图形的相似与解直角三角形综合复习练习 2025-2026学年青岛版（2012）数学九年级上册

图形的相似与解直角三角形综合复习2025-2026学年 青岛版九年级上册 一、选择题 1．下列四组图形中，一定相似的是（    ） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．矩形与菱形 D．正七边形与正七边形 2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(　 　) A. B. C. D. 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,sin B=,则AB等于(　　) A.15 B.12 C.9 D.6 4.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )21cnjy.com A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)www-2-1-cnjy-com 9．如图，与位似，点为位似中心．已知，的周长为4，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 10.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是(　　) A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m 二、填空题 11．中，，若，则 ． 12.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为________.  13.已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为__________. 14．如图，已知点，点在轴上，与关于点位似，相似比为，则点的坐标是 ．    15.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________. 16．某校九年一班数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度．如图，某一时刻小刚（用表示）在地面上的影子恰好落在旗杆（用表示）在地面上的影子上，测得小刚到旗杆的距离，小刚的影长，若小刚的身高，则旗杆的高度为 ．    三、解答题 17.计算：2－1－tan60°+(－1)0+； 18.如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC. 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为，．    (1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作的位似图形（点A、B的对应点分别为）使与的相似比为2∶1； (2)在（1）的条件下，计算的面积为___________． 20．如图，已知在△ABC中， AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，求证：△BEF∽△BCA． 21．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A的像；第二次把镜子放在D点，人在H点正好看到树尖A的像．已知小明的眼睛到地面的距离，量得，，．已知点B、C、F、D、H在一条直线上，，，，请你求出松树的高． 22.在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°方向,且与A相距40 km的B处,经过80 min,又测得该轮船位于A的北偏东60°方向,且与A相距8 km的C处. (1)求该轮船航行的速度(结果保留根号); (2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由. 【答案】 一、选择题 1．下列四组图形中，一定相似的是（    ） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．矩形与菱形 D．正七边形与正七边形 【答案】D 2．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,sin B=,则AB等于(　　) A.15 B.12 C.9 D.6 【答案】A 4.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 5. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 6．如图，已知，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 7．如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 8.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )21cnjy.com A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)www-2-1-cnjy-com 【答案】D 9．如图，与位似，点为位似中心．已知，的周长为4，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 10.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是(　　) A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m 【答案】A 二、填空题 11．中，，若，则 ． 【答案】/ 12.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=8,则△ABC的面积为________.  【答案】24 13.已知方程x2-4x+3=0的两根为直角三角形的两直角边长,则其最小角的余弦值为__________. 【答案】　 14．如图，已知点，点在轴上，与关于点位似，相似比为，则点的坐标是 ．    【答案】 15.如图,在坡度为1∶2.5的楼梯表面铺地毯，地毯长度至少是________________. 【答案】７米 16．某校九年一班数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度．如图，某一时刻小刚（用表示）在地面上的影子恰好落在旗杆（用表示）在地面上的影子上，测得小刚到旗杆的距离，小刚的影长，若小刚的身高，则旗杆的高度为 ．    【答案】9 三、解答题 17.计算：2－1－tan60°+(－1)0+； 【答案】解：2－1－tan60°+(－1)0+||=－+1+=. 18.如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC. 【答案】解：作三角形的高AD. 在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=， ∴BD=，AB=. ∴CB=BD+CD=+. 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为，．    (1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作的位似图形（点A、B的对应点分别为）使与的相似比为2∶1； (2)在（1）的条件下，计算的面积为___________． 【答案】（1）如图，即为所作；    （2）． 20．如图，已知在△ABC中， AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，求证：△BEF∽△BCA． 【答案】证明：∵AF⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AFB=∠CEB=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BAF∽△BCE． ∴ ， ∴ ， ∵∠B=∠B， ∴△BEF∽△BCA． 21．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A的像；第二次把镜子放在D点，人在H点正好看到树尖A的像．已知小明的眼睛到地面的距离，量得，，．已知点B、C、F、D、H在一条直线上，，，，请你求出松树的高． 【答案】解：∵，，， ∴，， ∵，（反射定律） ∴， ∴，即， ∴， ∵，（反射定律） ∴， ∴，即， ∴， 解得， 答：松树的高为． 22.在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°方向,且与A相距40 km的B处,经过80 min,又测得该轮船位于A的北偏东60°方向,且与A相距8 km的C处. (1)求该轮船航行的速度(结果保留根号); (2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由. 【答案】解:(1)如图,∵∠1=30°,∠2=60°,∴∠BAC=90°,∴△ABC为直角三角形. ∵AB=40 km,AC=8 km,∴BC===16(km). ∴航行速度为×60=12(km/h). (2)轮船能正好行至码头MN靠岸.理由如下:如图,作BR⊥l于R,作CS⊥l于S,延长BC交l于T.21cnjy.com ∵∠2=60°,∴∠4=90°-60°=30°. ∵AC=8km,∴CS=8sin 30°=4(km). AS=8cos 30°=8×=12(km). ∵∠1=30°,∴∠3=90°-30°=60°. ∵AB=40 km,∴BR=40·sin 60°=20(km). AR=40×cos 60°=40×=20(km). 易得,△STC∽△RTB, ∴=,=, 解得:ST=8 km. ∴AT=12+8=20(km). 又∵AM=19.5 km,MN=1 km,∴AN=20.5 km, ∵19.5<AT<20.5, ∴轮船能够正好行至码头MN靠岸. 学科网（北京）股份有限公司 $