5.2.1 基本初等函数的导数（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数运算，从导数定义出发，通过推导一次函数、二次函数等具体函数的导数，引导学生逐步抽象归纳出导数公式，构建从定义到应用的学习支架，衔接导数概念与运算知识。 其亮点在于以数学思维为核心，通过逻辑推理推导公式（如从Δy/Δx极限计算归纳幂函数导数），结合切线方程求解等实例培养应用意识。采用问题驱动与归纳总结法，学生能提升推理与运算能力，教师可借助丰富例题高效教学。

苏教版2019选择性必修第一册•高二 第五章 导数及其应用 5.2.1 基本初等函数的导数 5.2　导数的运算 学 习 目 标 1 2 3 能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2， 的导数. 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 利用导数公式求曲线的切线方程. 在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，即函数在某一点处的瞬时变化率. 那么， ● 如何求基本初等函数的导数呢? ● 导数的运算法则有哪些? 根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示. 新知探究 问题1　如何求f(x)＝kx＋b(k，b为常数)的导数？ ∴ 问题2　如何求f(x)＝x2的导数？ 新知探究 故 f′(x)＝3x2. 问题3　如何求f(x)＝x3的导数？ 问题4　如何求f(x)＝ 的导数？ = 新知探究 = 问题5　如何求f(x)＝的导数？ 以上求导公式可以归纳如下： (1) (kx＋b)＝k (k，b为常数)； (2) C′＝0 (C为常数)； (3) (x)′＝1； (4) (x2)′＝2x； (5) (x3)′＝3x2； (6)()′= (7) ()′= 新知归纳 由上面的求导公式 (3)~(6)，你能发现什么规律? 为方便叙述，我们把函数 y＝xa (a为常数)，y＝ax (a＞0，a≠1)，y＝logx (a＞0，a≠1)，y＝sinx，y＝cosx 等称为基本初等函数. 对于基本初等函数，有下面的求导公式： (8) (xα)′＝αxα－1 (α 为常数)； (9) (ax)′ ＝ax lna (a＞0，且 a≠1)； (10) (ex)′＝ex ； 新知归纳 求下列函数的导数: (1)y=3-x; (2)y=; (3)y=2sin cos ; (4)y=1-2sin2. 典例分析 方法技巧 解题的关键：要把函数先化为基本初等函数形式,然后运用公式求其导数. 解：(1)∵y=3-x=,∴y'==ln =-ln 3. (2)∵y==,∴y'=()'=. (3)∵y=2sin cos =sin x,∴y'=(sin x)'=cos x. (4)∵y=1-2sin2=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x. 8 1. 对于函数 f(x) 来说，f′(1)，f′(2)与 f′(x) 有什么区别与联系? 解：f′(1)，f′(2) 是导函数 f′(x) 在 x＝1，x＝2 处的导数值； 而 f′(x) 是函数 f(x) 的导函数. 2．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）由，得，所以 （2）由，得，所以 （3）由，得， （4）由，得 教材P188 练习 3.求曲线在点处的切线的方程． 解：由可得，则当时，导数 所以曲线在点处的切线的斜率为： 所以曲线在点处的切线方程为，即 教材P188 练习 4.设b为实数，若直线为函数图象的切线，求b的值及切点坐标． 解：设切点坐标为 ， 由函数的导数为，由直线得到斜率为， 得到 ，解得， 把代入中解得，把代入中解得， 所以切点坐标是或， 当切点坐标是，代入直线的方程，得：； 当切点坐标是，代入直线的方程，得：. 教材P188 练习 5.设b为实数，直线能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）因为，所以无解，所以直线不能作为函数图象的切线； （2）因为，所以，令，解得，此时， 所以切点坐标为，所以直线能作为函数图象的切线； （3）因为，所以，令，解得 ，此时， 所以切点坐标为或，所以直线能作为函数图象的切线； （4）因为，所以，令，解得 ，此时， 所以切点坐标为，所以直线能作为函数图象的切线； 教材P188 练习 6. 已知函数 f(x)＝x3，求 (f(－2))′ 以及 f′(－2). 解：∵，∴，∴，∴=0. 7.设b为实数，若直线是曲线的一条切线，求b的值． 解：设切点坐标为，由函数，可得，所以， 因为直线是曲线的一条切线， 可得，解得，所以，即切点 将点代入直线，可得，解得. 教材P189 练习 1.对任意的，有，，则函数 的解析式为( ) B A. B. C. D. 解析 由知中含有项，然后将代入选项中验证可得 .故选B. 求函数的导函数 题型一 题型探究 2.（多选）下列选项正确的是( ) ABC A.， B.， C.， D.， 解析 对于A，，则 ，故A正确；对于B，，则 ，故B正确； 对于C，，则 ，故C正确；对于D，，则 ，故D错误.故选 . 14 3.求下列函数的导数. （1） ； 【解】 . （2） ； [解] . （3） ； [解] , . （4） . [解] ， . 求函数的导函数 题型一 题型探究 15 4.［江苏南通多校2025期中联考］若直线与曲线相切，则实数 的值为（ ） D A. B. C. D. 切线问题 题型二 题型探究 解析 由得，设切点坐标为，则切线的斜率 ， 曲线的切线方程为 . 由题意得，切线过点，故，解得 ，所以 .故选D. 5.已知曲线在点 处的切线与圆相切，则圆 的半径为( ) C A. B.1 C. D. 解析 由，得 ，所以曲线在点处的切线的斜率， 所以切线方程为 .因为直线与圆相切， 所以圆的半径 .故选C. 16 6.一条直线与函数和的图象分别相切于点 和点，则 的值为____. 解析 设函数，，则， . 的图象在点处的切线方程为，即 . 的图象在点处的切线方程为,即 . 易知 可得，化简得 . 所以 . 切线问题 题型二 题型探究 17 7.（多选）已知函数及其导函数，若存在 ，使得，则称是 的一个 “巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( ) AB A. B. C. D. 导数的综合应用 题型三 题型探究 解析 对A：，则，令，则，故 有“巧值点”； 对B：，则，因为恒成立，所以任意的，都是 的 “巧值点”； 对C：，则，令，整理得 ，方程无解， 故 没有“巧值点”； 对D：的定义域为，则，而，显然 无解，故 没有“巧值点”. 故选 . 18 8.求证：曲线 上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 【证明】由，得，所以 . 在曲线上任取一点 ，则过点的切线的斜率 , 切线方程为 ，即 . 设该切线与轴、轴分别相交于，两点，则， . . 所以曲线 上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数. 导数的综合应用 题型三 题型探究 19 课堂小结 1.知识清单： (1)基本初等函数的导数. (2)利用导数公式求函数的导数. (3)利用导数公式求曲线的切线方程. 2.方法归纳：方程思想、待定系数法. 3.常见误区：不化简成基本初等函数. 感谢聆听! $