精品解析：广东省深圳市北京师范大学南山附属学校中学部2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年广东省深圳市北师大南山附属学校中学部九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，由题意推出，或，解方程即可求出的值，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 2. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：“卯”的视图是： 故选：A． 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 4. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 5. 下列描述正确的是（ ） A. 对角线垂直的四边形一定是菱形 B. 匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C. 若点C是线段的黄金分割点，，则 D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行投影，黄金分割，以及成比例线段等知识． 选项A错误，因为对角线垂直的四边形不一定是菱形；选项B错误，因为灯光是点光源，影子是中心投影；选项C错误，存在两种情况；选项D正确，基于平行线分线段成比例定理． 【详解】解：A：∵对角线垂直的四边形不一定是菱形（如筝形），∴A错误； B：∵灯光是点光源，影子是中心投影，不是平行投影，∴B错误； C：∵点C是线段的黄金分割点，，∴或，∴C错误； D：∵两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（平行线分线段成比例定理），∴D正确； 故选：D． 6. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 设点，可得，，从而得到，再由．可得点，从而得到，然后根据求解即可． 【详解】解：设点，可得，， ∵， ，， 轴，， ∴轴， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为8， ∴，解得：． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 已知，求________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．将所求分式拆分为两个分式之和，并代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为 ：． 10. 已知点，在反比例函数的图象上，则______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数，当时，图象经过一、三象限，当时，图象经过二、四象限；根据题意得出该反比例函数经过二、四象限，则点A在第一象限，点B在第三象限，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴该反比例函数经过二、四象限， ∵，在反比例函数的图象上， ∴点A在第一象限，点B在第三象限， ∴， 故答案为：． 11. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 12. 已知a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 根据方程根的定义，将已知条件代入表达式求解． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 13. 已知四边形，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．作，，则，根据证明得，延长交的延长线与点F，设，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】作，，则． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 延长交的延长线与点F，则四边形是正方形， ∴． 设，则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确，不正确； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法、公式法）及方程一般式的转化，解题的关键是掌握“因式分解法需将方程化为右边为0的形式，否则不能直接拆分因式”和“用公式法前必须先将方程化为（）的一般式，准确确定、、的值，避免符号错误”． （1）判断解法正确性：甲同学误用因式分解法，方程右边未化为0就拆分因式，违背“因式分解法需右边为0”的前提，导致错误；乙同学未将方程化为一般式（应为），错误将取为3（实际），使判别式计算错误，故两人解法均不正确； （2）解时，先将方程展开并移项化为一般式，再确定、、的值，计算判别式判断有实数根，最后代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：甲同学的解法不正确，理由是用因式分解法时未将方程化为“右边为0”的形式（应为），直接拆分导致错误；乙同学的解法不正确，理由是未将方程化为一般式，错误确定的值（实际而非3），使判别式计算错误． 故答案为：不正确，不正确； 【小问2详解】 解， 先将方程化为一般式：， 此方程中，，，， 计算判别式 ∵，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式 得：． ∴方程的解为，． 15. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 【答案】（1）40，， 补全条形统计图如下： （2） 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）先根据D组的人数和百分比求出抽查的总人数，再利用乘以组的的百分比即可求出扇形统计图中的圆心角度数，再求出C组的人数并补全统计图即可； （2）画出树状图或列表法得到所有等可能情况，用概率公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：这次抽查的志愿者共有：（人）， 扇形统计图中的圆心角度数是， C组的人数为（人）， 故答案为：40， 【小问2详解】 解：设2名男志愿者分别记作、，2名女志愿者分别记作、 根据题意可以画出如下的树状图 列表法如下图 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相等，选中的2名女志愿者担任组长的是和的情况有两种. 16. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； （3）10 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标的变化得出A，B，C关于x轴的对称点，即可得出答案； （2）把A，B，C的坐标乘以得到其对应点，，，再连线即可得出答案； （3）利用割补法求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，关于x轴对称图形画法及位似图形的画法，熟练运用位似图形的性质是解题关键． 17. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 18. 根据以下素材，探索完成任务： 背景 今年春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】任务1：；任务2：元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（平均增长率问题、利润问题），熟练掌握一元二次方程的列法与解法是解题的关键． 任务1：根据平均增长率的公式，设出日平均增长率，利用正月初一和正月初三的票房收入列出方程求解． 任务2：设下调后的售价，根据利润公式（利润=单个利润×销售量）列出方程，再结合减少库存的要求确定最终售价． 【详解】解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为． ， ， ， 解得，（舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率是； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则单个利润为元，每天销售量为个． ， ， ， ， ， 解得，． ∵要尽可能减少库存，售价越低销售量越大， ∴选择， 答：每个手办的售价为元． 19. