解. 【详解】（1）当时，． ①对于的含有5个元素的子集， 因为，则任意4元子集的4个元素之和都大于， 所以5不是集合的“相关数”． ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． （2）由题意，， 若，设为集合的“相关数”，则. 假设，则必存在元子集， 且满足， 由， 可知中任意4个元素之和一定不小于， 即不存在集合，使. 所以当时，一定不是集合的“相关数”． 故假设错误，所以. 若为集合的相关数，即，则； （3）由（2）可知． 先将集合的元素可划分成如下组： ， 每组中的两个元素之和均为，记， 则对的任意一个含有个元素的子集， 划分组中必存在三组集合，每组中的元素都属于集合，记为． 再将集合的元素除去和，分成如下组： ， 每组中的元素之和都为，记． 对于的任意一个含有个元素的子集， 划分组中必存在一组，该组元素都属于集合，此组记为． 则这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素， 故必存在集合， 此时集合中4个元素之和为． 故集合的“相关数”的最小值为． 7 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $