5.2.2 函数的和、差、积、商的导数（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦函数和、差、积、商的导数运算法则，通过复习上节课定义法求导及基本初等函数求导公式，以“四则运算得到的函数如何求导”设问导入，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于典例丰富且注重思维引导，如例1通过定义法与法则法对比凸显法则便捷性，例3(3)提供不同解法培养转化思想，结合数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（符号表达），助力学生掌握法则并综合应用，教师可借助系统例题与练习提升教学效率。

苏教版2019选择性必修第一册•高二 第五章 导数及其应用 5.2　导数的运算 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 学 习 目 标 1 2 3 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则的证明过程。 掌握函数的和、差、积、商的求导法则. 能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 上一节课,我们运用定义法求出了函数f(x)=kx+b(k,b为常数)的导数,并学习了基本初等函数的求导公式,对于由基本初等函数通过加、减、乘、除四则运算而得到的初等函数,我们怎样求它的导数呢? 情境导入 典例分析 求 y＝x2＋x 的导数. 例 1 解法一：因为， 所以，得． 解法二：由于，，则有． 一般地，我们有函数和的求导法则： (f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)， 即两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和. 类似地，函数的差、积、商的求导法则是： 有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数. (f(x)g(x))'=____________________, '=(g(x)≠0). f'(x)g(x)+f(x)g'(x) Cf'(x) f(x)-g(x))'=________________. f’(x)-g'(x) Cf(x))'=_______ (C为常数). 新知归纳 例 2 求下列函数的导数： （1）； （2）. 解：（1）∵， ∴. （2）∵， ∴. 方法技巧 解题的关键：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对每一项分别利用函数的求导法则即可. 典例分析 例 3 求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 方法技巧 解题的关键： (1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数. (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 解：（1） （2） （3） （4） ． 典例分析 例 3(3) 还有其他解法吗? 思考 = 1- 1. 求下列函数的导数： (1) y＝x2＋cos x； (2) y＝2x－2ln x. 解：（1） （2） 2. 求曲线 y＝x2＋2x－3 在 x＝2 处的切线方程. ，则切线斜率 又时，，即切点坐标为 则曲线在处的切线方程为，即 3. 用两种方法求函数 y＝(2x－1)(x＋3) 的导数. 解：方法一，定义法求导： 方法二，直接求导：   4. 求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 5. 已知函数 f(x) 的导数是 f′(x)，求函数 (f(x))2 的导数. 答案：[(f(x))2]′＝2f(x)f′(x). 利用导数公式求函数的导数 题型一 题型探究 1.（多选）下列求导运算正确的是( ) ABC A. B. C. D. 解析 对于A， ，故A正确. 对于B， ，故B正确. 对于C，为常数，则 ，故C正确. 对于D，，故D错误.故选 . 2.已知函数，为的导函数，则 的值为___. 解析 由可得，则 . 3.求下列函数的导数： （1） ； 【解】因为，所以 . 利用导数公式求函数的导数 题型一 题型探究 （2） ； [解] 因为 ，所以 . （3）为常数 ； [解] 因为，所以 . （4） . [解] 因为 ，所以 . 14 利用导数运算法则求导的策略 （1）分析待求导式符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的,确定求导法则、基本公式. （2）如果待求导式比较复杂,那么需要对式子先变形再求导, 常用的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角 函数恒等变换后求导等. （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用 和、差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导. 方法技巧 4.已知函数，则曲线在点 处切线的斜率为( ) B A. B. C. D. 利用导数公式求切线 题型二 题型探究 解析 因为 ，所以 ，所以 ， 所以曲线在点处切线的斜率为 .故选B. 5.［江苏南通2025月考］已知直线与曲线相切，则 的最大值为( ) C A. B.2 C. D.5 解析 设切点横坐标为，对求导得 ，由题意可得 解得所以， 所以当时， 取最大值，最大值为 .故选C. 16 涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素时,解题方法为 把其他题设条件转化为这三个要素间的关系,构建方程（组）求解. 准确利用求导法则求出函数的导数是解决此类问题的关键,务必做 到准确. 方法技巧 导数的简单综合应用 题型三 题型探究 6.［江苏徐州三中2025开学考试］已知函数，则 ___________. 解析 因为，所以 ， 令得，解得 ， 则，所以 . 7.一质点做垂直向上运动，该质点上升高度（单位：）与运动时间（单位： ）的关系式为 ，当时，该质点上升高度的瞬时变化率为_____ . 解析 设，则，因此当时，， 所以当 时，该质点上升高度的瞬时变化率为 . 18 8.已知函数 . （1）求曲线在 处的切线方程； 【解】由题意得，，，所以曲线在 处的切 线方程为，整理得 . 易错点 混淆“过某点”和“在某点处”切线方程的求法致误 题型四 题型探究 （2）求曲线过原点 的切线方程. [解] 设切点坐标为.因为切点在曲线上，所以 ， ，所以曲线在点 处的切线方程为 因为切线过原点，所以，解得或 . 当时，切点坐标为，，切线方程为 ； 当时，切点坐标为，，切线方程为 . 所以曲线过原点的切线方程为或 . 19 易错警示 求“过某点”的切线方程时，先设出切点的坐标，然后利用导数求得 切线的斜率，写出切线方程，利用已知点在切线上，列方程求解； 求“在某点处”的切线方程时，将已知点的横坐标代入导数公式中即 可得切线的斜率，利用点斜式求得切线方程. 课堂小结 1.知识清单： (1)导数的运算法则. (2)导数四则运算法则的应用. 2.方法归纳：公式法、转化法. 3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则. 感谢聆听! $