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）列表：如表是与的几组对应值，其中______； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：如图，用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整． … … … … （2）观察图象并分析表格，回答下列问 ①当时，随增大而______； ②函数的图象是由函数的图象向______平移______个单位长度而得到； ③函数的图象关于点______成中心对称； ④不等式的解集是______； （3）设，是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【答案】（1）； 补充图象如下： （2）①减小；②下，；③；④或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式求出的值，再根据函数的对称性补充完整图象． （2）①通过观察图象和表格数据判断函数在时的单调性；②将函数变形，分析其与的图象平移关系；③根据函数的中心对称性质确定对称点；④解不等式，通过移项、通分等步骤求解． （3）利用得到，再将两点代入函数解析式，进而求出的值． 【小问1详解】 解：当时，， ∴． 【小问2详解】 解：①观察图象和表格，当时，随增大而减小， 故答案为：减小； ②∵， ∴函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到， 故答案为：下，； ③函数的图象关于原点成中心对称，平移后函数的图象关于点成中心对称， 故答案为：点； ④由图可知，或时，的图像在的下方， ∴不等式的解集是或． 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∵，在函数的图象上， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、函数图象的平移、不等式的解法以及函数的中心对称等知识点，熟练掌握反比例函数的性质、函数图象的变换规律以及分式不等式的解法是解题的关键． 20. 如图1和图2，在菱形中，，，点P从点A出发沿对角线匀速移动，到达点时停止，连接，将绕点D逆时针旋转得到，使，与交于点E，连接． （1）与的数量关系为______，与的数量关系为______； （2）当时，如图2． ①尺规作图，作出旋转后的线段（保留作图痕迹，不写作法）； ②求的值； （3）当为直角三角形时，直接写出的长为______． 【答案】（1），； （2） ①如图2，线段即为所求： ②6； （3）4或． 【解析】 【分析】本题考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形，直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形，等腰三角形，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据菱形的性质得，根据旋转的性质得，再由推出，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）①先尺规作图作，再以为圆心，为半径画圆，与交点即为点；② （3）当时，证明得出计算出即可； 当时，证明，根据相似比计算出即可，当时，，此种情况不存在，综合即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 将绕点D逆时针旋转得到，使， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①略 ②如图3，连接,如图： 在菱形中，则， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：, ∴， ∵， ∴, ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：的值等于4或，理由如下： 当为直角三角形时，分三种情况讨论： 当时，连接,如图4， 则， ∵， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图5，过点作于， 设，则，， ∵, ∴， ∵,, ∵， ∴,即， ∴， 由（1）得, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， 当时，， ∴此种情况不存在， 综上所述，的值等于4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省深圳市北师大南山附属学校中学部九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 2. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 下列描述正确的是（ ） A. 对角线垂直的四边形一定是菱形 B. 匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子是平行投影 C. 若点C是线段的黄金分割点，，则 D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 6. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 7. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，．若四边形的面积为8，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 已知，求________． 10. 已知点，在反比例函数的图象上，则______．（填“＞”“＜”或“＝”） 11. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 12. 已知a是方程的一个实数根，则的值为________． 13. 已知四边形，若，则______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， ， ， 此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 15. 2025年1月，哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志愿者，对其身高情况进行了调查，将身高（单位：）数据分为、、、、五组，并制成了如下不完整的统计图表． 组别 身高分组 人数 5 4 12 9 根据以上信息回答： （1）这次抽查的志愿者共有________人，扇形统计图中的圆心角度数是________，请补全条形统计图． （2）若组的4人中，男女志愿者各有2人，从中随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率． 16. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得． （3）的面积为_______． 17. 如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 18. 根据以下素材，探索完成任务： 背景 今年春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率； 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 19. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）列表：如表是与的几组对应值，其中______； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：如图，用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整． … … … … （2）观察图象并分析表格，回答下列问 ①当时，随增大而______； ②函数的图象是由函数的图象向______平移______个单位长度而得到； ③函数的图象关于点______成中心对称； ④不等式的解集是______； （3）设，是函数的图象上的两点，且，试求的值． 20. 如图1和图2，在菱形中，，，点P从点A出发沿对角线匀速移动，到达点时停止，连接，将绕点D逆时针旋转得到，使，与交于点E，连接． （1）与的数量关系为______，与的数量关系为______； （2）当时，如图2． ①尺规作图，作出旋转后的线段（保留作图痕迹，不写作法）； ②求的值； （3）当为直角三角形时，直接写出的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $