6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 教学目标 1.能用坐标表示平面向量的数量积,培养数学抽象的核心素养； 2.能用坐标表示平面向量的模及夹角，提升数学运算的核心素养； 3.能用坐标表示两个平面向量垂直的条要条件，培养数学运算的核心素养. 教学内容 教学重点：平面向量数量积的坐标表示. 教学难点：用向量运算的坐标表示解决问题. 教学过程 【自主学习】 自主学习目标： 1.平面向量数量积的坐标如何表示？ 2.平面向量模的如何坐标表示? 3.平面向量夹角的如何坐标表示? 4.平面向量垂直的如何坐标表示？ 自主学习内容： 探究一:平面向量数量积和垂直的坐标表示 问题1: 设i，j为正交单位向量，则 i·i=______；j·j=______；i·j=_____． 问题2：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？ 问题3：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用坐标表示a⊥b呢？ 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 数量积 两个向量的数量积等于它们 ，即a·b＝ 向量垂直 a⊥b⇔ 注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导． 探究二:平面向量模的坐标表示 问题4：若a＝(x，y)，，如何计算向量的模|a|呢？ 问题5：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？ 探究三:平面向量夹角的坐标表示 问题6：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用坐标表示a与b的夹角呢？ 与向量的模、夹角相关的几个重要公式： 1.向量的模的坐标表示：设a＝(x，y)，则|a|＝ . 2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝ . 3.向量的夹角的坐标表示：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝ . 注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π 自我检测题： 判断正误 (1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　 ) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　 　) (3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．(　 　) (4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．(　 　) (5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．(　 　) 自主学习问题反馈 【探究学习】 课堂探究目标： 通过探究，理解并能用坐标表示平面向量的数量积，会表示坐两个平面向量的夹角，能用坐标表示平面向量共线和垂直的条件 题型一:平面向量的夹角和垂直问题 例1. 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC是什么形状？证明你的猜想. 思考：是否还有其他方法？ 变式： 【链接高考】 1.（2022·新高考Ⅱ） 已知，若，则 （ ） A. B. C. 5 D. 6 2.（2022·全国甲） 已知向量．若，则______________． 点拨：解决向量夹角问题的方法 1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a·b以及|a|，|b|，再由cos θ＝，求出cos θ，也可由cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π. 2.由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0. 题型二:平面向量数量积的坐标运算 例3. 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，(a＋b)·(2a－b)． 点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． 题型三:平面向量的模　 例4. 已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于(　　) A．4 B．2 C．8 D．8 【链接高考】（2022·全国乙） 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 点拨：求向量的模的两种方法： (1).字母表示下的运算，利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ 【归纳总结】 知识总结：(一个意义、四个公式) 方法总结：化归与转化、数形结合、分类讨论（三种方法） 易错点总结：两向量的夹角公式容易记错（一个易错点） 【分层作业】 A层：基层巩固（必做）、拓广探索（选做） 基础巩固 1.若向量 ＝3，则x＝(　　) A.3 B.－3 C. D.－ 2.已知那么的夹角θ＝(　　) A. B. C. D. 3.已知向量 若与垂直，则等于(　　) A.1 B. C.2 D.4 4. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2， 则·＝________. 5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 拓广探索（※选做） 6. 已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)．当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围． B层：探究活动：以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动 探究向量数量积的求法除了前面学习的几何法、投影法、今天学习的坐标法，还有无别的求法？请寻找各自适用条件？ 学科网（北京）股份有限公司 $$