6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 平面向量数量积的坐标表示 教学目标 1.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式. 2.能用公式求向量的数量积、模、夹角． 3.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题。 教学重难点 教学重点： 1. 平面向量的数量积、模、夹角的坐标表示. 2.两向量垂直的充要条件的坐标表示. 教学难点： 1. 平面向量数量积的坐标表示的应用. 教学过程 （一）复习导入 1.平面向量运算的坐标表示：若，则；；； 2.向量的坐标表示已知 ，则； 3.向量平行(共线)等价条件的两种形式： 1） 2）若，则 （二）探索新知 问题1 已知，，怎样用坐标表示呢？ 因为， 所以. 又，，， 所以. 结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 追问1 设则怎样用坐标表示？ 若，则，. 追问2 设，怎么用坐标表示? (两点间的距离公式) 追问3 如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为，那么怎么用坐标表示? 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么 ，. 追问4 两个非零向量满足，怎么用坐标表示向量垂直的充要条件? 设是非零向量，.如何用坐标表示两个向量垂直？ 设，，则 . 例1 若点，则是什么形状？证明你的猜想. 解：如图，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下： 因为， ， 所以. 于是. 因此，是直角三角形. 问题2 设，是两个非零向量，其夹角为，已知，，那么如何用坐标表示？ 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 . 追问：根据向量夹角的坐标公式，如何判断夹角为锐角、直角、钝角呢？ 1、当为锐角时，; 2、当为直角时，; 3、当为钝角时，; 例2 设，，求及的夹角（精确到）. 解：. 因为，，所以用计算器计算可得 . 利用计算器中的“”键，得. 例3 用向量方法证明两角差的余弦公式. 证明：如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则，. 由向量数量积的坐标表示，有. 设与的夹角为，则. 所以. 另一方面，由图（1）可知，；由图（2）可知，.于是，.所以. 于是. （三）课堂小结 1、知识点： （1）向量数量积的坐标表示： （2）向量垂直的充要条件的坐标表示: （3）向量夹角的坐标表示： 2、方法：化归与转化思想、数形结合思想 （四）作业设计 基础巩固 （必做） 1.已知，求， 以及 2.已知，求，， 3.设，利用计算工具，求的夹角（精确到） 4.求证：以为顶点的四边形是一个矩形 拓广探索 （选做） 5.用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式 学科网（北京）股份有限公司 $